［摘 要］ 單元教學(xué)是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的基礎(chǔ)和重要路徑. 文章以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以“三角公式”為例，通過問題串引導(dǎo)教學(xué)，將碎片化學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，確保核心素養(yǎng)在課堂中得到實(shí)施.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；單元整體教學(xué)；三角公式

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［1］10. 本文提出按主線設(shè)置課程體系，將知識整體化、結(jié)構(gòu)化，促使課程教學(xué)設(shè)計(jì)從關(guān)注單個(gè)知識點(diǎn)轉(zhuǎn)向關(guān)注單元整體設(shè)計(jì)［2］. 在學(xué)生已有知識和發(fā)展水平上，將數(shù)學(xué)知識分成不同的單元，搭建起一個(gè)由單元大主題統(tǒng)領(lǐng)，各子主題相互關(guān)聯(lián)，邏輯清晰的教學(xué)單元，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)知識框架和認(rèn)知框架［3］.

本文重新整合三角函數(shù)知識，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從單元整體教學(xué)視角探討“三角公式”的教學(xué).

“三角公式”單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 單元主題生成

“三角函數(shù)”是人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材第五章的內(nèi)容. 本章內(nèi)容包括“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”和“三角公式”兩大模塊，現(xiàn)抽取“三角公式”作為教學(xué)主題，引導(dǎo)學(xué)生基于三角函數(shù)定義推導(dǎo)三角公式，理解同角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式和三角恒等變換的關(guān)聯(lián). 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容建立以“三角公式”為單元主題的教學(xué)結(jié)構(gòu)，如圖1所示.

2. 單元教學(xué)內(nèi)容分析

三角公式是三角函數(shù)的重要部分，從三角函數(shù)這章的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來看，三角公式的產(chǎn)生和發(fā)展遵循一定的邏輯順序.

首先，基于學(xué)生對角的認(rèn)識和理解，結(jié)合日常周期性現(xiàn)象構(gòu)建模型，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而引入任意角的概念；為了統(tǒng)一單位，引入弧度制；結(jié)合數(shù)學(xué)模型，以單位圓為工具獲得三角函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

其次，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)角的終邊相同或在特殊位置時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式.

最后，探討任意兩角的和（或差）的函數(shù)值及二倍角、半角公式.深入剖析知識間的聯(lián)系，厘清知識間的脈絡(luò)，以問題串的形式層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的探究欲，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3. 單元整體教學(xué)過程

（1）情境創(chuàng)設(shè)

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程中，通過合理的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考問題，是落實(shí)核心素養(yǎng)的保障［4］. 本單元的教學(xué)情境設(shè)置可做如下考慮.

情境1 如圖2所示，單擺從某時(shí)開始每秒來回?cái)[動一次，如何刻畫單擺離開平衡位置O的位移s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系？

情境2 如圖3所示，設(shè)筒車上每一個(gè)水桶都做勻速圓周運(yùn)動，每6分鐘轉(zhuǎn)一圈，如何刻畫水桶距離水面的相對高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系？

思考 這兩個(gè)現(xiàn)象有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)情境不能用熟知的函數(shù)模型刻畫，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)新函數(shù)的必要性.

（2）模型建構(gòu)

如圖4所示，設(shè)筒車做勻速圓周運(yùn)動，中心為O，轉(zhuǎn)輪半徑為10 m，每6分鐘轉(zhuǎn)一圈，水桶為點(diǎn)P，從初始位置A（OA與水面平行）開始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動.

問題1 一段時(shí)間后，如何計(jì)算水桶轉(zhuǎn)動的圈數(shù)？此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度是多少？

為方便計(jì)算，把10 m記為1（單位：10 m），以O(shè)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖5所示.

思考 ①如何刻畫水桶轉(zhuǎn)動的圈數(shù)？②點(diǎn)P的高度由幾個(gè)量刻畫？③h（單位：m），t（單位：s）與水桶轉(zhuǎn)動的圈數(shù)有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 將實(shí)際情境抽象成數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考幾個(gè)變量間的關(guān)系，可知時(shí)間t（單位：s）與水桶轉(zhuǎn)動的圈數(shù)相互對應(yīng)；時(shí)間可以確定高度，但高度不能確定時(shí)間.通過動態(tài)展示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠AOP與時(shí)間和圈數(shù)也相互對應(yīng)，以此引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突.

追問1：初中學(xué)習(xí)的角的范圍是多少？這個(gè)范圍能描述筒車旋轉(zhuǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 隨著時(shí)間變化，初中學(xué)習(xí)的角不足以描述筒車旋轉(zhuǎn)，因此需要擴(kuò)展角的定義，引入任意角的概念.

追問2：筒車上一點(diǎn)從初始位置A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動到點(diǎn)P（如圖5所示），點(diǎn)P的位置由哪些量確定？

引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置與圓半徑、∠AOP或有關(guān).

設(shè)計(jì)意圖 將筒車轉(zhuǎn)動問題抽象成數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置可以用角度或弧度刻畫，但是進(jìn)制不統(tǒng)一，導(dǎo)致研究不便，需學(xué)習(xí)新知識以理解引入弧度制的必要性.

追問3：我們能否用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來度量角的大小呢？

引入弧度制：用弧度作為單位度量角，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記為1 rad. 角度與弧度的換算：1°= rad，1 rad=

°.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生探究圓中弧長與角度的關(guān)系，并通過動態(tài)演示揭示角度與弧度的轉(zhuǎn)換，從而介紹弧度制.

（3）知識探究

問題2 按照圖5建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)轉(zhuǎn)輪半徑為1（單位：10 m），設(shè)∠AOP=α（單位：弧度），若α取，，，點(diǎn)P分別處于什么位置？若α為任意角，如何刻畫點(diǎn)P的位置？

引入幾個(gè)特殊的角，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置由其坐標(biāo)確定，由此得到三角函數(shù)的概念：把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，即y=sinα；把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，即x=cosα；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，即=tanα（x≠0）.

設(shè)計(jì)意圖 先引入幾個(gè)特殊的角進(jìn)行探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用角α可以確定點(diǎn)P的位置；再以動態(tài)演示的方式呈現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動過程，建立點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)與角α的函數(shù)關(guān)系.

問題3 當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上逆時(shí)針轉(zhuǎn)動角α?xí)r，點(diǎn)P到圓心O的距離能否用三角函數(shù)值表示呢？

基于三角函數(shù)的定義，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式求得OP的長度，由此得到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2α+cos2α=1，tanα=

α≠kπ+，k∈Z

.

思考 若圓的半徑為r，上述式子還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖 先引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)P到圓心O的距離（圓的半徑）是否也與三角函數(shù)值有關(guān)，促使他們探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；接著引導(dǎo)學(xué)生思考圓半徑任意時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是否仍然成立，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與角α有關(guān)，與圓的半徑無關(guān).

問題4 基于三角函數(shù)的概念可知，三角函數(shù)值與角的終邊有關(guān)，若兩個(gè)角的終邊相同或處于特殊位置時(shí)，對應(yīng)角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一；角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸和y=x對稱，可得角π+α，-α，π-α和-α的終邊，由此得到誘導(dǎo)公式二～公式五；角-α的終邊關(guān)于y軸對稱，可得角+α的終邊，由此得到誘導(dǎo)公式六.

設(shè)計(jì)意圖 由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的概念是用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)刻畫的，因此在探究過程中觀察終邊相同或?qū)ΨQ時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，深化學(xué)生對三角函數(shù)的理解.

問題5 觀察誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)，角α與特殊角π，的和（差）的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)有一定關(guān)系，那么角α與任意角β的和（差）的三角函數(shù)與角α，β的三角函數(shù)是否也有一定關(guān)系？

追問：①若角α等于角β，它們之間的關(guān)系又是怎樣的呢？②和（差）角公式通過怎樣的運(yùn)算能得到積化和差公式？

以三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的對稱性，利用坐標(biāo)法證明和（差）角公式，再將β特殊化，推導(dǎo)出二倍角公式. 觀察和（差）角公式的公共部分，通過相加減得到積化和差公式.

設(shè)計(jì)意圖 先觀察誘導(dǎo)公式中各特殊角與任意角α的和（差）角關(guān)系式，從而思考探究和（差）角公式；然后結(jié)合三角函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是找到角的終邊與單位圓的相交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式，進(jìn)而推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、正切公式；最后引導(dǎo)學(xué)生觀察和（差）角公式，推導(dǎo)出二倍角公式和積化和差公式.

教學(xué)感悟與反思

新課標(biāo)提出：整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展［1］82. 鑒于此，圍繞三角公式展開整體教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建連貫、整合的知識結(jié)構(gòu)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1. 創(chuàng)設(shè)主題情境，指向問題解決

數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活密切相關(guān)，基于此，通過圍繞大主題的數(shù)學(xué)情境教學(xué)，學(xué)生能多角度分析問題，建立穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)和價(jià)值觀. 比如“三角公式”教學(xué)，通過觀察筒車轉(zhuǎn)動，將日常生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題，從而引入任意角和弧度制的概念. 將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，再將數(shù)學(xué)問題生活化，相互貫通，潛移默化地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

2. 關(guān)注知識聯(lián)系，創(chuàng)造解決條件

數(shù)學(xué)知識本身具有一定的邏輯性，因此，在單元整體教學(xué)視角下，要剖析大主題內(nèi)各子主題間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)更加全面和完整的知識體系.比如基于三角函數(shù)的定義提出問題：當(dāng)兩個(gè)角的終邊相同或處于特殊位置時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？通過三角函數(shù)的定義發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值與角的終邊有關(guān)，以此引發(fā)學(xué)生重點(diǎn)探究角的終邊處于特殊位置（如關(guān)于原點(diǎn)對稱等）時(shí)相應(yīng)三角函數(shù)值之間的關(guān)系，進(jìn)而為誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)創(chuàng)造條件.因此，在大單元指引下，教師站在整體的高度俯瞰知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)突出、安排合理、生成自然.

3. 踐行學(xué)生為本，推動素養(yǎng)發(fā)展

單元整體教學(xué)并非簡單地把幾節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行疊加，而是以知識間的邏輯關(guān)系為基礎(chǔ)進(jìn)行串聯(lián)，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展為基礎(chǔ)，圍繞一大主題進(jìn)行解析，將相互關(guān)聯(lián)的主題以合理的方式進(jìn)行組合.比如先由初中學(xué)習(xí)的角、角度制過渡到任意角和弧度制，再以三角函數(shù)的定義為基礎(chǔ)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式……在“三角公式”教學(xué)中，以學(xué)生為本，建構(gòu)一系列問題串，引發(fā)學(xué)生思考、探究，幫助學(xué)生有層次、系統(tǒng)性地圍繞一個(gè)主題開展學(xué)習(xí)，為學(xué)生探索關(guān)鍵知識、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

4. 規(guī)劃單元教學(xué)，體現(xiàn)育人價(jià)值

單元教學(xué)有利于整體規(guī)劃核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助大背景、大問題、大思路、大框架進(jìn)行高觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，能有效規(guī)避傳統(tǒng)的課時(shí)教學(xué)整體感不強(qiáng)、知識分解過度、學(xué)習(xí)碎片化、教學(xué)效益低下的現(xiàn)象［5］. 教師可在單元教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識結(jié)構(gòu)，聯(lián)系實(shí)際生活，促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展，提升能力和素養(yǎng).

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