［摘 要］ 新課標背景下的數學教學，除了要考察學生對知識基礎與技能的掌握程度外，還要關注學生各項能力的發(fā)展與核心素養(yǎng)的培育情況. 研究者以“函數的單調性”教學為例，從“情境創(chuàng)設，啟迪思維”“多元表征，夯實基礎”“抽象概念，辨析理解”“應用例題，提升能力”“總結歸納，發(fā)展素養(yǎng)”五個環(huán)節(jié)展開實踐，并談一些思考.

［關鍵詞］ 基礎；能力；素養(yǎng)；教學

函數貫穿整個中學數學學習生涯，函數的單調性歷來是教學重點與難點. 隨著新課改的推進，這部分內容的教學引發(fā)許多教育工作者的深入探索與研究. 若想讓學生真正掌握“函數的單調性”，并能將這部分知識靈活應用到解題中，最根本的原則是立足知識基礎，借助教學推動學力發(fā)展，讓學生在知識探索與研究中養(yǎng)成良好的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等能力.

教學過程簡錄

1. 情境創(chuàng)設，啟迪思維

師：眾所周知，函數屬于一種模型，具有描述現實世界的作用，人們常通過函數變化規(guī)律來分析現實世界存在的一些現象. 本節(jié)課，我們將探索函數的“變”與“不變”的性質.

師：如何探索一般函數的性質呢？

生1：以具體函數為著力點，從特殊到一般獲得相應函數的性質.

師：可否舉例說明？

生2：之前應用函數y=2x+1，y=，y=x2等分析過一次函數、反比例函數和二次函數.

師：很好，現在請大家快速在草稿紙上作出以上三個函數的圖象，思考這幾個圖象可以表達函數的哪些性質.

如圖1所示，學生自主作圖，并以小組合作的方式交流各個函數所對應的性質.

生3：圖1②描述的是反比例函數y=的圖象，該圖象關于原點對稱；圖1③描述的是函數y=x2的圖象，該圖象關于y軸對稱. 這兩個圖象均有對稱性.

師：還有其他發(fā)現嗎？

生4：函數y=2x+1，y=x2的定義域均為R，圖象具有連續(xù)性特征，但函數y=的圖象被分割成了完全獨立的兩部分，其定義域是｛x

x≠0｝.

生5：y=2x+1的圖象為一條直線，從左往右呈現不斷上升的趨勢；y=x2的圖象從左往右，先逐漸下降，再逐漸上升；函數y=的圖象雖然被分割成了兩部分，但從左往右都呈現下降趨勢.

師：觀察得很仔細. 這種上升與下降趨勢，可以怎樣用y與x的變化來描述呢？

生6：圖1①可描述為函數值y隨著x的增大而增大. 圖1②可描述為y軸左右兩側，函數值y隨著x的增大而減小. 圖1③可描述為y軸左側，函數值y隨著x的增大而減??；y軸右側，函數值y隨著x的增大而增大.

師：總結得很完整，大家所分析的函數值y隨著x的變化而變化的趨勢，就是本節(jié)課的探索主題——函數的單調性. 鑒于函數y=x2的圖象具備不同變化趨勢，本節(jié)課就以該函數為典范進行探索.

設計意圖 問題情境的應用，成功激活了學生的思維，讓學生自主回顧認知范圍內的三種典型函數，并通過作圖、觀察、分析與表達，順利引入本節(jié)課的探索主題. 此環(huán)節(jié)以基礎知識為著力點，簡潔、樸實、自然，學生思維隨問題驅動而提升，展現了現代數學課堂的簡約和諧之美.

2. 多元表征，夯實基礎

師：大家已了解用變量關系描述圖象變化，并熟悉用集合語言來優(yōu)化函數定義. 根據已有的認知經驗，大家能否用精準的數學符號語言來表征函數的單調性呢？以函數y=x2處于y軸右側的圖象為例展開分析.

話音剛落，就有學生踴躍舉手，用自然語言表征為：函數y=x2在（0，+∞）上，y值隨著x的增大而增大；用圖象語言表征為：函數y=x2的圖象在y軸右側從左往右呈現逐漸上升的趨勢.

師：怎樣用符號語言來表征呢？

學生通過合作交流達成共識：對于函數f（x）=x2，①在區(qū)間（0，+∞）內，若x<x，則f（x）<f（x）；②在區(qū)間（0，+∞）內任意取x，x，若x<x，則f（x）<f（x）；③在區(qū)間（0，+∞）內任意取x，若Δx>0，則f（x）<f（Δx+x）.

為了進一步夯實知識基礎，并借助探索發(fā)展學力，繼續(xù)引導如下：

師：可否將以上結論中的“任意”用“無數多個”來替代？

生7：不可以，以f（1）<f（2）為例，那么圖象的其他位置就可能出現升降不一的情況（見圖2）.

最終確定函數f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）內單調遞增. 教師肯定學生的描述，并強調引用數學語言時需保持嚴謹和周密的態(tài)度，這是數學學科的特性. 關注到這一點，不僅能鞏固學生的知識基礎，還能培養(yǎng)學生科學嚴謹的學習習慣.

師：可否從數的角度求證f（x）<f（x）？

學生分別利用不等式的性質與作差法等進行分析，體現了數學“數形一致性”的特點. 基于此，教師鼓勵學生自主表征函數f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0）內單調遞減，并分析函數f（x）= -x2，f（x）=x的單調性.

師：實例表明，函數y=f（x）在其定義域內可能不總是單調的，但在特定區(qū)間內可以表現出單調性. 以圖3為例，請大家用符號語言描述該函數的單調性.

設計意圖 通過多元表征函數特點，培養(yǎng)學生從多角度觀察和分析函數圖象的能力，以及嚴謹的數學學習習慣. 隨著符號語言的規(guī)范，學生對函數的單調性有了深刻認識，尤其是上述問題的提出，進一步夯實了學生的知識基礎，且促使學生嘗試用遷移法去分析數學問題，有效推動了學力的發(fā)展.

3. 抽象概念，辨析理解

用PPT展示函數單調性的概念，以圖文并茂的方式呈現何為單調增區(qū)間，并要求學生以類比法說明何為單調減區(qū)間.

師：假設區(qū)間D內一些自變量構成的集合為A，若?x，x∈A，且x<x，f（x）<f（x），可確定函數y=f（x）在D區(qū)間內單調遞增嗎？

學生一致表示不能確定，以圖1③的圖象為例，取集合A=｛x

x=-1或x≥2｝，與條件相符，但f（x）=x2在區(qū)間［-1，+∞）內并不單調遞增.

師：非常好，此為典型的反例法，其常用且效果好. 通過以上探索，現在大家能否自主描述函數y=的單調性以及單調區(qū)間呢？

設計意圖 概念的呈現進一步夯實了學生的“四基”，幾個問題的牽引，進一步幫助學生客觀、辯證地認識了函數單調性的本質. 反例法的應用，以及y=的單調性與單調區(qū)間的探索，加強學生知識基礎的同時促進了學力的發(fā)展. 學生在探索過程中培養(yǎng)了辯證思維和研究能力.

4. 應用例題，提升能力

例1：結合函數單調性的定義，分析函數f（x）=kx+b（k≠0）具有怎樣的單調性.

例2：波義耳定律P=（k是正常數）是物理學科中的一個經典定律，該定律表示一定量的氣體，若體積V值變小，那么其壓強P就會變大，請結合函數的單調性證明該定律.

例3：求證函數y=+x在（1，+∞）內為增函數.

師：通過以上三個例題的探索，大家可否從中提煉出用定義求證函數單調性的基本流程？

學生合作交流，提出：第一步，設元，即任意取x，x∈D，令x<x；第二步，作差，計算f（x）-f（x）并化簡；第三步，確定結論的正負，以判定函數在給定區(qū)間內的單調性.

設計意圖 在上個環(huán)節(jié)中，學生經歷了函數單調性的精準化抽象過程，此環(huán)節(jié)中的三個例題意在引發(fā)學生進一步感知數形結合的重要性. 例2的應用，促使學生感知函數的單調性并非局限于數學學科，在物理學科中也有所應用，由此進行跨學科關聯(lián)，起到發(fā)散思維、提升學力的作用. 上述三個例題由淺入深，從學生認知范圍出發(fā)，逐步拓展到學生認知外的函數，從真正意義上拔高了學生的思維，為學生發(fā)展素養(yǎng)奠定了基礎.

5. 總結歸納，發(fā)展素養(yǎng)

師：反思本節(jié)課的學習，說說經歷了哪些探究過程.

學生通過組內合作，總結為：①經歷了以初等函數圖象為起點，過渡到用自然語言與符號語言描述其單調性的過程；②經歷了研究方法從定性到定量的過程；③探索函數的性質，遵循“圖象觀察—性質猜想—推理—獲得結論”的過程.

師：本節(jié)課的學習要點有哪些？

引導學生分別從知識基礎、思想方法、學力發(fā)展與素養(yǎng)提升四個方面進行梳理與提煉.

設計意圖 課堂總結具有“點睛”之功效，引導學生自主提煉研究過程，整理知識、方法、能力等要點，進一步幫助學生夯實知識基礎，構建完整的知識體系，同時促進學力發(fā)展，使核心素養(yǎng)扎地生根.

教學思考

1. 夯實知識基礎是發(fā)展學力的根本

夯實知識基礎是學科教學的首要任務. 想讓學生在數學課堂中獲得發(fā)展，教師充分了解學情尤為必要. 基于學生已有認知搭建新的知識框架，實現新舊知識的有機融合，可完善學生的認知結構. 學生在接觸函數單調性前已經了解了一次函數、二次函數與反比例函數，將學生的認知作為教學起點，可讓每個學生都能順利邁入函數單調性的探索大門，并在直觀感知、多元表征等基礎上實現思維的進階，順利抽象出概念［1］. 從教學反饋情況來看，這種設計是成功且有效的，學生在問題的驅動下，不僅夯實了知識基礎，還在知識探索中發(fā)展了學力，促進了個人探究能力的提升.

2. 發(fā)展學力是推動素養(yǎng)發(fā)展的關鍵

學生遇到問題時的直觀反映與應對措施決定著解題成敗，此為學力的表現. 在數學教學過程中，學力的發(fā)展離不開知識基礎的支撐，更離不開數學思想方法、運算、數據分析、邏輯推理等能力的助力. 學生只有擁有堅實的知識基礎與良好的判斷力，才能在短時間內建構并內化新知. 實踐表明，學力是推動核心素養(yǎng)發(fā)展的關鍵. 若學生擁有良好的數據分析能力，就能促進數學運算、邏輯推理以及數據分析素養(yǎng)的發(fā)展；若學生擁有豐富的數學思想，則遇到問題時就能自然而然地“化未知為已知”，有效提升數學建模、直觀想象等素養(yǎng).

3. 核心素養(yǎng)是終身持續(xù)發(fā)展的保障

新課標引領下的數學教學將發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)作為重要目標. 事實上，學科核心素養(yǎng)是促進學生個體終身可持續(xù)發(fā)展的基礎. 如果一個學生在數學學科上具備了扎實的核心素養(yǎng)，那么他必然掌握了數學抽象、知識建構、數學運算和邏輯推理等多方面的能力. 這些能力的近期表現為理解并建構新知，遠期表現為在摒棄具體知識的情況下用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界，此為創(chuàng)新根本.

總之，函數單調性的研究體現了數與形的結合，通過對函數圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現函數的增、減變化的直觀特征［2］. 教師在精研教材的基礎上設計教學活動，可促使學生深刻理解知識內涵與思想方法，提升核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 馬晴燕.教師多元角色擔當 促進學生素養(yǎng)發(fā)展：“函數的單調性”課例與思考［J］. 中學數學月刊，2021（4）：28-31.

［2］ 尉根強. 立足概念教學 培育核心素養(yǎng)：以“函數的單調性”教學設計為例［J］. 福建中學數學，2019（1）：20-24.