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《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》教學(xué)建議中，強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出，注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動(dòng)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng).2023年秋季學(xué)期我縣在“中小學(xué)數(shù)學(xué)三年提質(zhì)行動(dòng)”一系列活動(dòng)中，主要開(kāi)展了“新授”課型的研究.其中，初中學(xué)段一節(jié)研究課對(duì)人教版八年級(jí)上冊(cè)“完全平方公式”進(jìn)行研討.為了讓活動(dòng)起到更好的輻射作用，筆者組織了縣域八年級(jí)數(shù)學(xué)教師參與課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的集體備課和課堂展示教研活動(dòng)，研討后達(dá)成共識(shí)：在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，充分挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，建構(gòu)學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)將建構(gòu)問(wèn)題解決、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂實(shí)錄分享如下，供參考.

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解完全平方公式的本質(zhì)以及推導(dǎo)過(guò)程，并會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，了解完全平方公式的幾何背景.

（2）經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，理解算理，發(fā)展符號(hào)意識(shí)和數(shù)感，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；培養(yǎng)邏輯推理能力和有條理的思考和表達(dá)能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維和語(yǔ)言思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí).

（3）通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)探究的樂(lè)趣，增強(qiáng)合作意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)與喜悅，樹(shù)立學(xué)習(xí)自信心；培養(yǎng)敢于挑戰(zhàn)、勇于探索的精神和善于觀察、大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì).

2 教學(xué)片段及分析

2.1 解決問(wèn)題需要，自然生長(zhǎng)課題

教師：同學(xué)們！一些特殊的整式乘法可以用什么公式？用這個(gè)公式需要滿足什么特點(diǎn)？

學(xué)生1：使用平方差公式，需滿足兩數(shù)（式）和與這兩數(shù)（式）差的乘積的特點(diǎn).

教師：同學(xué)們！你能用平方差公式計(jì)算1022，982的值嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生2：計(jì)算這兩個(gè)數(shù)不能用平方差公式，因?yàn)樗鼈儾荒芊殖蓛蓚€(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的乘積形式，只能分成兩個(gè)數(shù)的和或差的平方，說(shuō)明還有一類特殊的整式乘法不是平方差公式.

教師：那你認(rèn)為今天應(yīng)該研究什么？

學(xué)生3：研究?jī)蓚€(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的平方分別等于什么.

教師：很好！說(shuō)明在整式乘法中還有一類特殊的式子，我們今天就要研究這個(gè)公式——“完全平方公式”（教師板書(shū)課題）.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)提出需要利用公式解決的問(wèn)題，學(xué)生能夠產(chǎn)生求知欲望，體會(huì)存在數(shù)學(xué)問(wèn)題需要新知來(lái)解決，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使得課堂氣氛寬松活潑.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法，引出課題——完全平方公式.

2.2 舊知形成思維，歸納數(shù)學(xué)公式

教師：如何探索、歸納這一類特殊的整式乘法呢？

學(xué)生4：類比平方差公式的探索方法就可以歸納出公式.

教師：請(qǐng)同學(xué)們翻開(kāi)教材第109頁(yè)，完成思考題并計(jì)算如下4個(gè)多項(xiàng)式的積.

觀察上述四個(gè)式子，你能類比平方差公式發(fā)現(xiàn)四個(gè)式子的特點(diǎn)嗎？

學(xué)生5：通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，前兩個(gè)式子的左邊是兩數(shù)和的平方，右邊是這兩數(shù)的平方和加它們積的2倍；后兩個(gè)式子的左邊是兩數(shù)差的平方，右邊是這兩數(shù)的平方和減去它們積的2倍.

教師：你能類比平方差公式的表示方法，用符號(hào)語(yǔ)言描述它們的規(guī)律嗎？

教師：這兩個(gè)式子有何相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

學(xué)生7：相同點(diǎn)——左邊都是括號(hào)的平方，右邊都是兩數(shù)的平方和，都有它們積的2倍.不同點(diǎn)——前者左邊是兩數(shù)和的平方，右邊是兩數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)積的2倍；后者左邊是兩個(gè)數(shù)差的平方，右邊是兩數(shù)的平方和減去這兩個(gè)數(shù)積的2倍.

教師：你們能用語(yǔ)言文字描述這一規(guī)律嗎？

學(xué)生8：第一個(gè)是兩數(shù)和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上它們積的2倍；第二個(gè)是兩數(shù)差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和減去它們積的2倍.

教師：你們能用一句話描述這一規(guī)律嗎？

學(xué)生9：兩數(shù)（式）的和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)（式）的積的2倍.

教師：很好，這個(gè)規(guī)律就是我們今天要學(xué)習(xí)的完全平方公式.但僅通過(guò)這四個(gè)特殊式子得出的結(jié)論缺乏一般性，要讓它們具有一般性應(yīng)該怎么辦？

學(xué)生10：要把公式從特殊推廣到一般，就要對(duì)公式加以證明.

教師：選用什么樣的證明方法？

學(xué)生11：類比平方差公式的推理方法，一是用代數(shù)方法計(jì)算證明，二是用幾何圖形面積方法證明.

教師：如何用乘法法則來(lái)驗(yàn)證說(shuō)明它們是成立的？

學(xué)生12：用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法

教學(xué)說(shuō)明：按照學(xué)生認(rèn)知水平運(yùn)用“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”的運(yùn)算法則啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析式子的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，類比平方差公式的學(xué)習(xí)觀察發(fā)現(xiàn)式子特征，根據(jù)認(rèn)知能力，歸納形成完全平方公式，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為了讓學(xué)生在課堂上積極表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言描述公式，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

2.3 類比推理方法，深度理解公式

教師：很好，這是用代數(shù)方法來(lái)計(jì)算證明的，還可以用幾何圖形的面積來(lái)說(shuō)明.下面先看我們生活中這類需要解決的問(wèn)題：

問(wèn)題1某學(xué)校原有一塊邊長(zhǎng)為a m的正方形操場(chǎng)，在推進(jìn)優(yōu)質(zhì)均衡教育的過(guò)程中，需要增加學(xué)生平均占地面積，將其邊長(zhǎng)增加b m擴(kuò)大操場(chǎng)，如圖1.

圖1中①②③④各部分的面積如何表示？整個(gè)大正方形操場(chǎng)的面積呢？

學(xué)生13：①②③④各部分的面積分別為a2，ab，b2，ab；擴(kuò)大后整個(gè)大正方形操場(chǎng)的面積是（a+b）2.

教師：為此可以得到一個(gè)什么樣的式子？

學(xué)生14：（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

教師：通過(guò)探索你發(fā)現(xiàn)（a+b）2的結(jié)果是什么了吧？

學(xué)生15：這樣就能證明兩數(shù)和的平方——完全平方和公式

教師：很好！這是兩數(shù)和的完全平方公式.兩數(shù)差呢？

問(wèn)題2某學(xué)校原有一塊邊長(zhǎng)為a m的正方形操場(chǎng)，在推進(jìn)均衡教育的過(guò)程中，需要在原操場(chǎng)上劃出圖2中②③④三塊矩形作為其他用途，將其邊長(zhǎng)減少b m后縮小了操場(chǎng)，如圖2所示.

圖2中①②③④各部分的面積如何表示？原來(lái)大正方形操場(chǎng)面積呢？

學(xué)生16：①②③④各部分操場(chǎng)的面積分別為

教師：若以縮小后操場(chǎng)的面積建立等式，可以得到什么式子？

學(xué)生17：（a-b）2+（a-b）b+b2+（a-b）b=a2，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

教師：通過(guò)探索你發(fā)現(xiàn)（a-b）2的結(jié)果了吧？

學(xué)生18：這樣就能證明兩數(shù)差的平方——完全平方差公式

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生對(duì)完全平方公式已經(jīng)有直觀認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生從代數(shù)角度推導(dǎo)公式，同時(shí)讓學(xué)生辨別公式的易錯(cuò)點(diǎn)“（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2”，學(xué)習(xí)應(yīng)用中應(yīng)注意糾錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生訂正時(shí)可以說(shuō)明原因.細(xì)化生活中的操場(chǎng)問(wèn)題，讓新知與學(xué)生生活中的問(wèn)題相聯(lián)系，幫助學(xué)生再認(rèn)識(shí)完全平方公式，理解完全平方公式的幾何意義.問(wèn)題設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，多數(shù)學(xué)生能夠參與并自主探究出公式.

2.4 公式解決問(wèn)題，內(nèi)化數(shù)學(xué)抽象

教師：你能用完全平方公式計(jì)算下列式子嗎？

（1）（5+3m）2；（2）23x-1.5y2.

學(xué)生19：（1）中只要把5看成公式中的a，3m看成公式中的一個(gè)整體b，就能應(yīng)用完全平方和公式，即（5+3m）2=52+2×5×3m+（3m）2=9m2+30m+25.

學(xué)生20：（2）中要把23x，1.5y分別看成公式中的a，b，由完全平方差公式，得23x-1.5y2=23x2-2×23x×1.5y+（1.5y）2=49x2-2xy+94y2.

教師：你能總結(jié)利用完全平方公式計(jì)算的步驟嗎？

學(xué)生21：首先觀察多項(xiàng)式是否為兩數(shù)（式）的和（差）的平方；若是，就等于前后兩項(xiàng)的平方和與兩數(shù)（式）積的2倍的和（差）.

教學(xué)說(shuō)明：直接運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)公式中a，b的含義及書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范要求.

2.5 回首情境問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)承前啟后

教師：剛才我們用完全平方公式解決了特殊多項(xiàng)式的乘法，現(xiàn)在你能簡(jiǎn)便計(jì)算1022，982的值嗎？

學(xué)生22：把底數(shù)102與98分別用兩個(gè)方便計(jì)算的數(shù)表示成兩數(shù)和或差的形式就能夠運(yùn)用完全平方公式來(lái)解決，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果.

教師：你的想法不錯(cuò)，這兩個(gè)數(shù)選什么更好呢？

學(xué)生23：應(yīng)該選100與2，因?yàn)橛?jì)算方便.

教學(xué)說(shuō)明：解決了導(dǎo)入新課的情境問(wèn)題，讓學(xué)生深刻理解完全平方公式，達(dá)到承前啟后的目的.感受數(shù)學(xué)來(lái)源生活，應(yīng)用于生活，使課堂教學(xué)前后呼應(yīng).

2.6 運(yùn)用核心素養(yǎng)，拓展認(rèn)知思維

問(wèn)題1如果x2+（m+1）xy+25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值.

問(wèn)題2已知（x+y）2=18，（x-y）2=6，求x2+y2和xy的值.

問(wèn)題3分別計(jì)算：（a+b）2與（-a-b）2，（a-b）2與（b-a）2，（a-b）2與a2-b2.每組式子是否相等？通過(guò)這幾組式子的計(jì)算，你有什么體會(huì)？是否還有新的發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題4（1）（a+b+c）2=;

你能設(shè)計(jì)幾何圖形解釋問(wèn)題4中的兩個(gè)式子嗎？

教學(xué)說(shuō)明：根據(jù)教材的題型、題目難度，以及學(xué)情分析情況，設(shè)計(jì)新知應(yīng)用題目，由對(duì)公式的基本應(yīng)用到靈活應(yīng)用，由單純數(shù)學(xué)練習(xí)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，這樣由淺入深的拓展，既能加深對(duì)新知的理解與運(yùn)用，又為學(xué)生完成課后作業(yè)起很好的引導(dǎo)作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)思考

3.1 立足教材精選學(xué)材，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題解決情境

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有數(shù)學(xué)味，能培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，我們創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境沒(méi)有遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有深度思考，理解教材編者意圖，結(jié)合學(xué)生學(xué)情、立足教材構(gòu)建學(xué)材.

3.2 深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，關(guān)注思維自然生長(zhǎng)

教學(xué)從“用教材教”轉(zhuǎn)向“用教材學(xué)”.通過(guò)問(wèn)題情境引出需要簡(jiǎn)便的算法，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望；利用教材中探究環(huán)節(jié)的四個(gè)乘法式子，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，學(xué)生類比平方差公式的探究過(guò)程，總結(jié)歸納出完全平方公式；得到公式后，從代數(shù)視角推理了公式，再結(jié)合生活問(wèn)題的細(xì)化，從幾何角度證明公式.學(xué)生運(yùn)用獲得的素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

3.3 精心建構(gòu)問(wèn)題解決，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

本節(jié)課對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題都來(lái)自于教材，教師通過(guò)細(xì)化問(wèn)題，讓學(xué)生在真正理解問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在幾何證明時(shí)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將問(wèn)題細(xì)化為學(xué)生原有認(rèn)知的問(wèn)題，通過(guò)推理、演算、逐步形成公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力.問(wèn)題的設(shè)置有心而無(wú)痕，這就需要教師在課前精心設(shè)計(jì)，這也是教學(xué)藝術(shù)的較高追求吧.

3.4 聚焦數(shù)學(xué)“三會(huì)”內(nèi)涵，發(fā)展創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)

從整體入手優(yōu)化整個(gè)教學(xué)過(guò)程，從數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言入手，探究平方差公式與完全平方公式之間的邏輯與關(guān)聯(lián)性.教師準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，將這些關(guān)系梳理清楚，引導(dǎo)學(xué)生建立起系統(tǒng)的知識(shí)體系與結(jié)構(gòu).本節(jié)課通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光觀察，從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成完全平方公式；理解正方形操場(chǎng)改建面積背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值;思考揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立完全平方公式與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神.語(yǔ)言為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式，它可以簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式.