摘 要：為了提高導(dǎo)彈精確打擊目標(biāo)的能力， 控制攻擊時(shí)間和攻擊角度三維制導(dǎo)問題在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的意義。 針對(duì)這一問題， 本文基于三維矢量制導(dǎo)模型提出了一種視場角約束下的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制律。 首先， 通過將平面矢量制導(dǎo)律擴(kuò)展至三維空間， 提出了一種三維矢量攻擊角度約束制導(dǎo)律； 其次， 在上述制導(dǎo)指令的攔截分量中引入剩余時(shí)間偏置項(xiàng)， 設(shè)計(jì)了一種在視場角約束下的三維矢量制導(dǎo)律， 并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。 保證導(dǎo)彈能在視場角約束的條件下， 以期望的攻擊時(shí)間和角度擊中目標(biāo)， 并且誤差均小于0.01； 最后， 通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)彈； 矢量制導(dǎo)律； 視場角限制； 攻擊時(shí)間約束； 攻擊角度約束； 耦合非線性

中圖分類號(hào)：TJ760； V249.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)：1673-5048（2024）04-0049-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0228

0 引 言

隨著現(xiàn)代防御技術(shù)的快速發(fā)展， 傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的有效性有所降低。 面對(duì)這一挑戰(zhàn)， 越來越多的約束條件被引入到導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)當(dāng)中， 例如約束攻擊角度和攻擊時(shí)間。 攻擊角度約束可以通過攻擊弱點(diǎn)來增加對(duì)目標(biāo)的破壞力， 而攻擊時(shí)間約束可以通過齊射攻擊來提高對(duì)反導(dǎo)系統(tǒng)的生存能力。 近年來， 隨著捷聯(lián)式導(dǎo)引頭的廣泛應(yīng)用， 由于導(dǎo)引頭探測視野有限， 在制導(dǎo)過程中還需要考慮到視場角的約束問題。 在過去幾十年里， 針對(duì)多約束情況下的末端制導(dǎo)律展開了廣泛的研究活動(dòng)。

在這項(xiàng)研究的背景下， 文獻(xiàn)中提出的解決攻擊方向控制問題的方法可以分為兩個(gè)類別， 即二維和三維方法。 二維方法的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)特定的攻擊角度， 而三維方法的目標(biāo)是在空間中獲得特定的攻擊矢量。 攻擊角約束制導(dǎo)律IACG（Impact Angle Constrained Guidance）的開創(chuàng)性工作可以追溯到文獻(xiàn)［1］為再入飛行器設(shè)計(jì)了一種角度控制導(dǎo)引律。 在文獻(xiàn)［2］中， 為了滿足攻擊角度的約束， 在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上， 設(shè)計(jì)了一種帶有偏置項(xiàng)的制導(dǎo)方法。 文獻(xiàn)［3-4］通過解決以控制能量的積分除以時(shí)間剩余的冪函數(shù)為代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)控制問題， 設(shè)計(jì)了時(shí)間加權(quán)的最優(yōu)角度控制方法。 文獻(xiàn)［5-6］通過將期望值與估計(jì)值之間的攻擊角誤差的反饋指令添加到比例導(dǎo)引指令中， 提出了兩種不同的角度控制方法， 其形式為偏置比例導(dǎo)引。 孫勝等［7］在考慮駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的前提下采用終端滑模控制提出了一種約束攻擊角度的方法。 在文獻(xiàn)［8-9］中， 通過利用最優(yōu)誤差動(dòng)態(tài)開發(fā)了一個(gè)通用的角度控制方法， 并針對(duì)模型進(jìn)行非線性擴(kuò)展， 以攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)。 文獻(xiàn)［10-11］提出了在視場角約束下的帶有制導(dǎo)律切換的偏置比例導(dǎo)引法， 用以攻擊具有攻擊角和目標(biāo)加速度約束的機(jī)動(dòng)目標(biāo)。 魯嬌嬌等［12］提出了一種考慮導(dǎo)引頭耦合作用的帶落角約束制導(dǎo)律。

攻擊時(shí)間約束制導(dǎo)律首次在文獻(xiàn)［13］中被討論， 旨在實(shí)現(xiàn)多枚反艦導(dǎo)彈的齊射攻擊。 隨后， 文獻(xiàn)［14］在線性化假設(shè)的基礎(chǔ)上， 提出了一種非線性的導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法。 文獻(xiàn)［15］使用滑模控制來約束攻擊時(shí)間， 且制導(dǎo)指令沒有奇異性。 在文獻(xiàn)［16］中， 高計(jì)委提出了一種基于自適應(yīng)滑?？刂频募s束攻擊時(shí)間的制導(dǎo)律。 陳升富等［17］通過設(shè)定攻擊時(shí)間， 提出一種帶視場角約束和時(shí)間約束的制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)［18］提出了一種通過將視角曲線作為時(shí)間多項(xiàng)式來構(gòu)造新的攻擊時(shí)間控制方法。 在文獻(xiàn)［19］中， 通過構(gòu)建一個(gè)時(shí)間變化的瞄準(zhǔn)線曲線， 并應(yīng)用終端滑模控制， 設(shè)計(jì)了一種針對(duì)各種機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攻擊時(shí)間約束制導(dǎo)律。 在最優(yōu)誤差動(dòng)態(tài)框架下， 文獻(xiàn)［20］設(shè)計(jì)了一個(gè)包括比例導(dǎo)引和攻擊時(shí)間誤差反饋回路的攻擊時(shí)間約束制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)［21］開發(fā)了一個(gè)具有精確的時(shí)間估計(jì)的變?cè)鲆姹壤龑?dǎo)引法， 以實(shí)現(xiàn)在不同制導(dǎo)場景下的精確攻擊時(shí)間控制。 Jeon等［22］提出了一種新型的比例導(dǎo)引方法， 通過使用時(shí)變的自適應(yīng)制導(dǎo)增益， 調(diào)整多枚導(dǎo)彈的攔截時(shí)間間隔。 針對(duì)多彈協(xié)同攻擊問題， 受限于導(dǎo)彈速度的不可控， 張振林等［23］提出了一種新型導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律。 該制導(dǎo)律基于領(lǐng)彈-從彈策略在導(dǎo)彈速度不可控的前提下， 成功實(shí)現(xiàn)了角度約束下的時(shí)間協(xié)同。 陳亞東等［24］在視場角受限的條件下提出了一種三維攻擊角度控制導(dǎo)引律。 馬萌晨等［25］提出了一種攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的三維協(xié)同制導(dǎo)律。

現(xiàn)有的三維導(dǎo)引律中多采用對(duì)導(dǎo)引律解耦為俯仰方向和偏航方向進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)， 但由于在三維空間中的制導(dǎo)模型存在非線性， 俯仰通道和偏航通道之間存在交叉耦合關(guān)系， 導(dǎo)引指令的設(shè)計(jì)過于復(fù)雜， 缺乏直觀性。 為解決這一問題， 本文引入了三維矢量制導(dǎo)模型， 將最優(yōu)平面的約束角度控制律擴(kuò)展到三維， 并引入約束視場角及攻擊時(shí)間的偏置項(xiàng)， 提出了一種在視場角限制的條件下約束攻擊時(shí)間和攻擊角度的三維矢量制導(dǎo)律。

1 約束攻擊時(shí)間和角度的三維導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型

1.1 三維制導(dǎo)模型

考慮在三維空間中導(dǎo)彈M攻擊靜止目標(biāo)T， 其制導(dǎo)的幾何模型如圖1所示。 其中， XvYvZv為速度坐標(biāo)系， 原點(diǎn)O代表導(dǎo)彈的質(zhì)心， XYZ為慣性坐標(biāo)系的方向。 假設(shè)導(dǎo)彈在末制導(dǎo)階段的速度大小保持不變， 用矢量Vm表示， R表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)位置矢量， 定義為

R=Pt－Pm（1）

式中： Pm和Pt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置矢量。

矢量ac表示導(dǎo)彈的加速度， 與速度Vm垂直。 在實(shí)際應(yīng)用中， 通常將加速度ac沿俯仰和偏航兩個(gè)方向進(jìn)行分解， 即速度坐標(biāo)系下MYv軸的ay和MZv軸的az， 加速度ac可表示為

ac=ay+az（2）

ΩR為彈目視線的旋轉(zhuǎn)角速度矢量， Ωv為導(dǎo)彈速度矢量Vm的旋轉(zhuǎn)角速度矢量， 可分別表示為

ΩR=－Vm×RR2

Ωv=－Vm×acVm2（3）

式中： ×為兩個(gè)矢量的外積； ·為矢量的二階范數(shù)。

1.2 約束攻擊角度的三維矢量運(yùn)動(dòng)模型

如圖2所示， 其中XYZ為導(dǎo)彈的慣性坐標(biāo)系， 為了方便制導(dǎo)律設(shè)計(jì)， 引入了一些單位矢量和角度。 其中Vm為導(dǎo)彈的速度矢量， Vm為導(dǎo)彈速度矢量的二階范數(shù)， 其單位向量為vm， 三者之間的關(guān)系可以表示為

Vm=Vm

vm=Vm/Vm（4）

R為導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)位置矢量， 其二階范數(shù)為r， 其單位向量為vR， 三者之間關(guān)系可表示為

r=R

vR=R/r （5）

Vd為期望的攻擊速度矢量， 其單位向量為vd， 二者之間關(guān)系可表示為vd=Vd/Vd。 在假設(shè)攻角和側(cè)滑角很小的條件下， 速度軸與導(dǎo)引頭主軸會(huì)在同一直線上， 由此可將導(dǎo)彈視場角σ定義為導(dǎo)彈的速度方向Vm和導(dǎo)彈與目標(biāo)的連線R之間形成的空間夾角， 同時(shí)， 視場角σ也可以被視為導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的航向誤差， 將期望的攻擊速度矢量Vd與彈目連線矢量R之間的夾角定義為δ， 此時(shí)σ和δ可表示為

σ=arccosvm·vRvmvR σ∈［0， π］

δ=arccosvd·vRvdvR δ∈［0， π］ （6）

因此， 考慮重力情況下的導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程可以描述為［26］

R·=－Vm（7）

V·m=ac+（g·vm）vm（8）

r·=－Vmcosσ（9）

σ·=Vmsinσr－ac·vRVmsinσ（10）

δ·=－Vmrsinδvd·vm－VmcosσrsinδvR·vd（11）

因此， 在三維矢量制導(dǎo)模型中， 視場角限制的條件下， 攻擊時(shí)間和攻擊角度的約束律可表示為

R→0

t→td

Vm→Vd

0≤σ≤σmax （12）

式中： t為導(dǎo)彈的飛行時(shí)間； td為導(dǎo)彈期望的攻擊時(shí)間； σmax表示導(dǎo)彈的最大視場角。

三維制導(dǎo)模型和歐拉角制導(dǎo)模型是為解決同樣問題而采用的不同模型構(gòu)建方法。 因此， 在三維矢量模型中， 期望的速度矢量vd與歐拉角制導(dǎo)模型中的期望俯仰角θd和方向角φd之間存在如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

vd=cosθdcosφd

cosθdsinφd

sinθd（13）

2 具有攻擊約束的三維矢量制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 約束攻擊角度的三維矢量制導(dǎo)律

在三維空間中， 比例導(dǎo)引指令為

aPNG=NΩR×Vm（14）

式中： N為比例導(dǎo)引系數(shù)； ΩR為彈目視線的旋轉(zhuǎn)角速度矢量。

受到文獻(xiàn)［27］的啟發(fā)， 可以將約束角度的三維矢量制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

aIACG=NΩR×Vm+2（N－1）V2mδcosσn vd×vRvd×vR×vm （15）

將式（3）代入式（15）， 具有角度約束的三維矢量制導(dǎo)律aIACG為

aIACG=－NV2msinσrvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（16）

根據(jù)式（16）可得， 約束角度的三維矢量制導(dǎo)律包括兩個(gè)部分： 一個(gè)是在vm×vRvm×vR×vm方向上的攔截部分， 用于減小航向誤差； 另一個(gè)是在vd×vRvd×vR×vm方向上的轉(zhuǎn)向部分， 用于實(shí)現(xiàn)期望的沖擊角度。

在初始條件下， 當(dāng)σ0≤π2時(shí)， 通過式（15）的制導(dǎo)律使導(dǎo)彈能夠以期望的速度方向Vd擊中目標(biāo)， 也就是在三維空間中實(shí)現(xiàn)了期望的沖擊角度。

證明： 將式（9）與式（4）～（5）聯(lián)立可得vR的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

v·R=－Vmrvm+VmcosσrvR（17）

由于設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律方向始終垂直于速度方向vm， 因此vm的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

v·m=aIACGVm=－NVmsinσrvm×vRvm×vR×vm+2（N－1）Vmδcosσrvd×vRvd×vR×vm（18）

由式（6）可得σ的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

σ·=－1sinσ（v·R·vm+vR·v·m）（19）

聯(lián)立式（16）～（18）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （20）

δ對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

δ·=－1sinδ（v·R·vd+vR·v·d）=

－Vmsinσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （21）

通過式（19）可知

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（22）

對(duì)于所有t>0， A=σ|0≤σ<π2都是一個(gè)正不變集， 因此， 在初始條件σ0≤π2下， 對(duì)于所有t>0， 始終滿足0≤σ<π2。 由于r·=－Vmcosσ， 導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離單調(diào)遞減至零。

令ε=arccosvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR， 構(gòu)造函數(shù)

T=sinσsinδsinε≥0， 對(duì)函數(shù)T求導(dǎo)可得

T·=σ·cosσsinδsinε+δ·sinσcosδsinε+

ε·sinσsinδcosε（23）

T·=－（N－1）Vmsinσcosσsinδsinεr－2Vmcos2σsinδsinεr≤－（N－1）VmcosσrT（24）

由于r·=－Vmcosσ， 則

dTdt=r·（N－1）Tr （25）

轉(zhuǎn)化為T對(duì)r的導(dǎo)數(shù)， 即

dTdr≥（N－1）Tr（26）

通過微分式（26）可得0≤T≤rr0N－1， 其中， r0表示r的初始值， 因此， 當(dāng)r趨近于 0 時(shí)， limr→0（sinσsinδsinε）=0。 此時(shí)矢量Vm， Vd和R處于同一平面上。 可見， 在制導(dǎo)律式（14）的作用下， 隨著導(dǎo)彈接近目標(biāo)， 三維空間制導(dǎo)問題將轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)［9］中的二維平面制導(dǎo)問題。 根據(jù)文獻(xiàn)［9］的結(jié)論， 即可證明該制導(dǎo)律可以使導(dǎo)彈在三維空間實(shí)現(xiàn)對(duì)攻擊角度的約束。

2.2 視場角約束下的攻擊時(shí)間和角度三維矢量制導(dǎo)律

由式（15）可知， 約束角度的三維矢量制導(dǎo)律包含用于減小航向誤差的攔截部分和用于實(shí)現(xiàn)期望的沖擊角度轉(zhuǎn)向部分。 為了實(shí)現(xiàn)所期望的攻擊時(shí)間， 可以通過將式（15）的攔截部分與一個(gè)時(shí)間偏置項(xiàng)atime相結(jié)合， 則具有約束攻擊時(shí)間和角度的三維矢量制導(dǎo)律aITAG設(shè)計(jì)為

aITAG=－NV2msinσr+atimevm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（27）

此時(shí)， σ對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr－atimeVm（28）

假設(shè)ε值很小， 結(jié)合式（21）和（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσr－atimeVm（29）

δ·=－Vmsinσr（30）

將剩余時(shí)間誤差定義為Δ=td－t－tgo， 其中， td為期望的攻擊時(shí)間， tgo為剩余飛行時(shí)間。 剩余飛行時(shí)間可以被設(shè)計(jì)為［8］

tgo=rVm1+sin2σ2（2N－1）（31）

結(jié)合式（31）， 假設(shè)σ為小角度， 則誤差Δ對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

Δ·=－rsin2σ2（2N－1）V2matime（32）

將最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)為

Δ·+K·PσσmaxtgoΔ=0（33）

式中的K為設(shè)計(jì)參數(shù)， 在文獻(xiàn)［8］中已經(jīng)證明了在誤差動(dòng)力學(xué)方程（33）下， 時(shí)間誤差Δ能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0， 因此視場角限制下的時(shí)間偏置項(xiàng)atime可以設(shè)計(jì)為

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ（34）

式中： α為增益系數(shù)。

限制視場角的函數(shù)為

P（x）=cosπx22 （35）

將式（34）代入式（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr-

（2N－1）VmcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ （36）

在σ=π/2的情況下有

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（37）

類似式（22）的證明方法， 式（37）可以得出基于式（27）的制導(dǎo)律。 在初始條件0≤σ<π/2的情況下， 導(dǎo)彈可以在三維空間中以期望的攻擊角度和時(shí)間擊中目標(biāo)。

注意到， 在偏置項(xiàng)atime中， 當(dāng)σ→0時(shí)， 可能會(huì)出現(xiàn)奇異性。 為了防止這種情況出現(xiàn)， 令κ=sin2σ， 構(gòu)造輔助函數(shù)ζ， 代入式（34）， 此時(shí)改進(jìn)后的制導(dǎo)律為

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgo ζ（κ）καΔ（38）

其中函數(shù)ζ為

ζ=κl2－1≤κ≤1

1else（39）

式中： l為設(shè)計(jì)參數(shù)。

根據(jù)洛必達(dá)法則limκ→0ζ（κ）κ=2·κ·κ′a2κ′=0， 因此可以避免偏置項(xiàng)atime中奇異點(diǎn)的出現(xiàn)。

將式（35）和（38）代入式（27）， 視場角限制下的約束攻擊時(shí)間和角度的三維制導(dǎo)律為

ac=－NV2msinσr+（2N－1）V2mcosσrtgo·

cosπσσmax22 ζ（κ）καΔvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（40）

在實(shí)際過程中， 制導(dǎo)指令ac將沿著速度坐標(biāo)系分解為俯仰加速度ay和偏航加速度az， 基于文獻(xiàn)［28］， 考慮重力補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)彈三維多約束末制導(dǎo)律可表示為

ay=j·ac

az=k·ac+gcosω （41）

式中： ω為導(dǎo)彈的彈道傾角。

令Vi， Vj， Vk分別為導(dǎo)彈的速度方向vm在慣性坐標(biāo)系中沿著X軸、 Y軸、 Z軸的投影， 因此， ω可表示為ω=arctanVkV2i+V2j。 矢量j為速度坐標(biāo)系下Y軸的單位向量， k為速度坐標(biāo)系下Z軸的單位向量， j， k可表示為

jk=－sinφmcosφm0

－sinθmcosφm－sinθmsinφmcosθm （42）

式中： θm為導(dǎo)彈的俯仰角； φm為導(dǎo)彈的偏航角。

3 數(shù)值仿真

仿真中提供了三種場景， 以驗(yàn)證所提出的制導(dǎo)律在不同場景下的有效性。 在所有仿真過程中均使用相同的參數(shù)， 即N=3， K=1， l=0.01， α=12， 導(dǎo)彈在俯仰和偏航方向的最大加速度均為10g。

此外， 為了更好地可視化導(dǎo)彈的速度方向， 導(dǎo)彈的速度方向vm使用俯仰角θm和偏航角φm來表示， 如圖2所示。 其轉(zhuǎn)化關(guān)系可以表示為

vm=cosθmcosφmcosθmsinφmsinθm（43）

導(dǎo)彈的俯仰角和方位角范圍分別為［－90°， 90°］和［0°， 360°）， 并且導(dǎo)彈期望的速度方向Vd也通過俯仰角和偏航角θd和φd來描述， 其轉(zhuǎn)換關(guān)系可以由式（13）得到。 為了更直觀地判斷制導(dǎo)律對(duì)于角度約束的有效性， 將攻擊角度誤差定義為當(dāng)前速度方向與期望速度方向的夾角， 表示為

error=arccosVm·VdVmVd（44）

場景一： 約束時(shí)間和攻擊角度的三維矢量制導(dǎo)律

為驗(yàn)證所提制導(dǎo)算法在期望角度下的攻擊時(shí)間約束能力， 將3枚導(dǎo)彈的初始位置均設(shè)定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目標(biāo)位置設(shè)定在（0， 0， 0） m， 導(dǎo)彈初始速度設(shè)定為（0， －300， 0） m/s， 目標(biāo)的初始速度設(shè)定為（0， －40， 0） m/s。

導(dǎo)彈的期望攻擊時(shí)間分別為70 s， 80 s， 90 s， 期望的俯仰角為θd=－60°， 偏航角為φd=90°。 仿真結(jié)果如圖3～8所示。

根據(jù)圖3和圖5所示， 本文提出的約束攻擊時(shí)間和攻擊角度三維矢量制導(dǎo)律可以使導(dǎo)彈成功擊中目標(biāo)， 并且導(dǎo)彈的視場角均能收斂至零。 從圖4和圖6可以看出， 導(dǎo)彈目標(biāo)距離和導(dǎo)彈期望速度方向與導(dǎo)彈實(shí)際速度方向的誤差均能在期望的時(shí)間收斂至零， 從而實(shí)現(xiàn)在不同的時(shí)間以相同的角度擊中目標(biāo)。 圖7和圖8分別為導(dǎo)彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個(gè)方向的加速度大小均被限制在10g以內(nèi)。

場景二： 視場角限制下約束時(shí)間和攻擊角度的三維矢量制導(dǎo)律

為驗(yàn)證所提制導(dǎo)算法的視場角約束能力， 導(dǎo)彈的最大視場角為σmax=55°， 導(dǎo)彈的期望攻擊時(shí)間分別為70 s， 75 s， 80 s， 其他條件均和場景一相同。 仿真結(jié)果如圖9～14所示。

由圖9～12可以看出， 3枚導(dǎo)彈均能以期望的攻擊時(shí)間和角度擊中目標(biāo)， 導(dǎo)彈的視場角、 導(dǎo)彈速度方向和期望速度方向的誤差能收斂至零。 從圖11可得， 與場景一相比， 導(dǎo)彈的視場角在制導(dǎo)過程中均能保證角度約束，

且最大視場角被限制在55°以內(nèi)。 圖13和圖14分別為導(dǎo)彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個(gè)方向的加速度大小均被限制在10g以內(nèi)。 對(duì)比場景一的仿真結(jié)果， 本文提出的制導(dǎo)律能夠在視場角約束的情況下， 實(shí)現(xiàn)以不同的期望攻擊時(shí)間和角度擊中目標(biāo)。

場景三： 不同攻擊角度約束下的多導(dǎo)彈齊射攻擊

為驗(yàn)證所提制導(dǎo)算法在期望時(shí)間下的攻擊角度的約束能力， 將5枚導(dǎo)彈的初始位置均設(shè)定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目標(biāo)位置設(shè)定在（0， 0， 0） m， 導(dǎo)彈初始速度設(shè)定為（0， －300， 0） m/s， 目標(biāo)的初始速度設(shè)定為（0， －30， 0） m/s。 導(dǎo)彈的最大視場角為σmax=55°， 導(dǎo)彈的期望攻擊時(shí)間為80 s， 不同的攻擊角度約束如表1所示， 仿真結(jié)果如圖15～20所示。

從圖15和圖17可以觀察到， 通過本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律， 導(dǎo)彈能夠成功地以不同的期望攻擊角度在三維空間中攻擊目標(biāo)。 此外， 圖16和圖17顯示出在導(dǎo)彈的飛行過程中， 最大視場角始終被限制在55°， 并且所有導(dǎo)彈均能以期望的角度在期望的攻擊時(shí)間擊中目標(biāo)。 圖19和圖20分別代表導(dǎo)彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個(gè)方向的加速度大小均被限制在10g以內(nèi)。

4 結(jié) 論

針對(duì)三維空間中視場角限制下導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制問題， 本文提出了一種基于偏置比例導(dǎo)引的矢量制導(dǎo)方法， 能夠使導(dǎo)彈在視場角限制的條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)攻擊時(shí)間和攻擊角度的約束。 與其他制導(dǎo)律相比， 本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)指令不需要進(jìn)行制導(dǎo)律的切換以及模型的解耦， 參數(shù)選擇相對(duì)便捷。 通過多個(gè)場景的數(shù)值仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律能夠使導(dǎo)彈在多種約束條件下精確地?fù)糁心繕?biāo)， 驗(yàn)證了該方法的有效性。

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Design of Three-Dimensional Vector Guidance Law for Attack

Time and Angle under Field of View Angle Constraints

Xiong Tianhao1， Wang Changyuan1， Zhang Ke2*， Su Yu2， Guo Zhengyu3

（1.School of Armament Science and Technology， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China；

2. School of Astronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

3. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China）

Abstract： In order to enhance the precision of missile strikes on targets， controlling the three-dimensional gui-dance problem involving attack time and attack angle is of significant importance in practical applications. For addressing this problem， this paper proposes a control law for attack time and attack angle under field-of-view constraints based on the three-dimensional vector guidance model. Firstly， by extending the planar vector guidance law to three-dimensional space， it introduces a three-dimensional vector attack angle constrained guidance law. Secondly， incorporating a residual time bias term into the interception component of the above guidance command， it designs a three-dimensional vector guidance law under field-of-view constraints， and performs the stability analysis. This design ensures that the missile can hit the target with the desired attack time and attack angle within the constraints of the field of view， with errors less than 0.01. Finally， the correctness and effectiveness of the designed guidance law are validated through numerical simulations.

Key words： missile； vector guidance law； field of view constraint； attack time constraint； attack angle constraint； coupled nonlinearity