［摘 要］ 人教A版（2019）教材在三角函數(shù)的編寫上充分發(fā)揮單位圓的工具性作用，以單位圓為載體，從點坐標視角給出三角函數(shù)的概念，這便于使用GeoGebra軟件直觀展示正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的精準圖象的制作過程，在明確圖象走勢的基礎上，學生能用“五點法”畫出草圖解決一些簡單問題.

［關鍵詞］ 單元視角；可視化；核心素養(yǎng)

單元教學是新課改的亮點，課時教學設計應該在單元教學的基礎上進行，以充分體現(xiàn)數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方式的普適性和思維的系統(tǒng)性，切實防止碎片化教學，能更好地強化學生的“四基”，發(fā)展學生的“四能”，使數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落實于數(shù)學課堂.

單元內(nèi)容及其解析

三角函數(shù)單元內(nèi)容包括任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的圖象和性質.

本單元從研究生活實際中的周期現(xiàn)象出發(fā)，通過數(shù)學抽象為質點做勻速圓周運動. 如圖1所示，先將角的范圍推廣到任意角，然后介紹弧度制，引入單位圓簡化計算，實現(xiàn)角度制與弧度制的互化，這解決了從點坐標視角引入三角函數(shù)概念的定義域問題. 接著介紹同角三角函數(shù)基本關系和誘導公式，目的是將余弦函數(shù)的圖象轉化為正弦函數(shù)的圖象，先研究正弦函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象和性質，再擴展到整個定義域內(nèi)，并通過類比研究正切函數(shù)的圖象和性質.

教學目標及其解析

1. 教學目標

（1）了解任意角的概念，能進行角度制與弧度制的互化，體會引入弧度制的必要性.

（2）借助單位圓理解三角函數(shù)的概念，能作出三角函數(shù)的圖象，借助圖象了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性. 借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式.

（3）理解同角三角函數(shù)基本關系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.

（4）借助圖象理解正弦函數(shù)在［0，2π］上、余弦函數(shù)在［-π，π］上、正切函數(shù)在

-，

上的性質.

2. 目標解析

通過任意角和弧度制的學習，為理解單位圓上點P的坐標與旋轉角α之間的對應關系，以及給出三角函數(shù)的概念做鋪墊，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，同時為作正弦函數(shù)的圖象奠定基礎.

單位圓的引入，不僅可以簡化計算，還可以構造直角三角形. 通過圖形直觀展示，助學生發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)基本關系式，提升學生的直觀想象素養(yǎng)，同時為正切函數(shù)的圖象和性質的教學奠定基礎. 借助單位圓的對稱性可得誘導公式，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，同時可將余弦函數(shù)的圖象轉化為正弦函數(shù)的圖象，并將正弦函數(shù)的圖象聚焦在［0，2π］內(nèi)進行研究，提高學生分析問題和解決問題的能力.

教學策略分析

人教A版（2019）教材（下文簡稱新教材）與舊教材相比有較大變化，主要體現(xiàn)在新教材以單位圓為載體，從點坐標視角給出三角函數(shù)的概念. 教學時應以質點作勻速圓周運動為背景，提出研究周期性現(xiàn)象的變化規(guī)律的必要性，從而勢必將角的范圍推廣到任意角. 為準確刻畫周期性現(xiàn)象的變化規(guī)律，需要畫出質點運動的圖象，前提是將角度轉化為實數(shù)，從而認識到引入弧度制的必要性. 為簡化計算，巧妙地引入單位圓，從而利用質點在單位圓上的運動引出三角函數(shù)的概念，由質點坐標間的關系自然過渡到同角三角函數(shù)基本關系，由質點在不同位置的對稱關系自然過渡到誘導公式，從而便于學生理解在［0，2π］內(nèi)研究正弦函數(shù)圖象的重要性. 可以借助信息技術，如GeoGebra軟件精準、直觀地作出正弦函數(shù)的圖象，通過圖象研究其性質. 通過優(yōu)化正弦函數(shù)的圖象和性質的研究路徑，啟發(fā)學生規(guī)劃正切函數(shù)的圖象和性質的研究.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的教學設計

1. 課時目標

（1）理解正弦曲線和余弦曲線之間的關系，用“五點法”畫出給定區(qū)間上的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

（2）掌握正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象之間的關系，以及圖象變換，利用函數(shù)圖象解決簡單問題.

2. 教學重點和難點

教學重點：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象.

教學難點：作正弦函數(shù)的圖象.

3. 教學設計

（1）創(chuàng)設情境，引出課題

問題1 如圖2所示，點P在單位圓上自點A（1，0）逆時針旋轉x弧度，你能寫出此時點P的坐標嗎？

由點P的坐標引出正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=sinx，從而板書課題.

問題2 什么是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)？它們的定義域是什么？它們是怎么得來的？

它們的定義域均為R，但是部分學生不理解，此時可以幫助學生回顧任意角的推廣過程，在弧度制下建立角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應關系，統(tǒng)一三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值的單位. 為幫助學生用定義法作正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象做準備.

設計意圖 創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生回顧舊知，引出三角函數(shù)的定義，再次認識其定義域，為用定義法研究三角函數(shù)的圖象奠定基礎.

（2）提出問題，激發(fā)思維

問題3 教材給出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義后，為什么不像以往研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)一樣立即研究它們的圖象和性質呢？

讓學生明白此時知識儲備不足，能力還不夠強大，暗示同角三角函數(shù)基本關系和誘導公式將在研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象中發(fā)揮重要作用.

問題4 誘導公式sin（α+2kπ）=sinα對我們研究正弦函數(shù)的圖象有何啟示？

對于正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，由周期現(xiàn)象可知，只需研究y=sinx在一個周期內(nèi)的圖象即可，初步體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性的價值.

問題5 誘導公式sin

α+

=cosα對我們研究余弦函數(shù)的圖象有何啟示？

想到y(tǒng)=cosx=sin

x+

，說明余弦函數(shù)的圖象可由正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位得到. 因此，可將正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象問題聚焦于研究y=sinx在一個周期內(nèi)的圖象問題.

設計意圖 利用問題串幫助學生回顧單元知識結構，理清本節(jié)重點內(nèi)容是研究正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象.

（3）借助技術，聚焦定義

問題6 如何精準畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象？

問題2讓學生清楚了在［0，2π］內(nèi)∠AOP的弧度數(shù)x與的長度值相等，此時可利用GeoGebra軟件操作如下：

在單位圓O上取點P→選中扇形AOP→度量的長度為x→繪制點（x，0）→右擊開啟跟蹤→讓點P與點A重合→在圓O上按逆時針方向旋轉點P，如圖3所示. 學生發(fā)現(xiàn)點N（x，0）的橫坐標就是的長度. 過點P作x軸的垂線，垂足為M，連接線段MP→過點P作x軸的平行線，與過點N的x軸的垂線相交于點T（x，sinx）→右擊開啟跟蹤→在圓O上自原點開始按逆時針方向旋轉點P一周→繪制出正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，如圖4所示.

問題7 正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0， 2π］的圖象與直線y=x有幾個交點？

當x∈

0，

時，引導學生觀察圖5，發(fā)現(xiàn)sinx=

MP

<

，即點T的橫坐標大于它的縱坐標，點T在直線y=x的下方，所以正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象與直線y=x有且僅有1個交點為原點.

設計意圖 利用GeoGebra軟件作圖，展示正弦函數(shù)的圖象與直線y=x有且只有一個交點，為介紹三角不等式sinx<x<tanx，x∈

0，

，以及后面利用圖象關系解決簡單問題做準備.

問題8 如何畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象？

由sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z，且k≠0）可知，函數(shù)y=sinx，x∈［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z，且k≠0）的圖象與函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象完全一致，因此將函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次平移2π個單位），從而得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象（同時利用GeoGebra軟件展示圖6所示的圖象）. 正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

問題9 如何畫出余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象？

由y=cosx=sin

x+

可知，只需將y=sinx，x∈R的圖象向左平移個單位即可得余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象（同時在GeoGebra軟件上向左（φ>0）或向右（φ<0）拖動

φ

個單位展示動態(tài)圖象，如圖6所示）. 余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

（4）動手作圖，感受變化

問題10 在正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］的圖象上，哪些點比較關鍵？

觀察圖象走勢，發(fā)現(xiàn)兩類點比較關鍵：一是與x軸的交點（0，0），（π，0），（2π，0）；二是圖象的最高點

，1

和最低點

，-1

. 向學生介紹“五點法”作圖.

問題11 在同一直角坐標系內(nèi)畫出下列函數(shù)的簡圖：①y=sinx，x∈［0， 2π］；②y=-2+sinx，x∈［0，2π］.

練習 在同一直角坐標系內(nèi)畫出下列函數(shù)的簡圖：①y=cosx，x∈

-，

；②y=-cosx，x∈

-，

.

（5）課堂小結

讓學生自己總結所學內(nèi)容和其中蘊含的數(shù)學思想方法.

設計意圖 旨在強化學生用“五點法”作圖，讓學生通過作圖，從對應點間的關系去感受圖象的平移變換，為后面研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質服務，也為研究y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質做準備.

教學反思

1. 理清知識結構，做好單元教學

教師教學站位要高，要從學科知識體系出發(fā)，理清單元知識結構和編寫意圖，做好單元起始課和章末單元復習課教學準備. 在三角函數(shù)單元中，引入任意角和弧度制可解決三角函數(shù)的定義域問題，引入同角三角函數(shù)的基本關系，可幫助學生理解同角正弦值、余弦值和正切值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為研究正切函數(shù)的圖象和性質服務. 誘導公式的引入，將正弦、余弦函數(shù)的圖象問題聚焦在正弦函數(shù)的一個周期內(nèi)，突出研究重心，達到“窺一斑而知全貌”的效果，使學生明確周期類問題的解決通法，為研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質做準備.

2. 立足學生認知，做好問題設計

問題設計要立足學生認知，理解學生的認知特點、學習方式和知識水平，這是設計問題的出發(fā)點和依據(jù).教師只有理解了學生，才能根據(jù)學生的最近發(fā)展區(qū)做好教學設計，才能厚積薄發(fā)，做到有的放矢.通過對函數(shù)的概念和性質，以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學習，學生掌握了研究新知的套路；通過對三角函數(shù)的概念的學習，學生認識到它是一種特殊的函數(shù). 利用問題串讓學生回憶三角函數(shù)的定義，清楚定義域的來源，明白弧度制對實現(xiàn)由“角”到“數(shù)”的轉化的價值所在，理解教材介紹同角三角函數(shù)基本關系和誘導公式的教學目的，認識到單位圓上點的縱坐標與其對應的角的正弦值始終相等，能借助單位圓畫出正弦函數(shù)的圖象.整個教學過程都在問題的引導下，把思考的機會留給學生，彰顯學生的能力.

3. 借助信息技術，做好直觀展示

教師要提升信息技術的使用能力.新課標指出：教師應注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果.在人教A版（2019）必修第一冊教材的第87頁專門介紹了GeoGebra軟件. 教師要掌握GeoGebra，Excel和幾何畫板等常用數(shù)學軟件的使用方法，提高信息技術與數(shù)學教學整合水平，助力學生思維. 例如通過對單位圓上點坐標的分析，利用GeoGebra軟件，充分發(fā)揮單位圓的功能，精準畫出正弦函數(shù)在區(qū)間［0，2π］上的圖象，直觀展示三角函數(shù)的圖象走勢，教學生用“五點法”畫簡圖. 順勢剖析正弦函數(shù)的圖象與直線y=x之間的位置關系，為介紹三角不等式和利用三角函數(shù)圖象關系解決簡單問題奠定基礎.