張燕

摘?要：本文以2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷22題為例，對基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)進行探討.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632???文獻標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0020-03

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的組成部分，是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)實踐進行聯(lián)系的重要方式.所以，以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目的來開展解題教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要措施.

解題教學(xué)中，試題選擇具有非常重要的作用.通過良好的選題能夠更好地實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”、提升學(xué)生的“四能”，進而實現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.所以在選題過程中，需要充分結(jié)合所學(xué)知識內(nèi)容，選擇合適的例題來進行解題教學(xué).本文選用了2023年新課標(biāo)1卷的解析幾何試題來進行解析幾何的解題教學(xué).

1 試題呈現(xiàn)

（2023年高考新課標(biāo)1卷22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到（0，12）的距離，記點P的運動軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明矩形ABCD的周長大于33[1].

2 問題分析

問題（1）引導(dǎo)：根據(jù)題意，假設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），點P到x軸的距離就可以表示為d=|y|，點P到點（0，12）的距離可以表示為d=（x-0）2+（y-1/2）2，這樣就可以對方程進行表示：|y|=x2+（y-1/2）2，整理可得W：y=x2+14.

問題（2）引導(dǎo)：根據(jù)問題（1）可以知道矩形ABCD的三個頂點在y=x2+14上，就可以將這三個頂點的坐標(biāo)進行表示：

假設(shè)三個頂點的坐標(biāo)分別為：A（a，a2+14），B（b，b2+14），C（c，c2+14），并將三個頂點的橫坐標(biāo)大小關(guān)系確定為a＜b＜c，可以很輕易地確定這個四邊形的四條邊所在的直線斜率存在，且不為0，如圖1所示.

因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率和直線BC的斜率的關(guān)系為：kAB·kBC=-1.

令kAB=b2+1/4-（a2+1/4）b-a=a+b=m＜0，kBC=b+c=n＞0

由kAB·kBC=-1可得mn=-1，即m=-1n，

同時假設(shè)|m|＞|n|，則kBC-kAB=b+c-（a+b）=c-b=n-m=n+1n.

根據(jù)矩形的對稱性，設(shè)矩形的周長為C，則矩形的周長可以表示為C=2（|AB|+|BC|）

所以

12C=|AB|+|BC|=（b-a）1+m2+（c-b）1+n2≥（c-a）1+n2=（n+1n）1+n2.這樣就將矩形ABCD的周長大于33的問題轉(zhuǎn)化為判斷（n+1n）1+n2與332的關(guān)系.同時（n+1n）1+n2＞0明顯成立.

令f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0，求導(dǎo)可得f ′（x）=2（x+1x）2（2x-1x），

令f ′（x）=0解得x=22，

所以可以知道函數(shù)f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0在（0，22）上單調(diào)遞減；在（22，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）min=f（22）=274，

所以12C≥274=332，即C≥33，

當(dāng)C=33時，n=22，m=-2，且（b-a）1+m2=（b-a）1+n2，與m=-1n矛盾，所以C＞33.

3 其他思路

上述問題（2）是利用矩形相鄰兩個邊垂直的關(guān)系，通過直線相鄰邊直線的斜率關(guān)系，對三個頂點的坐標(biāo)進行設(shè)置，從而實現(xiàn)對矩形周長進行表示，實現(xiàn)問題的證明.那么，通過設(shè)置一個點的坐標(biāo)是否能夠?qū)栴}進行證明呢？

解法1?如圖2所示，假設(shè)點A，B，D在E上，且AB⊥AD，

假設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a2+14），根據(jù)AB⊥AD假設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AD的斜率為-1k，根據(jù)對稱性，設(shè)|k|＜1.

直線AB的方程為y=k（x-a）+a2+14，

與y=x2+14聯(lián)立可得x2-kx+ka-a2=0，

△=k2-4（ka-a2）=（k-2a）2＞0，所以k≠2a

所以|AB|=1+k2|k-2a|，同理|AD|=1+1k2|1k+2a|，

所以

|AB|+|AD|=1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）

≥1+k2|k+1k|=（1+k2）3k2，

令m=k2，因為|k|＜1，所以m∈（0，1］.

設(shè)f（m）=（1+m）3m2=m2+3m+1m+3，

求導(dǎo)可得f ′（m）=2m+3-1m2=（2m-1）（m+1）2m2，

令f ′（m）=0，則m=12，

所以函數(shù)f（m）在（0，12）上單調(diào)遞減，在（12，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（m）min=f（12）=274，

所以|AB|+|AD|≥332，

又因1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）取等號的條件是k=1與最終取等時k=22矛盾.所以|AB|+|AD|＞332，即C＞33，

解法2?從一般到特殊.如圖3所示，將函數(shù)y=x2+14的圖象平移14個單位后，矩形ABCD平移后形成的矩形A′B′C′D′，這樣就可以將原問題轉(zhuǎn)化為矩形A′B′C′D′的周長大于33.

平移后，設(shè)點A′，B′，C′的坐標(biāo)分別為A′（t1，t21），B′（t0，t20），C′（t2，t22） ，且t0≥0

所以kA′B′=t1+t0，kB′C′=t2+t0，所以（t1+t0）（t2+t0）=-1，

|A′B′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|，|B′C′|=1+（t2+t0）2|t2-t0|

因為t1＜t0＜t2，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|+1+（t2+t0）2|t2-t0|，

令t2+t0=tanθ，則t1+t0=-cotθ，θ∈（0，π2），

所以t2=tanθ-t0，t1=-cotθ-t0，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+cot2θ（2t0+cotθ）+1+tan2θ（tanθ-2t0），

整理可得：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（1sinθ-1cosθ）+sinθcos2θ+cosθsin2θ=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ所以當(dāng)θ∈（0，π4］時，

|A′B′|+|B′C′|≥cos3θ+sin3θsin2θcos2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ≥21sinθcosθ=22sin2θ≥22當(dāng)θ∈（π4，π2）時，由t1＜t0＜t2可知tanθ-t0＞t0＞-cotθ-t0，

所以tanθ2＞t0＞-cotθ2，且t0≥0，所以0≤t0≤tanθ2，

所以：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ＞sinθ（cosθ-sinθ）（sinθcosθ）sin3θcos2θ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ

=1cosθ+cosθsin2θ=2sin2θsin2θ·2cos2θ=2（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ

≥2［（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ］/3≥2（2/3）3=332

所以，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=33時等號成立，所以矩形ABCD的周長大于33.

4 結(jié)束語

在解題教學(xué)過程中，教師要通過有效的措施引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生共鳴，并給予學(xué)生充分的體驗和體會，從而令其能夠在解題教學(xué)的過程中更好地學(xué)習(xí)解題的思路和方法，實現(xiàn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

參考文獻：

［1］沈新權(quán).關(guān)注理性思維，檢測核心素養(yǎng)：2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷評析[J].高中數(shù)理化，2023（13）：1-4.

［責(zé)任編輯：李?璟］