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      “爪”型三角形重要結(jié)論的證明及其應用

      2024-06-23 02:56:54范光龍
      中學數(shù)學·高中版 2024年6期
      關鍵詞:解三角形

      范光龍

      摘要:通過證明揭示“爪”型三角形的三個重要結(jié)論,并以兩道例題為例,探究“爪”型三角形的三

      個重要結(jié)論的具體應用,以培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

      關鍵詞:爪型三角形;三個結(jié)論;解三角形

      如圖1所示,給出的是“爪”型三角形示意圖(其中點D在邊BC上,且與端點不重合).由于此類解三角形問題在教材例習題以及模擬題、高考題中比較常見,且又能較好地考查學生的數(shù)形結(jié)合能力及運算求解能力,所以關注“爪”型三角形對應的幾個重要結(jié)論,有助于相關問題的順利求解[1].

      1 “爪”型三角形重要結(jié)論及其證明

      重要結(jié)論1:在△ABC中,已知點D在邊BC上,且與端點不重合,連接AD,若∠BAD=α,∠DAC=β,則有sin αAC+sin βAB=sin(α+β)AD.

      證明:由圖1知S△ABC=S△ABD+S△ADC,所以結(jié)合三角形的面積公式可得12AB·ACsin(α+β)=12AB·ADsin α+12AC·ADsin β.于是,對上式兩邊同除以12AB·AC·AD,即得sin αAC+sin βAB=sin(α+β)AD.故等式得證.

      重要結(jié)論2:在△ABC中,若AD是BC邊上的中線,則有AD2=12AB2+12AC2-14BC2.

      證明:注意到∠ADB和∠ADC是鄰補角,所以必有cos∠ADC=-cos∠ADB,從而在△ACD中,根據(jù)余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC\5cos∠ADC

      =AD2+DC2+2AD·DCcos∠ADB.又由AD是BC邊上的中線,得BD=DC,所以可得

      AC2=AD2+BD2+2AD·BDcos∠ADB.①

      又在△ABD中,根據(jù)余弦定理,得

      AB2=AD2+BD2-2AD·BD\5cos∠ADB.②

      由①②式相加,得AC2+AB2=2AD2+2BD2.即

      AD2=12AB2+12AC2-BD2.

      又BD=12BC,所以AD2=12AB2+12AC2-14BC2.故得證.

      重要結(jié)論3:在△ABC中,若AD是∠BAC的角平分線,則有AD2=AB·AC-BD·DC.

      證明:因為AD是∠BAC的角平分線,所以BDDC=ABAC,即BD·AC=AB·DC,于是可得

      BD·AC·(DC-BD)=AB·DC·(DC-BD).

      整理,得AC·BD2+AB·DC2=(AB+AC)·BD·DC,即

      AC·BD2+AB·DC2AB+AC=BD·DC.

      因為∠ADB和∠ADC是鄰補角,所以可以得到cos∠ADB=-cos∠ADC,即

      AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+DC2-AC22AD·DC.

      結(jié)合BDDC=ABAC可得

      AD2+BD2-AB2AB=-AD2+DC2-AC2AC,

      再進行整理變形,得

      (AB+AC)AD2=AB·AC(AB+AC)-AC·BD2-AB·DC2.

      所以,可得

      AD2=AB·AC-AC·BD2+AB·DC2AB+AC.

      故AD2=AB·AC-BD·DC,得證.

      2 “爪”型三角形重要結(jié)論應用舉例

      例1? 在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=6,D為BC上一點,AD為∠BAC的平分線,則AD=.

      解法1:在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,

      (6)2=22+AC2-4AC·cos 60°,

      解得AC=3+1(負值已舍).

      如圖2,因為AD為∠BAC的平分線,所以CDDB=ACAB

      =3+12.

      于是可以得到CD=3+13+3\5BC=3+13+3×6=2.

      所以BD=BC-CD=6-2.

      于是,由重要結(jié)論3可得AD2=AB·AC-BD·CD=2(3+1)-(6-2)2=4.

      故AD=2.

      解法2:同方法1先求得AC=3+1.又易知∠BAD=30°,∠DAC=30°,從而根據(jù)重要結(jié)論1可得sin∠BADAC+sin∠DACAB=sin∠BACAD,即sin 30°3+1+sin 30°2=sin 60°AD,解得AD=2.

      評注:解法1為了運用重要結(jié)論3求解AD的長,需要先根據(jù)余弦定理求出AC的長,再根據(jù)三角形角平分線性質(zhì)定理求出CD,BD的長.而解法2,先根據(jù)余弦定理求解AC的長,再根據(jù)重要結(jié)論1即可迅速獲解.對比可知,解法2比較簡單!

      例2? 已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=bcos C+33csin B,c=4,a=2.

      (1)若D為AC邊的中點,求BD的長;

      (2)若BD為∠ABC的平分線,求BD的長.

      解析:因為a=bcos C+33csin B,所以由正弦定理得sin A=sin Bcos C+33sin Csin B.

      又注意到sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以cos Bsin C=33sin Csin B.

      于是,可得tan B=3.

      又0

      在△ABC中,由余弦定理,得b2=22+42-2×2×4cosπ3=12,所以b=23.

      (1)根據(jù)重要結(jié)論2,得BD2=12BA2+12BC2-14AC2=12×42+12×22-14×(23)2

      =7,所以可得BD=7.

      (2)方法1:如圖3,BD為∠ABC的平分線,所以ADDC=ABBC=42=2,于是AD=23AC

      =23×23=433,CD=AC-AD=23-433=233.

      所以,根據(jù)重要結(jié)論3,得BD2=BA·BC-AD·CD=4×2-433×233=163,故BD=433.

      方法2:因為BD為∠ABC的平分線,且B=π3,所以∠CBD=π6,∠DBA=π6.

      于是,根據(jù)重要結(jié)論1,可得

      sin∠CBDBA+sin∠DBABC=sin∠ABCBD,

      即sinπ64+sinπ62=sinπ3BD,解得BD=433.

      評注:本題側(cè)重考查解三角形與三角函數(shù)知識的綜合運用.其中第(1)問由于是求中線長,因此可運用重要結(jié)論2求解;第(2)問由于是求角平分線長,因此可運用重要結(jié)論3求解,亦可運用重要結(jié)論1求解.其實,如果能夠觀察到△ABC為直角三角形,則可以迅速求解.

      總之,關注“爪”型三角形對應的幾個重要結(jié)論,有利于幫助我們提高對于解三角形中有關常用知識、方法的靈活運用能力,進一步加深對“爪”型三角形的理解與認識.另一方面,從解題能力視角來看,有利于幫助學生較好地培養(yǎng)直觀想象思維能力、邏輯推理能力以及數(shù)學運算求解等能力[2].

      參考文獻:

      [1]曹亞奇,吳凱.論“爪型三角形”的歸類與突破[J].中學生數(shù)理化(高考數(shù)學),2023(1):38-40,2.

      [2]鄧成兵.研究高考真題 提升核心素養(yǎng)——以一道“爪型”三角形的變式探究為例[J].教學考試,2022(47):64-68.

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