［摘 要］ 數(shù)列知識是高中數(shù)學的重點，也是高考必考考點. 這些內(nèi)容都源于課標和教材，因此數(shù)學教學應回歸課標、重視教材. 研究者從人教B版選擇性必修第三冊教材中的一道關(guān)于等差數(shù)列前n項和的母題出發(fā)，給出兩類拓展與應用，以及等差數(shù)列前n項和一類問題的新解.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)列；等差數(shù)列前n項和；拓展與新解

數(shù)列知識是高中數(shù)學的重點，也是高考必考考點. 隨著高考改革的推進，對數(shù)列知識的單一性考查在減少，對數(shù)列知識的綜合性考查在增加，數(shù)列與新文化、新定義的結(jié)合越來越頻繁. 如2020年高考全國Ⅱ卷（文科數(shù)學）以鋼琴和弦為背景，從數(shù)學角度對音樂中的原位大三和弦與原位小三和弦給出了定義，其本質(zhì)是數(shù)列的基本概念以及簡單的計數(shù)問題，融合了數(shù)學知識與跨學科文化，關(guān)注學生進行數(shù)學思考并解決問題的素養(yǎng)［1］；2024年高考新課標Ⅰ卷壓軸題以數(shù)列為背景設置，教育部教育考試院發(fā)布的《2024年高考數(shù)學全國卷試題評析》中評價道：以等差數(shù)列為知識背景，創(chuàng)新設問方式，設置數(shù)學新定義，搭建思維平臺，引導學生積極思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題［2］.近年來，無論以何種形式考查數(shù)列知識，都更具創(chuàng)新性，且都體現(xiàn)了數(shù)學知識本質(zhì)，題目知識限定于中小學數(shù)學課程標準內(nèi)，重點考查的是數(shù)學思維方式、思想方法、核心素養(yǎng)，強調(diào)數(shù)學教學應回歸課標、重視教材［3］.

等差數(shù)列作為特殊的數(shù)列模型，其前n項和公式為數(shù)列求和提供了一種便利，且是有限項和向無限項和的延伸，以及無限項和轉(zhuǎn)化為有限項和的求解路徑，是學生感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想的優(yōu)秀素材. 教材將其作為單獨小節(jié)進行講授，并融合了多種類型問題. 對于“給出兩個等差數(shù)列的前n項和之比，求解其中某項之比”的問題，學生常常應用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解. 由于受限于此思維模式，當遇到變式拓展問題時，求解變得復雜，且錯誤率偏高. 因此，本文基于“回歸課標、回歸教材”的理念，從高中數(shù)學教材中的一道類似問題出發(fā)，從題型上進行拓展、從解法上進行優(yōu)化，探究這類問題的求解新思路.

母題解析

母題是人教B版選擇性必修第三冊教材“數(shù)列”單元“本章小結(jié)”復習題板塊B組第11題［4］. 具體內(nèi)容如下：

母題 已知等差數(shù)列｛a｝的前n項和為A，等差數(shù)列｛b｝的前n項和為B，且=，求.

傳統(tǒng)解法 因為｛a｝，｛b｝為等差數(shù)列，所以====. 又=，所以===.

分析 本題利用等差中項的性質(zhì)2a=a+a，以及求和公式A=，將轉(zhuǎn)化為. 解題難點是找到“項下標”與“和下標”的關(guān)系，將“項之比”轉(zhuǎn)化為“和之比”. 因此，運用倒序相加法進一步探討優(yōu)化解法思路：A=a+a+…+a，A=a+a+…+a，所以2A=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），A===（2n-1）a，可得a=，b=，進而求得=. 由此構(gòu)建了與的關(guān)系，代入相應數(shù)值即可求得，這對學生來說并不難.

優(yōu)化解法 將相應數(shù)值直接代入公式=，得===.

現(xiàn)將母題的優(yōu)化解法一般化地歸納為：

已知等差數(shù)列｛a｝的前n項和為A，等差數(shù)列｛b｝的前n項和為B，且=（a，b，c，d為常數(shù)，n為數(shù)列項數(shù)，n∈N*），則==.

變式拓展一

教材中的這道母題，對于學生來說容易解答. 在教學及測試中，往往會對這道母題進行變式，如典型的一類問題就是下標不相同的“項之比”問題.

變式題1 已知等差數(shù)列｛a｝與｛b｝的前n項和分別為A，B，且=，則的值為（ ）

A. B.

C. D.

傳統(tǒng)解法 因為｛a｝，｛b｝為等差數(shù)列，所以==·=·=·. 又=，所以=·=×=. 故選D.

分析 由于a與b的下標不同，因此在利用等差中項性質(zhì)構(gòu)建前n項和的過程中需要按照系數(shù)進行配比，若下標n，m之間的關(guān)系復雜，則計算過程就復雜，學生容易出現(xiàn)錯誤，增加了學生的運算量和思維難度. 因此，筆者進行了進一步思考，嘗試探究問題新解. 因為已知條件是“和之比”，所以要想辦法將所求的“項之比”轉(zhuǎn)化為“和之比”［5］，不妨參考母題的優(yōu)化解法進行推廣.

因為｛a｝與｛b｝為等差數(shù)列，要求得的值，可以采用母題的優(yōu)化解法，即令b中的n=m，得到b，故==.

這類題目給出的條件常是的式子，并且=是關(guān)于n的一次分式函數(shù)［6］，很容易識別其中的a，b，c，d的值. 若分子、分母中的項的下標不同，也可采用下標相同時的解法，提高解題效率.

對變式題1的優(yōu)化解法總結(jié)如下：

已知等差數(shù)列｛a｝與｛b｝的前n項和分別為A，B，且=，則==（a，b，c，d為常數(shù)，m，n為數(shù)列項數(shù)，m，n∈N*）.

對于變式題1，具體解答過程為：

因為=，故===，則===.

為驗證優(yōu)化解法的通用性，現(xiàn)提供一道題目進行測試.

應用題1 （2021—2022高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項和分別為S和T，若=，且是整數(shù)，則n的值為___.

傳統(tǒng)解法 由的分子、分母同時乘2，得. 由于b的首項為b，且｛b｝是由｛b｝的偶數(shù)項組成的數(shù)列，因此在求解中要注意其拆分和組合. ====，又=，所以====，且=為整數(shù).

設=k∈Z，故7n+19=2kn+k，即（2k-7）n=19-k，解得n=. 令≥1，解得<k≤，且k∈Z. 當k=4時，n==15滿足要求；當k=5時，n=不符合要求；當k=6時，n=不符合要求；當k=7時，n=不符合要求；當k=8時，n=不符合要求. 綜上所述，n=15. 故答案為15.

優(yōu)化解法 由已知得====，所以=k∈Z，7n+19=2kn+k，即（2k-7）n=19-k，解得n=. 令≥1，解得<k≤，且k∈Z. 當k=4時，n==15滿足要求；當k=5時，n=不符合要求；當k=6時，n=不符合要求；當k=7時，n=不符合要求；當k=8時，n=不符合要求. 綜上所述，n=15. 故答案為15.

變式拓展二

為了使等差數(shù)列前n項和公式的應用更加廣泛，使得優(yōu)化解法的通用性更強，現(xiàn)進一步推廣至“求”的問題：已知等差數(shù)列｛a｝與｛b｝的前n項和分別為A，B，且=，則=（a，b，c，d為常數(shù)，m，n為數(shù)列項數(shù)，m，n∈N*）. 若m=2n-1，則==.

變式題2 已知等差數(shù)列｛a｝，｛b｝，其前n項和分別為S，T，且滿足=，則=______.

傳統(tǒng)解法 因為==·=·=，且=，所以====. 故答案為.

優(yōu)化解法 將相應數(shù)值直接代入公式=，得==.

通過拓展優(yōu)化解法可知：對于等差數(shù)列｛an｝，｛bn｝，無論求的是，還是，都可以將相應數(shù)值直接代入優(yōu)化解法中的公式而求解——兩種解法（傳統(tǒng)解法和優(yōu)化解法）所得的結(jié)果是一致的.

應用題2 已知等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項和分別為S，T，且=，若≥λ恒成立，求λ的取值范圍.

傳統(tǒng)解法 因為====·，=，所以·===1+（n≥1）. 當n≥1，且n∈N*時，（2n-1）2≥1. 所以1<1+≤2，所以λ≤1.

優(yōu)化解法 可以直接使用公式=，得到=·=·==1+>1. 又≥λ恒成立，所以的最小值大于等于λ. 所以λ≤1.

優(yōu)化解法的評價與小結(jié)

綜上所述，對于“給出兩個等差數(shù)列的前n項和之比，求解其中某兩項之比”的問題——從同下標到異下標兩項的比，再到某一項與前幾項和的比，其新思路、新解法的特點概括如下：

（1）創(chuàng)新性. 相比于傳統(tǒng)解法，優(yōu)化解法打破常規(guī)，以新穎的視角和思路解決問題. 新解法應用特殊到一般的數(shù)學思想方法，不僅提高學生的解題效率，還培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

（2）簡潔性. 優(yōu)化解法簡潔明了，避免了復雜的計算和煩瑣的步驟，便于學生理解和掌握，同時減少了出錯的可能性. 上述兩道應用題的優(yōu)化解法對比傳統(tǒng)解法，運算優(yōu)勢顯而易見. 應用優(yōu)化解法進行運算，無須表示和求解等差數(shù)列的基本量，大大提高了運算效率.

（3）通用性. 通用性也是優(yōu)化解法的另一個優(yōu)點. 它適用于求解等差數(shù)列的某兩項的比值或某一項與前n項和的比值，可幫助學生舉一反三，提高學生解題靈活性，培養(yǎng)學生知識遷移能力，使學生通過類比快速找到類似問題的解決思路.

參考文獻：

［1］ 黃翔，童莉，史寧中. 談數(shù)學課程與教學中的跨學科思維［J］. 課程·教材·教法，2021，41（7）：106-111.

［2］ 教育部教育考試院. 優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設計 突出思維能力考查：2024年高考數(shù)學全國卷試題評析［J］. 中國考試，2024（7）：79-85.

［3］ 章建躍. 回歸課標、重視教材才是王道：高考復習如何回歸教材（之六）［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2024（6）：3.

［4］ 李啟寨，王人偉，等. 普通高中教科書·數(shù)學·選擇性必修第三冊（B版）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］ 潘京樂. 一個易錯的“等差數(shù)列前n項和之比”的結(jié)論及證明［J］. 理科考試研究，2022，29（5）：30-31.

［6］ 余生榮. 關(guān)于等差數(shù)列前n項和比值的兩類問題［J］. 內(nèi)蒙古電大學刊，2003（2）：45.