［摘 要］ 當(dāng)前正弦、余弦定理的教學(xué)大多注重公式的記憶和應(yīng)用，疏忽了發(fā)現(xiàn)和探索，以及知識(shí)聯(lián)系和框架的構(gòu)建. 文章基于概念生長(zhǎng)設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)模式，重構(gòu)解三角形章節(jié)內(nèi)容，幫助學(xué)生把握整體框架，自主探求定理.

［關(guān)鍵詞］ 單元整體教學(xué)；概念生長(zhǎng)；余弦定理；正弦定理

引言

單元整體教學(xué)是系統(tǒng)論下的教學(xué)策略，是指在實(shí)施教學(xué)時(shí)，選取單元知識(shí)作為教學(xué)主體，引導(dǎo)學(xué)生整體獲取知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)是在整體思維指導(dǎo)下，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)出發(fā)，通過(guò)教學(xué)團(tuán)隊(duì)合作，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，并將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容視為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，以突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線以及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，在此基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)單元整體進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì)［1］. 以往的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂多以課時(shí)的形式組織教學(xué)，導(dǎo)致原本具有邏輯聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)被分解成一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，長(zhǎng)期向?qū)W生灌輸碎片化的知識(shí)內(nèi)容卻不講清楚其內(nèi)在聯(lián)系，不利于學(xué)生把握知識(shí)本質(zhì)，無(wú)法構(gòu)建清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架. 因此，新一輪的課程改革注重單元整體教學(xué)模式，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》的頒布，讓單元整體教學(xué)成為研究熱點(diǎn)，基于核心素養(yǎng)的單元整體教學(xué)成為一線教師及職前教師的創(chuàng)造和研究重心［2］.

概念生長(zhǎng)是數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)主題之一，即由舊概念生長(zhǎng)新概念或以命題為主線貫穿單元來(lái)組織教學(xué).將原有的核心概念進(jìn)行外延擴(kuò)大或內(nèi)涵縮小，產(chǎn)生一些與原有的核心概念密切相關(guān)的新概念就是所謂的概念生長(zhǎng)過(guò)程. 因此，在探索余弦定理和正弦定理時(shí)，借助從解直角三角形到解三角形的概念生長(zhǎng)過(guò)程，構(gòu)建解三角形的單元結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生探索和證明余弦定理和正弦定理，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性，發(fā)展學(xué)生的整體性思維［3］.

總體教學(xué)分析

1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析

從三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，余弦定理和正弦定理描述了三角形的邊角關(guān)系，對(duì)解三角形具有重要價(jià)值. 初中學(xué)習(xí)解直角三角形為高中學(xué)習(xí)解三角形奠定了基礎(chǔ).

從向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，余弦定理和正弦定理的證明屬于向量知識(shí)應(yīng)用范疇：先將三角形三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量等式，然后將向量等式數(shù)量化. 這一過(guò)程將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了向量在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)用價(jià)值. 等式不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是余弦定理和正弦定理的證明過(guò)程.

從教材課時(shí)編排來(lái)看，人教A版教材將余弦定理和正弦定理并入“向量的應(yīng)用”章節(jié)，分兩課時(shí)講授. 蘇教版教材以解三角形為主題單獨(dú)成章，將余弦定理放在第一課時(shí)講授. 兩版教材的編制都體現(xiàn)了向量法在余弦定理和正弦定理證明中的重要性.

通過(guò)上述分析，現(xiàn)以概念生長(zhǎng)的單元教學(xué)為導(dǎo)向，將解三角形這一章節(jié)分配課時(shí)如下：第一課時(shí)，利用單元知識(shí)框架探索得出余弦定理和正弦定理，掌握其證明方法，并解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題；第二課時(shí)，通過(guò)觀察和分析，明晰余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問(wèn)題；第三課時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用余弦定理和正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題. 本文將聚焦第一課時(shí)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

2. 教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)和難點(diǎn)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求和上述教學(xué)分析，確定教學(xué)目標(biāo)如下：①經(jīng)歷從特殊到一般的推理過(guò)程，構(gòu)建從解直角三角形到解三角形的結(jié)構(gòu)框架，了解探索三角形邊角關(guān)系的必要性.②探索三角形的邊角關(guān)系，發(fā)散思維尋找更多的證明方法，并通過(guò)比較領(lǐng)悟向量法的價(jià)值，在此過(guò)程中發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). ③掌握余弦定理和正弦定理，能用兩定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. ④掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維邏輯，把握解直角三角形和解三角形的密切聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性對(duì)探索新知的意義.

教學(xué)重點(diǎn)：①構(gòu)建從解直角三角形到解三角形的結(jié)構(gòu)框架，理解從特殊到一般的知識(shí)生長(zhǎng)邏輯. ②掌握余弦定理、正弦定理的內(nèi)容和證明方法，用兩定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：①探索三角形邊角關(guān)系，采用“化斜為直”法和向量法證明兩定理. ②了解余弦定理、正弦定理的多種證明方法，體會(huì)向量法的價(jià)值和簡(jiǎn)捷性.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1. 喚醒舊知

課前小組活動(dòng) 以小組為單位，畫(huà)出解直角三角形的知識(shí)框架.

課堂初始，組織各小組匯報(bào)總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖 利用課前活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生回顧解直角三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu).課堂開(kāi)頭讓學(xué)生匯報(bào)總結(jié)，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)和引導(dǎo)，幫助學(xué)生完善解直角三角形的知識(shí)框架，如圖1所示.該活動(dòng)為接下來(lái)的解三角形的單元知識(shí)框架的構(gòu)建提供了參照.

2. 激活新知

教學(xué)活動(dòng) 類比構(gòu)建解一般三角形的知識(shí)框架.

情境 揚(yáng)州是一座河網(wǎng)密布的運(yùn)河城市，為緩解交通壓力，在已有水下隧道AC的基礎(chǔ)上，計(jì)劃在AB處建造一座橋梁，則需要測(cè)量河流兩岸之間的距離. 可采用構(gòu)建三角形的方法測(cè)量. 如圖2所示，已知隧道AC的長(zhǎng)度，運(yùn)用專業(yè)工具測(cè)得B，C之間的距離和角C的大小，則可以計(jì)算得到A，B之間的距離.

問(wèn)題1 根據(jù)上述情境表明，在實(shí)際生活中，大多需要根據(jù)一般三角形的已知邊和角求解未知邊和角，所以你能類比解直角三角形的知識(shí)框架，構(gòu)建解一般三角形的知識(shí)框架嗎？

設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題顯示，學(xué)習(xí)解三角形既符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯，又滿足實(shí)際應(yīng)用需求，具有雙重必要性. 學(xué)生借助對(duì)三角形知識(shí)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，明白從解直角三角形到解三角形是概念擴(kuò)展的過(guò)程，理解“一般化”的解三角形可以解決更多實(shí)際問(wèn)題.基于二者之間的聯(lián)系，學(xué)生類比解直角三角形的知識(shí)框架，得到解三角形的知識(shí)框架，包括從本質(zhì)、條件到應(yīng)用的一般套路和需要具體研究的內(nèi)容［4］.

問(wèn)題2 觀察框架，你能填補(bǔ)解一般三角形知識(shí)框架哪些內(nèi)容？哪些要繼續(xù)探究？

設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題是讓學(xué)生對(duì)照解直角三角形的知識(shí)框架，推測(cè)解三角形的本質(zhì)，填補(bǔ)三角形邊之間的關(guān)系和角之間的關(guān)系. 通過(guò)圖3左右兩側(cè)知識(shí)內(nèi)容的比較，學(xué)生明確需要進(jìn)一步探究三角形邊、角之間的關(guān)系，進(jìn)而啟動(dòng)本節(jié)課的探究.

3. 探究新知

教學(xué)活動(dòng)1 探索并證明余弦定理.

問(wèn)題3 如圖2所示，在三角形ABC中，如果已知邊AC，BC的長(zhǎng)度和角C的大小，如何求AB的長(zhǎng)度？（為解決此問(wèn)題，教師利用3個(gè)追問(wèn)逐步引導(dǎo)學(xué)生思考.）

追問(wèn)1：該三角形是否唯一？

追問(wèn)2：既然三角形是唯一的，那么邊AB也是唯一的，依據(jù)現(xiàn)有的已知條件，有哪些方法能夠求得AB的長(zhǎng)度？每一種方法的思路如何？

追問(wèn)3：請(qǐng)奇數(shù)組（序號(hào)為奇數(shù)的小組）采用向量法，偶數(shù)組（序號(hào)為偶數(shù)的小組）采用“化斜為直”法求解，并觀察結(jié)論，能發(fā)現(xiàn)三角形各元素間具有怎樣的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題是探索余弦定理的重要模型，三個(gè)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問(wèn)題.追問(wèn)1：學(xué)生明確在兩邊及其夾角確定的條件下，三角形是唯一的，可以求解其他未知元素. 追問(wèn)2：讓學(xué)生在明確目標(biāo)后探索方法，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行不同程度的引導(dǎo).學(xué)生若無(wú)求解思路，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件并思考：“在已學(xué)知識(shí)中，哪些能將長(zhǎng)度與角度聯(lián)系在一起？”學(xué)生能聯(lián)想到直角三角形中的邊角關(guān)系和向量.由此，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想構(gòu)建直角三角形，“化斜為直”的求解思路易于形成，但向量法的產(chǎn)生則需要做進(jìn)一步引導(dǎo). 教師引導(dǎo)學(xué)生從向量的視角理解已知條件和求解目標(biāo)，構(gòu)建三角形三邊關(guān)系的向量等式，然后提問(wèn)：“為求得目標(biāo)，你要如何‘加工’上述向量等式？”為實(shí)現(xiàn)向量向數(shù)量轉(zhuǎn)化，學(xué)生聯(lián)想到向量數(shù)量積運(yùn)算，從而疏通向量法的求解思路. 追問(wèn)3：讓學(xué)生分成兩個(gè)小組分別用兩種方法（其他方法留作課后作業(yè)）解決問(wèn)題，得出余弦定理. 問(wèn)題求解完畢后比較兩種方法，讓學(xué)生體會(huì)向量法用于證明余弦定理的簡(jiǎn)捷性，激起學(xué)生對(duì)向量法的重視.

問(wèn)題4 請(qǐng)同學(xué)們觀察，如果圖2中的角C是直角，那么由余弦定理可得到什么結(jié)論？你有何發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理是特殊與一般的關(guān)系，并啟發(fā)正弦定理的探究思路.

教學(xué)活動(dòng)2 類比方法，探索并證明正弦定理.

問(wèn)題5 從問(wèn)題4中發(fā)現(xiàn)，直角三角形的邊角關(guān)系可能隱藏著更一般的結(jié)論. 請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出直角三角形中用正弦表示的邊角關(guān)系. 同學(xué)們能從中發(fā)現(xiàn)新關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)過(guò)問(wèn)題4的鋪墊，學(xué)生認(rèn)識(shí)到從知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)中生長(zhǎng)新概念的過(guò)程. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生從直角三角形的邊角關(guān)系中發(fā)現(xiàn)三個(gè)角的正弦之間存在某種關(guān)系，并通過(guò)轉(zhuǎn)化猜想到正弦定理.

問(wèn)題6 這種新關(guān)系在銳角、鈍角三角形中也成立嗎？你能類比余弦定理的證明，探索正弦定理的證明嗎？請(qǐng)先分析思路，然后再證明.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生類比余弦定理的證明，自然得出“化斜為直”法和向量法. 教師同樣將學(xué)生分成奇數(shù)組和偶數(shù)組，分別采用兩種方法，合作完成正弦定理的證明，并通過(guò)互動(dòng)交流，使所有學(xué)生都能在課堂上經(jīng)歷兩種方法的證明過(guò)程（其他證明方法留在課后作自主練習(xí)和拓展）.

教學(xué)活動(dòng)3 歸納總結(jié)余弦定理和正弦定理.

教師板書(shū)余弦定理和正弦定理，介紹其文字表述及公式變形.借助單元知識(shí)框架，幫助學(xué)生明晰宏觀角度的直角三角形到一般三角形和微觀角度的邊角關(guān)系都存在從特殊到一般的內(nèi)在聯(lián)系.

4. 總結(jié)課堂，啟發(fā)思考

問(wèn)題7 本節(jié)課學(xué)習(xí)經(jīng)歷了哪些過(guò)程？回顧這些過(guò)程，我們是怎樣完善解三角形知識(shí)框架的？還要做什么以進(jìn)一步完善？

設(shè)計(jì)意圖 反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生把握解三角形的單元知識(shí)框架，明晰解直角三角形與解三角形的聯(lián)系.通過(guò)分析框架的完整性，明確還需要探究余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問(wèn)題，以及兩定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

5. 課后活動(dòng)

練習(xí)題：工程隊(duì)要在河道上建造一座橋梁，如圖2所示，需要求得河道兩岸之間的距離AB.

（1）如果測(cè)得AC=80 m，BC=60 m，∠C=60°，求AB（精確到1 m）.

（2）如果測(cè)得BC=75 m，∠B=60°，∠C=45°，求AB（精確到1 m）.

思考題：思考并嘗試整理余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生探索兩個(gè)定理及其證明過(guò)程，課程容量較大，因此將練習(xí)題設(shè)置在課后活動(dòng)中，其內(nèi)容與課上的情境相呼應(yīng)，形成解決問(wèn)題的閉環(huán). 經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生具有一定的推理和歸納能力，思考題的設(shè)計(jì)在學(xué)生能力范圍內(nèi)，同時(shí)承接第二課時(shí)的內(nèi)容.

反思總結(jié)

上述設(shè)計(jì)對(duì)余弦定理和正弦定理證明過(guò)程的啟發(fā)和引導(dǎo)沒(méi)有做詳細(xì)說(shuō)明，在教學(xué)實(shí)施中，教師需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行點(diǎn)撥和啟發(fā)，尤其是向量法的應(yīng)用，需要先引導(dǎo)學(xué)生形成論證思路，然后再放手讓學(xué)生自主證明. 這里主要是呈現(xiàn)余弦定理和正弦定理的整體式設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)兩個(gè)定理的內(nèi)容和證明方法，以及教學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)性，構(gòu)建自然的生長(zhǎng)機(jī)理.

1. 深析知識(shí)關(guān)聯(lián)，概念自然生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系密切，但教材中的數(shù)學(xué)概念大多是碎片化的.因此，教師在設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)時(shí)要深入分析知識(shí)間的關(guān)系，從整體上把握知識(shí)脈絡(luò)，實(shí)行單元整體教學(xué)活動(dòng). 本教學(xué)設(shè)計(jì)借助概念生長(zhǎng)邏輯構(gòu)建單元知識(shí)框架，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建新舊概念的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的探索欲，在整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)余弦定理和正弦定理的必要性.

2. 踐行生本課堂，新知自主探究

學(xué)生是課堂主體，教師要鼓勵(lì)學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自主探索新知識(shí).本教學(xué)設(shè)計(jì)課前回憶舊知，建立解直角三角形的知識(shí)框架；課上學(xué)生自主類比，構(gòu)建解三角形的知識(shí)框架，確定探究目標(biāo)，在教師的引導(dǎo)下自主探索證明方法，小組通過(guò)合作，得出余弦定理和正弦定理；課后讓學(xué)生自主完善單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，并將思維延伸到下一課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 整堂課的教學(xué)活動(dòng)都是學(xué)生自由、主動(dòng)的探索過(guò)程，有利于學(xué)生深度理解知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)本質(zhì).

3. 激發(fā)思維活力，素養(yǎng)自行發(fā)展

數(shù)學(xué)課堂需要給予學(xué)生思維展示的機(jī)會(huì)，也要促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，從而落實(shí)核心素養(yǎng). 本教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題給學(xué)生提供了思考載體，能夠激發(fā)學(xué)生的思維活力，學(xué)生經(jīng)歷概念生長(zhǎng)的探索過(guò)程，從特殊到一般的思維過(guò)程，以及從既定目標(biāo)尋找方法解決問(wèn)題的過(guò)程，有助于發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂世虎，楊婷，吳振英. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟［J］. 當(dāng)代教育與文化，2016， 8（4）：41-46.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 陳算榮，王瑩. 數(shù)學(xué)教學(xué)“結(jié)構(gòu)思想”的意蘊(yùn)與內(nèi)化［J］. 教學(xué)與管理，2023（22）：37-40.

［4］ 薛紅霞. 轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)觀 做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（2）：12-16.