［摘 要］ 基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)探尋最優(yōu)方案解決實(shí)際問(wèn)題大有裨益，能有效連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活. 采用比較研究法，詳細(xì)分析北師大版高中數(shù)學(xué)新舊教材中基本不等式的課標(biāo)要求、知識(shí)編排、數(shù)學(xué)文化及例習(xí)題設(shè)置，利于新一輪教材編撰及教學(xué)策略優(yōu)化. 基于研究結(jié)果提出三點(diǎn)教學(xué)建議：基于整體觀念調(diào)整“大單元”教學(xué)內(nèi)容；以數(shù)學(xué)文化為“引”發(fā)揮真實(shí)效能；推進(jìn)例習(xí)題設(shè)計(jì)多樣化.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)教材；基本不等式；北師大版；比較研究

引言

教材的編寫(xiě)與研究是教材建設(shè)工作相互聯(lián)系的兩個(gè)方面，前者為后者提供素材并展現(xiàn)其成果和水平，后者則為前者提供科學(xué)基礎(chǔ)昭示其改進(jìn)方向［1］. 隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的發(fā)布，新教材編撰再起波瀾. 因此，研究教材變遷，了解其發(fā)展與應(yīng)用至關(guān)重要.

研究對(duì)比北京師范大學(xué)出版社于2011年和2019年出版的普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)（2011年出版的教科書(shū)簡(jiǎn)稱舊教材，2019年出版的教科書(shū)簡(jiǎn)稱新教材）中的基本不等式內(nèi)容，原因有二：其一，基本不等式是高中數(shù)學(xué)聯(lián)系生活的重要橋梁，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化素材，涉及眾多數(shù)學(xué)思想方法. 隨著教育改革的推進(jìn)，以及課程標(biāo)準(zhǔn)的更新?lián)Q代，基本不等式相關(guān)內(nèi)容更迭不斷，相較于基本不等式的教學(xué)、證明和應(yīng)用研究，教科書(shū)方向的研究較少. 其二，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教材比較研究多關(guān)注人教版，然其他版本教材亦有眾多可取之處. 北師大版是除人教版外使用范圍最廣的教材，曾獲國(guó)家教材委員會(huì)主辦、教育部承辦四年一次的“全國(guó)優(yōu)秀教材（基礎(chǔ)教育類）”二等獎(jiǎng)［2］. 研究擬從比較視角分析課標(biāo)要求、知識(shí)編排、數(shù)學(xué)文化和例習(xí)題設(shè)置，明晰“基本不等式”內(nèi)容在新舊教材變遷中的變化，以期以小見(jiàn)大，助力研究者掌握數(shù)學(xué)教材變革動(dòng)向，并為新一輪教材編撰及一線教師合理使用教材提供參考借鑒.

研究?jī)?nèi)容與結(jié)果分析

1. 課標(biāo)要求

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫(xiě)和修訂的依據(jù)，因而剖析不同時(shí)期的課程標(biāo)準(zhǔn)利于明晰教材在改版過(guò)程中的編排脈絡(luò)與變革動(dòng)向. 對(duì)比《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（下文簡(jiǎn)稱舊課標(biāo)）與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）對(duì)基本不等式的要求如表1所示.

從內(nèi)容要求來(lái)看，新舊課標(biāo)均對(duì)“內(nèi)涵理解”與“公式應(yīng)用”提出了要求. 就第一點(diǎn)而言，新課標(biāo)對(duì)基本不等式行為動(dòng)詞的要求從“探索并了解”提升為“掌握”，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者需深入理解數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征. 而從第二點(diǎn)來(lái)看，新舊課標(biāo)均強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，但新課標(biāo)特別注重“結(jié)合具體實(shí)例”，強(qiáng)化理論與實(shí)踐的結(jié)合.

新舊課標(biāo)均未對(duì)基本不等式作單獨(dú)提示，而是歸入“不等式”大類描述. 舊課標(biāo)主要闡明不等式是刻畫(huà)區(qū)域的重要工具，而新課標(biāo)則更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，以及等式與不等式的共性與差異的探索.

從學(xué)業(yè)要求來(lái)看，舊課標(biāo)未具體規(guī)定，新課標(biāo)則重視核心素養(yǎng)目標(biāo)，切合黨的教育方針，強(qiáng)調(diào)教材在立德樹(shù)人方面的價(jià)值.

2. 知識(shí)編排

（1）章節(jié)設(shè)置

如表2所示，基本不等式在新舊教材中均屬必修內(nèi)容，但舊教材中的基本不等式位于必修末尾（必修5），而新教材則將基本不等式移至必修第一冊(cè)第一章“預(yù)備知識(shí)”中，必修地位有所提升. 小學(xué)、初中初步學(xué)習(xí)了不等式，高中前置基本不等式，強(qiáng)化課程銜接，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)最值奠定了基礎(chǔ). 因此，教材修訂基本不等式章節(jié)，使學(xué)習(xí)順序更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平.

（2）欄目設(shè)置

教材中的欄目是表征知識(shí)的一種方式，也是體現(xiàn)教材建構(gòu)特色的一種形式，蘊(yùn)含著豐富的教育教學(xué)價(jià)值［3］. 統(tǒng)計(jì)并比較新舊版教材的欄目設(shè)置，以明晰其編寫(xiě)特色及異同（結(jié)果如表3所示）.

由表3可知，新舊教材均設(shè)置“思考交流”“閱讀材料”欄目，表明教材編寫(xiě)注重學(xué)生拓展性思維的發(fā)展. 新教材將“小資料”欄目歸入同類的“閱讀材料”欄目，優(yōu)化欄目編排設(shè)計(jì). 同時(shí)，新教材在借鑒舊教材編排經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，新增了“實(shí)例分析”和“抽象概括”兩個(gè)欄目，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探究和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作檢驗(yàn)知識(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

3. 數(shù)學(xué)文化

（1）數(shù)學(xué)文化分類

新舊課標(biāo)均注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透和價(jià)值體現(xiàn)［4］［5］. 借鑒王建磐和汪曉勤對(duì)數(shù)學(xué)文化的界定［6］，以新舊教材為例進(jìn)行概括說(shuō)明（見(jiàn)表4），并統(tǒng)計(jì)新舊教材中基本不等式數(shù)學(xué)文化的分類數(shù)量（見(jiàn)圖1）.

由圖1可知，兩版教材基本不等式數(shù)學(xué)文化以“數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活”為主，其他類別較少，且均未提及“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”，分布不均. 新教材基本不等式內(nèi)容總頁(yè)數(shù)（7頁(yè)）少于舊教材（10頁(yè)），說(shuō)明其數(shù)學(xué)文化分布密度略大于舊教材.

（2）數(shù)學(xué)文化運(yùn)用方式

按數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式分為五類：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式［7］（見(jiàn)表5）. 其他數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用方式可分為外在型和內(nèi)在型（內(nèi)在型又可細(xì)分為可分離型和不可分離型）［8］（見(jiàn)表6）.

如圖2、圖3所示，新舊教材均將趙爽弦圖史料置于節(jié)末，關(guān)聯(lián)國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，讓史料有效鏈接現(xiàn)實(shí). 其文字部分屬于重構(gòu)式，與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度較高；圖片部分屬于點(diǎn)綴式. 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，基本不等式內(nèi)容中其他數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用方式大多屬于可分離型（見(jiàn)表7），與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度較低，即去掉數(shù)學(xué)文化背景也不影響數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決.

4. 例習(xí)題設(shè)置

（1）例習(xí)題數(shù)量

習(xí)題分為練習(xí)題（欄目標(biāo)題帶有“練習(xí)”二字）、課后習(xí)題（欄目標(biāo)題帶有“習(xí)題”二字）和復(fù)習(xí)題（通常出現(xiàn)于章末，涉及一章所有知識(shí)點(diǎn)）. 規(guī)定例習(xí)題的題量以小題數(shù)量為準(zhǔn)：每一例習(xí)題出現(xiàn)一次計(jì)題量為1；若一大題包含4個(gè)小題且小題間無(wú)絕對(duì)關(guān)聯(lián)性，則計(jì)題量為4，否則為1；若一大題不包含任何小題，則計(jì)題量為1；若一小題存在多問(wèn)，也計(jì)題量為1. 基于上述規(guī)定，對(duì)基本不等式相關(guān)例習(xí)題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表8所示.

基本不等式在舊教材中共6道例題、15道習(xí)題，在新教材中共3道例題、21道習(xí)題. 通過(guò)比較可知，新教材中的例題減少了而習(xí)題增加了，更考驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化與遷移能力. 此外，兩版教材的習(xí)題均設(shè)置為A組、B組，體現(xiàn)難度的分層設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生的差異性.

（2）例習(xí)題內(nèi)容

新舊教材在例習(xí)題內(nèi)容設(shè)置上也有所差異. 如圖4、圖5所示，舊教材將基本不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)置于例題中，并給出證明過(guò)程；而新教材則將其置于習(xí)題中，不給證明過(guò)程，對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求.

（3）例習(xí)題綜合難度

為深入了解基本不等式的例習(xí)題設(shè)置特征，借鑒吳立寶、王建波、曹一鳴［9］構(gòu)建的難度分析框架，分別從要求水平（模仿、理解、運(yùn)用、探究）、知識(shí)點(diǎn)數(shù)量（1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)及以上）和背景水平（無(wú)背景、個(gè)人生活背景、公共常識(shí)背景、科學(xué)背景）三個(gè)維度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依據(jù)公式計(jì)算難度，結(jié)果保留兩位小數(shù)，如表9所示.

由表8、表9可知，雖然新教材中的例習(xí)題更多，但難度小于舊教材，表明教材沿革中，例習(xí)題對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)程度的考查趨向基礎(chǔ)性. 就要求水平而言，新教材計(jì)算值小于舊教材，且兩版教材均較少設(shè)置探究類例習(xí)題；在知識(shí)點(diǎn)考查數(shù)量上，新教材計(jì)算值小于舊教材，且對(duì)1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查居多，而舊教材主要考查2個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)；從背景水平來(lái)看，新教材計(jì)算值小于舊教材，兩者多設(shè)置無(wú)背景例習(xí)題（即純數(shù)學(xué)背景），表明教科書(shū)的編排始終重視數(shù)學(xué)知識(shí)本身，且有背景的例習(xí)題均以個(gè)人生活為主，科學(xué)背景較少. 總體而言，新教材在各個(gè)維度的計(jì)算值均小于舊教材，可見(jiàn)教材對(duì)例習(xí)題各維度的變遷趨向一致.

研究總結(jié)與建議

通過(guò)比較北師大版高中數(shù)學(xué)新舊教材基本不等式內(nèi)容，洞察教材發(fā)展趨勢(shì)，提出三點(diǎn)建議，助力教師教學(xué)和教材編撰.

1. 基于整體觀念調(diào)整“大單元”教學(xué)內(nèi)容

建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀強(qiáng)調(diào)應(yīng)把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，生長(zhǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)［10］. 因此，對(duì)教育教學(xué)而言，知識(shí)過(guò)渡與銜接尤為重要. 新教材對(duì)基本不等式內(nèi)容的調(diào)整可見(jiàn)一斑，其將基本不等式置于“預(yù)備知識(shí)”處，能有效銜接初中不等式與高中函數(shù)最值的學(xué)習(xí).

基于此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)立足課程標(biāo)準(zhǔn)，尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在整體觀念下進(jìn)行“大單元”教學(xué)設(shè)計(jì). 基本不等式需要較高的抽象思維能力，而一元二次不等式與初中知識(shí)緊密相關(guān). 為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，建議將基本不等式教學(xué)置于一元二次不等式之后，以便學(xué)生更好地理解和應(yīng)用新知識(shí). 舊教材對(duì)這兩類專題的位置設(shè)計(jì)便是如此，教師可基于班級(jí)學(xué)情和自身教學(xué)能力進(jìn)行考量.

2. 以數(shù)學(xué)文化為“引”發(fā)揮真實(shí)效能

近年來(lái)，學(xué)術(shù)界對(duì)數(shù)學(xué)文化的研究盛行，但需警惕誤區(qū)：將添加“星點(diǎn)”文化素材視為融入. 就基本不等式數(shù)學(xué)文化的比較結(jié)果而言，新舊教材對(duì)數(shù)學(xué)文化的分布不均，多為“數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活”類，可見(jiàn)兩版教材對(duì)數(shù)學(xué)文化素材的使用有限，且除史料用重構(gòu)式呈現(xiàn)外，其他數(shù)學(xué)文化素材多屬可分離型，與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度較低，不利于發(fā)揮文化育人之效.

筆者通過(guò)訪談得知，教師和學(xué)生普遍擔(dān)憂“課前引入”會(huì)浪費(fèi)課時(shí)，但直給式的知識(shí)遷移又顯枯燥乏味且不利于記憶，因而如何發(fā)揮引入實(shí)效成了亟待考量的難題. 事實(shí)上，除教材呈現(xiàn)的趙爽弦圖外，古今對(duì)基本不等式的探索、求解比比皆是. 如“歐拉羊圈”是等周面積最值問(wèn)題的典型例子，作為探究性引入素材恰可銜接基本不等式，既有趣又易記，還重視知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程. 現(xiàn)有數(shù)學(xué)文化素材可改編，如舊教材必修5以第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)（根據(jù)趙爽弦圖設(shè)計(jì)）為背景，設(shè)置探究題引入基本不等式，是優(yōu)秀改編案例.

3. 促進(jìn)例習(xí)題多樣化設(shè)計(jì)

例習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，有思維能力訓(xùn)練、思想方法滲透、診斷反饋補(bǔ)救與育人等功能［11］. “一正、二定、三相等”是求解大多數(shù)基本不等式題的先決條件，而學(xué)生往往“知其然不知其所以然”. 建議增加改錯(cuò)題，以豐富題型，由學(xué)生自主糾錯(cuò)，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，確保邏輯鏈完整.

窺一斑而知全豹，通過(guò)對(duì)例習(xí)題的多維度綜合比較，可知基本不等式各維度計(jì)算值及綜合難度均有所降低，說(shuō)明教材重視基本不等式知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)性，滿足課程標(biāo)準(zhǔn)的要求. 但隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來(lái)，時(shí)代性與發(fā)展性備受關(guān)注，因此例習(xí)題的多樣化設(shè)計(jì)應(yīng)納入考量. 就北師大兩版高中數(shù)學(xué)教材關(guān)于基本不等式例習(xí)題而言，在要求水平上更多強(qiáng)調(diào)模仿與理解，較少設(shè)置探究類例習(xí)題，而探究恰是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的有效途徑，故需在此加強(qiáng)例習(xí)題的多樣化設(shè)計(jì). 值得注意的是，兩版教材例習(xí)題均缺背景，即使有背景，也多限于個(gè)人生活，公共常識(shí)與科學(xué)背景寥寥無(wú)幾. 基本不等式作為不等式學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，不僅在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用，也深度融入物理、化學(xué)、地理等學(xué)科. 因此，問(wèn)題情境的選擇應(yīng)放眼至古今中外，從習(xí)題本身出發(fā)切實(shí)提升人文與應(yīng)用價(jià)值，由此提高學(xué)生跨學(xué)科思維水平，真正達(dá)到例習(xí)題學(xué)以致用的效能. 需要注意的是，例習(xí)題的多樣化設(shè)計(jì)指向教育質(zhì)量的提升，切不可舍本逐末.

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