［摘 要］ 近年來，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，心理學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科飛速崛起，掀起了新一輪的數(shù)學(xué)課程改革熱潮. 過程性教學(xué)在這種背景下應(yīng)運(yùn)而生，研究者以“兩角差的余弦公式”教學(xué)為例，分別從以下四方面展開教學(xué)與分析：創(chuàng)設(shè)情境，感知知識(shí)形成過程；由“根知識(shí)”，揭露結(jié)論探究過程；延遲判斷，展示學(xué)生的思維過程；關(guān)注小結(jié)，暴露學(xué)生的反思過程.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；過程性教學(xué)；課程改革

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）提出：數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，該目標(biāo)在教學(xué)活動(dòng)的開展與知識(shí)的應(yīng)用過程中逐步形成與發(fā)展而來. 自此，過程性教學(xué)成了教育界熱議的焦點(diǎn). 實(shí)踐證明，過程性教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，需教師結(jié)合學(xué)情與教情創(chuàng)設(shè)具有一定創(chuàng)新意義的活動(dòng)，讓學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用邏輯推理解決問題，獲得思考與分析問題的能力. 本文以“兩角差的余弦公式”為例，具體踐行過程性教學(xué).

創(chuàng)設(shè)情境，感知知識(shí)形成過程

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過合理的情境設(shè)置激發(fā)學(xué)生思維，促進(jìn)他們深入理解數(shù)學(xué)知識(shí). 過程性教學(xué)依賴于情境的運(yùn)用，這些情境應(yīng)基于知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展來設(shè)計(jì). 過程性教學(xué)能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一件輕松、愉悅、自然、親切的事情，并能從情境體驗(yàn)中自主提煉數(shù)學(xué)思想方法，為形成良好的數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).

實(shí)踐表明，僅僅依賴教材進(jìn)行“注入式”教學(xué)會(huì)使學(xué)生感到數(shù)學(xué)枯燥. 相反，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知、心理和學(xué)習(xí)偏好設(shè)計(jì)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想和驗(yàn)證，有助于他們清晰理解知識(shí)的形成和發(fā)展.

教學(xué)“兩角差的余弦公式”，若從開門見山到直接挑明向量的數(shù)量積問題，再到直接呈現(xiàn)或推導(dǎo)公式，帶給學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)就是：這個(gè)公式純屬“副產(chǎn)品”，并沒有太多實(shí)際意義，而且得來也不費(fèi)勁，沒有必要深入研究. 至于“為什么要探索該公式？”“怎樣想到向量法的？”這些都無法呈現(xiàn)出來.

顯然，上述教學(xué)流程并不能滿足學(xué)生思維發(fā)展的實(shí)際需要，學(xué)生若對(duì)公式?jīng)]有做到“知其然且知其所以然”，在應(yīng)用時(shí)難免出現(xiàn)各種問題. 為此，筆者從學(xué)情與公式特點(diǎn)出發(fā)，借助學(xué)生熟悉的三角板作為課堂情境素材.

活動(dòng)要求：取出課前準(zhǔn)備好的一副三角板，將手中的兩個(gè)三角板拼接一起，形成各種度數(shù)的角.

問題1 一副三角板可以拼出哪些度數(shù)的角？每個(gè)拼接而來的角具備哪些特點(diǎn)？

生：可以拼成90°，75°，15°，120°…的角，拼接而來的每一個(gè)角的度數(shù)都是15°的倍數(shù).

問題2 有沒有辦法求出拼接而來的所有角的余弦值？

問題3 從最基本的角開始分析，思考cos15°的值是多少.

教學(xué)分析 課堂開始，根據(jù)學(xué)生情況和知識(shí)特性創(chuàng)設(shè)情境，遵循特定流程：數(shù)學(xué)工具引出課題—?jiǎng)邮植僮鳌釂栍懻? 即將學(xué)生所熟悉的三角板作為情境素材，帶領(lǐng)學(xué)生沿著知識(shí)形成的過程搭建思維“腳手架”. 學(xué)生親歷操作，可調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)參與的積極性，感知15°角的由來，如用45°角減掉30°角，為后續(xù)求cos15°的值時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為cos（45°-30°）做鋪墊. 設(shè)計(jì)后兩個(gè)問題旨在引起學(xué)生認(rèn)知沖突，使他們意識(shí)到無法直接得出結(jié)論，從而激發(fā)其內(nèi)在學(xué)習(xí)需求，產(chǎn)生探究欲和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下情感基礎(chǔ).

值得注意的是，該情境雖然揭露了15°角的由來，但接下來的探索必然碰到一些未知的新問題，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生正視新的問題，激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲，構(gòu)建以學(xué)生為中心、鼓勵(lì)積極思維的教學(xué)模式，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、思維能力、推理能力等具有重要意義.

由“根知識(shí)”，揭露結(jié)論探究過程

“根知識(shí)”屬于對(duì)上、下位學(xué)習(xí)原理形象化的表達(dá)方法，指學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即在新知學(xué)習(xí)前，學(xué)生掌握了的與新知相關(guān)的知識(shí)、解題方法、思路與策略等. 任何數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，每項(xiàng)知識(shí)都有屬于它的應(yīng)用范圍，知識(shí)間又存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，且每項(xiàng)新知的產(chǎn)生都源于舊知.

為了有效揭露數(shù)學(xué)結(jié)論是怎么形成的，尤其是一些特殊化的結(jié)論，教師可從學(xué)生的“根知識(shí)”出發(fā)，充分了解學(xué)生已有的認(rèn)知水平與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，能更好地激發(fā)學(xué)生的潛能，讓每一個(gè)學(xué)生都能在探究過程中獲得長足進(jìn)步.

接著上述教學(xué)環(huán)節(jié)來看，教師拋出“求cos15°”的問題，對(duì)學(xué)生而言這是一個(gè)處于未知領(lǐng)域的問題. 因此，接下來教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的“根知識(shí)”進(jìn)行，幫助他們深入理解cos15°的結(jié)論.

問題4 之前大家接觸過一些特殊三角的函數(shù)值，還記得當(dāng)時(shí)是怎樣獲得這些值的嗎？（借助單位圓求解）

師：求cos15°的值，能否采用之前的方法呢？請(qǐng)大家嘗試用三角板拼出15°角，并將其置于單位圓內(nèi)，以小組合作交流的方式探討cos15°的值.

問題5 觀察圖1，能收獲什么？

面對(duì)上述問題，學(xué)生運(yùn)用所掌握的知識(shí)進(jìn)行分析：因?yàn)?（cos45°，sin45°），=（cos30°，sin30°），·=1·1·cos（45°-30°）=cos15°，·=cos30°cos45°+sin30°sin45°，所以cos15°=cos30°cos45°+sin30°sin45°=.

問題6 能否獲得cos（120°-45°）的值？

對(duì)學(xué)生而言，問題4、問題5的探索為問題6的解決奠定了思維與方法基礎(chǔ)，結(jié)合問題4、問題5的探索策略，學(xué)生迅速利用單位圓和向量數(shù)量積進(jìn)行類比分析，獲得cos75°的值.

當(dāng)學(xué)生探索出上述幾個(gè)問題的結(jié)論后，經(jīng)討論，總結(jié)出兩個(gè)特殊情況下的兩角差余弦公式：cos（45°-30°）=sin30°sin45°+cos30°cos45°，cos（120°-45°）=cos45°cos120°+sin45°sin120°.

教學(xué)分析 學(xué)生在探索和交流中學(xué)會(huì)了從無知到有知，從不會(huì)解決問題到主動(dòng)尋找解決方案，這標(biāo)志著學(xué)力的提升，并為學(xué)習(xí)其他知識(shí)提供了方法. 對(duì)于問題4與問題5的設(shè)計(jì)，均以“根知識(shí)”作為思維基礎(chǔ)，揭露了cos15°的求解過程. 其中，單位圓與向量數(shù)量積都是學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ). 基于學(xué)生的知識(shí)體系探索新知，從建構(gòu)主義理論來說再合適不過了. 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是探索未知的強(qiáng)大工具，一旦確定了探索方向，問題解決便順理成章.

陶行知先生提出：知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)將學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)的“根”，由經(jīng)驗(yàn)而獲得的知識(shí)作為學(xué)習(xí)的“枝”，其實(shí)別人已有的知識(shí)也能成為促進(jìn)我們學(xué)習(xí)的依據(jù). 筆者在本節(jié)課采用過程性教學(xué)設(shè)計(jì)，以學(xué)生的“根知識(shí)”為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生構(gòu)建新舊知識(shí)間的聯(lián)系，讓學(xué)生從深層次理解、感受與內(nèi)化新知，逐漸完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的愉悅，為樹立正向的數(shù)學(xué)觀奠定基礎(chǔ).

延遲判斷，展示學(xué)生的思維過程

課堂中常存在這樣一種現(xiàn)象：教師利用一切時(shí)間授課，盡可能為學(xué)生多講幾道題目，但學(xué)生只能就題論題，遇到實(shí)際問題時(shí)只會(huì)依葫蘆畫瓢，無法從真正意義上理解解題的核心思想，更談不上舉一反三. 究其主要原因在于學(xué)生沒有吃透解題方法，沒有認(rèn)清問題本質(zhì)，無法觸類旁通.

為了改變這一現(xiàn)狀，教師在解題教學(xué)中應(yīng)改變觀念，注重“少而精”，而非“講得多”，為學(xué)生創(chuàng)造更多獨(dú)立思考和合作的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)他們親自參與探究，創(chuàng)造積極的探索體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 延遲判斷能給學(xué)生提供寬闊的交流與展示平臺(tái)，讓學(xué)生感知問題本質(zhì)與核心.

問題4至問題6的解決，使學(xué)生總結(jié)出兩個(gè)公式. 為加深學(xué)生的理解，教學(xué)應(yīng)圍繞將未知轉(zhuǎn)化為已知、提高知識(shí)實(shí)用性等策略進(jìn)行.

問題7 這兩個(gè)式子的提煉給我們后續(xù)解決實(shí)際問題奠定了基礎(chǔ)，如果要將它們推廣應(yīng)用，該如何一般化呢？

有的學(xué)生提出猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 為了驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確，教師帶領(lǐng)學(xué)生操作幾何畫板，通過變化α，β的值，讓學(xué)生直觀感知cos（α-β）與cosαcosβ+sinαsinβ的關(guān)系. 通過數(shù)據(jù)來看，不論α，β的值如何變化，cos（α-β）與cosαcosβ+sinαsinβ始終是相等的.

問題8 幾何畫板雖然表明它們恒等，但怎樣推理證明呢？

結(jié)合類比思想，依然借助單位圓與向量數(shù)量積來分析：如圖2所示，因?yàn)?（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），·=1·1·cos（α-β），·=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

雖然α-β不一定是向量與的夾角，但余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，可斷定α-β的余弦值必然與這兩個(gè)向量夾角的余弦值相等，因此α，β可為任意角.

教學(xué)分析 此環(huán)節(jié)，教師若急于求成，直接將兩角差的余弦公式與證明展示給學(xué)生，學(xué)生雖然有所收獲，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)則會(huì)出現(xiàn)各種問題. 延遲判斷方法，將學(xué)生置身于探索過程中，可讓學(xué)生一直處于積極思考的狀態(tài). 因此，延遲判斷讓學(xué)生通過猜想和驗(yàn)證來體驗(yàn)向量與三角函數(shù)的聯(lián)系，這對(duì)提高他們的歸納和類比能力很重要.

過程性教學(xué)告訴我們，數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)禁將知識(shí)“灌輸”給學(xué)生，教學(xué)中應(yīng)避免過早評(píng)價(jià)，特別是在介紹新概念、定理或公式時(shí)，應(yīng)推遲結(jié)論，給予學(xué)生足夠時(shí)間思考，以展現(xiàn)思維過程，促進(jìn)學(xué)力提升.

關(guān)注小結(jié)，暴露學(xué)生的反思過程

課堂小結(jié)是一節(jié)課的點(diǎn)睛之筆，師生通過小結(jié)可檢驗(yàn)課堂教學(xué)是否達(dá)到了既定的教學(xué)目標(biāo). 然而，部分教師將課堂小結(jié)視為一個(gè)可有可無的環(huán)節(jié)，認(rèn)為它只是在形式上走過場，這導(dǎo)致每節(jié)課的小結(jié)都大同小異. 殊不知，真正意義上的課堂小結(jié)應(yīng)是豐富多彩的，是課堂的亮點(diǎn)之一，也是暴露學(xué)生反思過程的重要手段. 尤其是過程性教學(xué)背景下的課堂小結(jié)，需突出教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，還要帶領(lǐng)學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、證明思路等，這些都是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

本節(jié)課，可從以下三點(diǎn)進(jìn)行小結(jié)：①要求學(xué)生說說探究公式的一般過程（特殊→猜想→證明）；②說說公式應(yīng)用的注意事項(xiàng)；③變換公式中角的形式，如β=-α，可得什么結(jié)論？

教學(xué)分析 學(xué)生對(duì)公式探究歷程的回顧，是掌握一般方法的過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究與反思習(xí)慣具有重要意義；注意事項(xiàng)的總結(jié)，回歸到公式本身，關(guān)注公式特點(diǎn)，為具體應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

總之，過程性教學(xué)符合新課程改革，幫助學(xué)生清晰理解知識(shí)的形成和演變，確保他們不僅知道是什么，還明白為什么. 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，教師應(yīng)致力于探索與創(chuàng)興的模式，創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境與合理的問題，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究與合作交流，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)與探索規(guī)律，此為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的根本.