［摘 要］ 高考數學試題是落實立德樹人根本任務的重要途徑，對高中數學教學具有導向性意義.研究者通過研究發(fā)現2023年高考新課標Ⅱ卷第8題存在瑕疵，同類問題也出現在2023年高考全國甲卷（文科數學）第13題和2023年高考全國乙卷（理科數學）第15題.這三道高考數學試題求解等比數列公比時都沒有明確的運算對象，開方運算僅得實數解，未考慮虛數解，缺乏嚴謹性.

［關鍵詞］ 等比數列；實數集；復數集；開方運算

高考數學試題體現“立德樹人，服務選才”核心功能，對高中數學教學有示范和引領作用. 數學試題及其解答過程都有嚴謹要求，特別是高考試題的嚴謹性備受師生關注. 筆者通過研究發(fā)現2023年高考新課標Ⅱ卷第8題存在瑕疵，同類問題在當年全國高考六套試卷中共現三次. 現整理成文，懇請讀者指正.

高考試題及參考答案［1］

1. 原題呈現1

（2023年高考新課標Ⅱ卷第8題）記S為等比數列

a的前n項和，若S=-5，S=21S，則S=（ ）

A. 120 B. 85

C. -85 D. -120

解題思路 設等比數列

a的首項為a，公比為q，則S=a+aq，S=a+aq+aq2+aq3=（a+aq）+q2（a+aq）=S+Sq2=S（1+q2）.

由S=-5得S（1+q2）=-5. 又S=a+aq+aq2+aq3+aq4+aq5=（a+aq）+q2（a+aq）+q4（a+aq）=S（1+q2+q4），S=21S，所以S（1+q2+q4）=21S. 由S=a+aq=-5知S≠0，所以1+q2+q4=21，解得q2=-5（舍去），q2=4. 把q2=4代入S=S（1+q2）=-5，得S=-1. 所以，S=a+aq+aq2+aq3+aq4+aq5+aq6+aq7=（a+aq）+q2（a+aq）+q4（a+aq）+q6（a+aq）=S（1+q2+q4+q6）=-85.

故正確選項為C.

質疑 解答中，由1+q+q2=21，解得q2=-5（舍去），q2=4. 但條件未明確數列是實數數列，把q2=-5舍去無依據. 事實上，當q2=-5時，q=±i（其中i為虛數單位）. 由S=S（1+q2）= -5，得S==，S=21S=，S=S（1+q2+q4+q6）=×（1-5+25-125）= -130，也符合題意. 故S=-85或S= -130. 回顧本題的四個選項，只給出C選項“S=-85”符合題設條件，說明命題者默認數列

a為實數數列. 筆者認為，本題并沒有明晰數列運算對象，題目結構嚴謹性有待商榷.

2. 原題呈現2

（2023年高考全國甲卷〈文科數學〉第13題）記S為等比數列｛a｝的前n項和. 若8S=7S，則｛a｝的公比為______.

試題分析 記等比數列｛a｝的公比為q.

解題思路 思路1：若q=1，則｛a｝為常值數列，a=a，此時S=6a，S=3a. 由8S=7S，得48a=21a，故a=0，與｛a｝為等比數列矛盾，因此q≠1.

由等比數列｛a｝的前n項和公式S=和題設條件，得=. 因為a≠0，所以8（1-q6）=7（1-q3）. 整理得8（q3）2-7q3-1=0，分解因式得（8q3+1）（q3-1）=0. 又q≠1，所以8q3+1=0，解得q=-.

思路2：注意到，等比數列｛a｝的前3項和不為零.事實上，S=a+a+a=a（1+q+q2），因為a≠0，且方程1+q+q2=0無實數根，所以S≠0.

S=a+a+a+a+a+a=a+a+a+q3（a+a+a）=（1+q3）S，由此可得8（1+q3）S=7S. 因為S≠0，所以8（1+q3）=7，所以q=-.

質疑 思路1中，由8q3+1=0，得q= -，是在實數范圍內的開方運算. 思路2中也有同類問題，“方程1+q+q2=0無實數根”默認等比數列的公比為實數，這也是不嚴謹的解答過程，因為題目未說明｛a｝是實數數列. 2023年高考新課標Ⅱ卷第8題只有C選項合理可供學生選擇，還算唯一答案，但本題是填空題，學生的答案就不同了. 在復數范圍內對q3=-開方求解，可得三個不同答案：q=-，q=+i，q=-i. 事實上，當等比數列｛a｝的公比q=+i或q=-i時，1+q+q2=0，滿足題設條件8S=7S=0. 因此，這樣的數列也是客觀存在的. 設想一下，在2023年的高考中，如果學生將上述三個正確結果都填寫在答題卡上，那么閱卷組老師認為這是多此一舉，還是全都準確呢？如果根據參考答案認為這是多此一舉，那么筆者覺得對于答案是后者的學生來說顯然是不公平的. 由于題目沒有說明a∈R，因此由q3=-求解q就應該有三個解，這才是學生思維縝密的具體體現，也是高考數學試題考查的目標之一. 如果認為兩種結果都正確的話，那么是不是說明題設條件不是十分明確呢？高考對十二年苦讀的學生至關重要，反思命題，應更科學嚴謹. 巧合的是，同類問題也出現在2023年高考全國乙卷（理科數學）中.

3. 原題呈現3

（2023年高考全國乙卷〈理科數學〉第15題）已知｛a｝為等比數列，aaa=aa，aa=-8，則a=________.

解題思路 設等比數列｛a｝的公比為q.由等比數列的性質和題設條件可知，aaa=aa=aa，故a=1，即a=. 從而aa=q15=-8. 因此a=q5==-2.

質疑 題目同樣沒有交代數列｛a｝是實數數列，而解答思路中的開方運算也是在實數范圍內進行的，因此本題的參考答案也存在爭議.

同一年三套全國高考試卷出現了同類題型，說明該題型所承載的數學問題和數學能力的考查十分重要.網上查找同類型試題，提供的參考答案和2023年高考試題提供的解題思路基本一致，也就是說，在數列問題上，如果題目中沒有交代數列是實數數列，那么大家就理所當然地默認題目中的數列是實數數列，難道理應如此嗎？筆者認為不妥，特別是對中學數學教學有著引領意義的全國高考數學試題，是不是應該重視其表述呢？

課程標準對數學運算的闡述

查閱歷年的高考數學試題，借助數列這一概念重點考查學生的運算和思維能力屢見不鮮，特別是借助等比數列考查學生分析問題、歸納問題和遞推運算等基本能力.數學運算是數學學科六大核心素養(yǎng)之一. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）對數學運算做了如下闡述：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等. 通過運算促進數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神［2］. 可以肯定的是，數學運算的前提是明確對象，并依據相應的運算法則完成運算. 回顧2023年高考數學試卷中的這三道有關等比數列的試題，沒有明確數學運算對象，參考答案理所當然地認為題目中的數列是實數數列，這是片面的、不嚴謹的.

數學運算不是簡單的數字運算. 數學運算不僅要厘清運算思路，活用運算法則，選擇運算方法，更重要的是要明確運算對象. 倘若按照試題提供的參考答案，把在實數范圍內解得的結果判為正確，而把在復數范圍內運算的結果判為錯誤，那么高中數學教學又怎樣遵循新課標的要求，培養(yǎng)學生一絲不茍、嚴謹求實的科學精神呢？怎樣在傳統(tǒng)評分的基礎上，根據新課標和解題情況評價學生的數學學科核心素養(yǎng)水平呢？

高中教材對數列定義的描述

隨著中國新課改的全面實施，新課標成為教材撰寫、教學和評估的重要依據，國內相繼出現了多種不同版本的普通高中數學教科書，它們對新課標所涉及的高中數學知識都有系統(tǒng)、科學的安排. 當然，一些知識出現順序有差異，比如數列知識和復數知識的安排，有些教科書是數列在前，復數在后，而有些教科書則相反.

筆者所在地區(qū)使用的普通高中數學教科書是由人民教育出版社、課程教材研究所和中學數學課程教材研究開發(fā)中心聯(lián)合編著的人教A版（2019）教科書，復數內容安排在必修第二冊第七章，數列內容安排在選擇性必修第二冊第四章. 從教材使用順序來說，復數內容通常安排在數列內容之前，也就是說學生學習數列知識時，數學運算已經從實數域擴充到復數域，學生已經具備基本的復數知識體系. 一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列（sequence of number），數列中的每一個數叫做這個數列的項［3］. 按照知識體系的系統(tǒng)安排，這里數列的定義毫無疑問是復數域內的定義，也就是說數列中的每一個數指的是復數.因此，這里所涉及的數列如果沒有特別說明，數列中的每一項既可以是實數，也可以是虛數.

與人教A版教科書配套的教師教學用書上有這樣的說明：一般來說，公比q可以是任意一個不等于0的常數，但在中學階段只考慮公比q為實數的情形而不涉及虛數［4］. 因此，高中教師在講解數列概念時，肯定要講清楚數列的每一項既可以是實數，也可以是虛數，只不過高中階段在處理數列問題時不涉及等比數列的公比為虛數的情況，這也就說明了等比數列的公比事實上可以為虛數. 考慮到高中數列知識的演繹過程，在高中課程中處理數列問題時，可能就忽略了數列的每一項可以是虛數這個客觀事實. 作為高考數學試題的數列問題，是不是可以默認數列就是實數數列，而忽略數列的每一項可以是虛數呢？答案當然是否定的，必須在復數集中解決數列問題. 為避免誤會，高考數學試題的表述應更加嚴謹，運算對象應更加清晰.

結束語

科學的數學試題，結構和敘述必須具備合理性、嚴謹性和清晰性. 2020年教育部頒布的《中國高考評價體系》強調高考試題應加強學生學科素養(yǎng)、關鍵能力的考查［5］，因此，高考數學試題應確?？茖W嚴謹，表述規(guī)范，無可爭議，無懈可擊，充分發(fā)揮高考數學試題立德樹人、服務選才、引導教學的作用.

作為重要的基礎學科，數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言［2］，高考數學試題應該也必須具有較高的信度、效度和區(qū)分度，才能彰顯其舉足輕重的選拔功能.面對高考選人育人的重要任務和必然要求，教育者應在新課標的指引下，結合高中數學課程的教育功能，強化思想認識，主動認知研究，提高高考數學試題的可行性、科學性和嚴謹性，落實立德樹人根本任務，增強高考數學試題的選人育人功能.

參考文獻：

［1］ 教育部教育考試院. 高考試題分析（數學）［M］.北京：語文出版社，2024.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中數學教科書（選擇性必修第二冊）（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中數學教科書·教師教學用書（選擇性必修第二冊）（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.