【摘? 要】? 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確提出通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，認(rèn)識數(shù)學(xué)的審美價值.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，利用數(shù)學(xué)之美積極調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.數(shù)學(xué)中有很多內(nèi)容具有美學(xué)價值，如圖形美、結(jié)構(gòu)美、思維美、變換美，教師充分利用這些美學(xué)資源可以大大提高教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】? 美育教育；圖形美；結(jié)構(gòu)美；思維美；變換美

進入高中階段，學(xué)生往往會感覺到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很吃力，抽象知識多、運算量大、思維要求高、題目千變?nèi)f化.特別是高中起始階段，這種感覺尤其明顯，本來這些學(xué)生經(jīng)歷中考選拔后認(rèn)為自己還是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，滿懷希望想把高中數(shù)學(xué)學(xué)好，可是經(jīng)歷了集合與常用邏輯用語的學(xué)習(xí)后，意識到高中數(shù)學(xué)不容易學(xué)好，甚至有學(xué)生發(fā)出感嘆：數(shù)學(xué)，想說愛你卻并不是一件容易的事.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理受到傷害，興趣隨之衰減.這時有經(jīng)驗的教師常常會利用好的教學(xué)時機，培育學(xué)生的積極學(xué)習(xí)心理，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓他們愛上數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué).

怎么去培育學(xué)生的積極學(xué)習(xí)心理呢？方法有很多，每位教師的認(rèn)識也可能千差萬別.筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，覺得數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)結(jié)合美育教育能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，感知數(shù)學(xué)之美，享受數(shù)學(xué)之美，能給學(xué)生帶來震撼之感，學(xué)習(xí)興趣會油然而生.下面以人教版普通高中教材《數(shù)學(xué)》（2019）必修一“基本不等式”為例，在教學(xué)活動中開展美育教育，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué).

1? 數(shù)學(xué)美育教育之圖形美

在課堂的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生主要通過“看、聽、做”來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，“看”是很重要的環(huán)節(jié)，圖形的呈現(xiàn)能形成視覺沖擊感，形成好印象.在這一節(jié)內(nèi)容中可以先推證：a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.這里選用教材前一節(jié)內(nèi)容中的圖形來證明.

如圖1，c=a2+b2，所以大正方形的邊長為a2+b2，

S大正方形=a2+b22=a2+b2，S陰影=4S直角三角形=4×12ab=2ab

因為S大正方形≥S陰影當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，從而a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

由a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立得a2+b2≥2a·ba＞0，b＞0即得基本不等式：

ab≤a+b2（a＞0，b＞0）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

這個圖形有三角形“相等”美，三角形和正方形還有“拼接”美，渾然一體，學(xué)生很容易被“吸睛”，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.這種利用圖形關(guān)系來證明代數(shù)關(guān)系，有“直觀”美，還體現(xiàn)了學(xué)科核心素養(yǎng)之直觀想象（圖形）、數(shù)學(xué)抽象（基本不等式）的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

基本不等式ab≤a+b2（a＞0，b＞0）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，還可以有如下的幾何解釋，同樣體現(xiàn)了圖形美的價值，很簡捷、形象，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

圖2如圖2，AB是圓的直徑，點C是線段AB上異于點A，B的一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的垂線交弧AB于D，連接AD，OD，BD.OD=OA=a+b2，利用三角形相似，可得△ACD∽△BCD，于是ACCD=CDBC即CD=ab. 當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合即a=b時等號成立，形象的解釋就是：半弦不長于半徑.

2? 數(shù)學(xué)美育教育之結(jié)構(gòu)對稱美

與基本不等式有關(guān)的很多題中條件和探究目標(biāo)都是“對稱”的，基本不等式ab≤a+b2（a＞0，b＞0）本身的結(jié)構(gòu)就是“對稱”的（將a與b互換位置，式子沒變）.

利用這種結(jié)構(gòu)對稱，我們可以突破基本不等式求最值的難點，那就是在放縮的過程中保證“對稱”的相關(guān)量能相等.如下面的兩個題：

題1? 已知x＞0，y＞0，x+y+xy=3，求x+y的最小值及xy的最大值.

題2? 已知x＞0，y＞0，則x+12y2+y+12x2的最小值為??? .（提示：所求式子顯然沒有最大值，所以做填空題求最小值時一定有x=y，代入后就轉(zhuǎn)化為求2x+12x2（x＞0）的最小值，沒難度了，答案為4.這就是數(shù)學(xué)“對稱”美的力量）

3? 數(shù)學(xué)美育教育之霸氣美

基本不等式中有一個詞組是“當(dāng)且僅當(dāng)”，體現(xiàn)出一種無與倫比的霸氣，意思是你不能離開我，離開我就可能犯錯.這就告誡我們利用基本不等式求最大值或最小值時，務(wù)必考慮取等號的條件，只有取等號的條件滿足，才能肯定所求式子有最大值或最小值.

題3? 已知x∈R，求函數(shù)y=x2+4+1x2+4的最小值.

分析? 有些學(xué)生會這樣思考：因為x2+4＞0且x2+4·1x2+4=1，所以由基本不等式得x2+4+1x2+4≥2x2+4·1x2+4=2，因此函數(shù)y=x2+4+1x2+4的最小值為2，這就錯了，因為取等號時x2+4=1x2+4即x2+4=1，但x∈R，x2+4=1不能成立.

正解? 因為x2+4+1x2+42=x2+4-1x2+42+4，而x2+4≥2，-1x2+4≥-12，所以x2+4-1x2+4≥2-12=32.

于是x2+4+1x2+42=x2+4

-1x2+42+4≥322+4=254，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，因此函數(shù)y=x2+4+1x2+4的最小值為52.

注? 此題還可以用對勾函數(shù)的知識來求解.

4? 數(shù)學(xué)美育教育之思維美

數(shù)學(xué)是思維的體操，所以數(shù)學(xué)美有藝術(shù)之美.基本不等式中的一題多解方法，思維切入不同，效果差異大，平時多訓(xùn)練，學(xué)生像欣賞藝術(shù)體操運動員優(yōu)美的舞姿一樣樂在其中，又恰如有藝術(shù)靈感來臨，躍躍欲試，參與進來，步入“沉浸式”學(xué)習(xí)狀態(tài)，自然對數(shù)學(xué)就愛得更深了.

題4? 已知正實數(shù)a，b滿足ab+a+b=3，則a+2b的最小值為（? ）.

A.26-3? B.22? C.42-3? D.26

解法1? （消元法）由ab+a+b=3得a=3-bb+1，因為a＞0，所以3-bb+1＞0，得0＜b＜3.

a+2b=3-bb+1+2b=4-（b+1）b+1+2（b+1）-2=2（b+1）+4b+1-3≥22（b+1）·4b+1-3=42-3，當(dāng)2（b+1）=4b+1即b=2-1時取等號，選C.

這是最本真的解法，雖然看起來沒什么技巧，但能夠解決問題，也是有用的辦法.

解法2? （萬能“k”法）設(shè)a+2b=k，則a=k-2b（k＞0），由ab+a+b=3得，（k-2b）b+k-2b+b-3=0，即-2b2+（k-1）b+k-3=0，由Δ≥0解得k≥42-3，當(dāng)b=2-1時取等號，選C.

這也是一種樸實的解法，同時也是一種通法.

解法3? ?（換元法）由ab+a+b=3得（a+1）（b+1）=4（a＞0，b＞0），設(shè)m=a+1，n=b+1，則a=m-1，b=n-1，mn=4（m＞1，n＞1），所以a+2b=（m-1）+2（n-1）=m+2n-3≥2m·2n-3=42-3，

當(dāng)m=22，n=2時取等號，選C.

這種方法是根據(jù)所求式子特征去變換已知等式，過程簡捷，思維要求高但難度不大，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力正合適.

上述三種方法都是基本不等式中的常用方法，這些思維能力是學(xué)生可以達(dá)到且必須達(dá)到的.教師培養(yǎng)學(xué)生的思維能力時，選題要具有針對性，題選得好，能讓他們節(jié)節(jié)上升，這樣學(xué)生既有成就感，又覺得意猶未盡，從而激發(fā)他們積極的學(xué)習(xí)心理.

5? 數(shù)學(xué)美育教育之“放縮”美

放縮法是利用不等式求最大值和最小值以及證明不等式的“最高”技巧，它的美在于一切都剛剛好，放大一點不行，縮小一點也不行，就象“黃金分割”，恰到好處，盡善盡美.

題5? 已知實數(shù)x，y滿足2x2+4xy+5y2=1，求x2+y2的最大值和最小值.

解? 因為1=2x2+4xy+5y2=2x2+2（2x）·y+5y2≤2x2+4x2+y2+5y2=6x2+y2，即x2+y2≥16當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時取等號，代入原條件等式得x2=130，y2=215時x2+y2取得最小值為16.

另一方面，1=2x2+4xy+5y2=x2+y2+x2+x·（4y）+4y2=x2+y2+（x+2y）2≥x2+y2，即x2+y2≤1當(dāng)且僅當(dāng)x=-2y時取等號，代入原條件等式得x2=45，y2=15時x2+y2取得最大值為1.

此題本身是一個難題，也可以用萬能“k”法求解，思維難度高，過程比較麻煩.但我們看到用放縮法求解顯示了無比的優(yōu)越性，可見放縮之美，美到極致.

6? 數(shù)學(xué)美育教育之變換美

基本不等式運算中經(jīng)常出現(xiàn)換元、拼湊、代換等基本方法，但在具體的題目中，因為條件和求解目標(biāo)的變化，所選用的方法也就各不相同，這就為培養(yǎng)學(xué)生的多角度思維、多層次思維提供了良好機會，學(xué)生常常會樂在其中，總覺得很多地方都還有思維進階的可能，教師就要放手讓他們?nèi)ニ伎肌⑷ヌ骄?，不輕易去點撥，不要讓學(xué)生失去培養(yǎng)自己思維能力的機會，盡情地讓他們?nèi)ンw會思考的樂趣，體會攻堅破難的勇氣和智慧，這對他們終生有益.

題6? 若正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，則aa-1+4bb-1的最小值為??? .

解法1? 由1a+1b=1得ab=a+b，即（a-1）（b-1）=1，所以aa-1+4bb-1=（a-1）+1a-1+4（b-1）+4b-1=1a-1+4b-1+5≥21a-1·4b-1+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=32，b=3時取等號，因此aa-1+4bb-1的最小值為9.

解法2? aa-1+4bb-1=11-1a+41-1b，設(shè)m=1-1a，n=1-1b，則1a=1-m，1b=1-n

（0＜m＜1，0＜n＜1），此題轉(zhuǎn)化為已知正數(shù)m，n滿足m+n=1，求1m+4n的最小值. 1m+4n=1·1m+4n=（m+n）1m+4n=nm+4mn+5（這一步用了1的代換）.

nm+4mn+5≥2nm·4mn+5=9當(dāng)且僅當(dāng)m=13，n=23時取等號，

因此aa-1+4bb-1的最小值為9.注此題也可用消元法，還可以利用權(quán)方和不等式求解.

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值［1］.在數(shù)學(xué)的美育教育教學(xué)過程中，實際上已經(jīng)融入了課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)之美愉悅了學(xué)生心靈，激發(fā)了學(xué)生的積極學(xué)習(xí)心理，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的動機，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生就會產(chǎn)生愉快、喜愛的情感，就會熱愛數(shù)學(xué)，熱愛生活，對前途充滿期望，不畏艱辛，努力攀登.

參考文獻

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2018.8

作者簡介? 張昌金（1968—），男，四川資陽人，本科，高級教師，四川省特級教師，四川省骨干教師，成都市優(yōu)秀教師，內(nèi)江市優(yōu)秀教師；從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.