［摘 要］ 數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)與歷史的結(jié)合. 高中日常教學(xué)應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，整體規(guī)劃設(shè)計(jì)，選擇與當(dāng)前單元內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)單元課，由課內(nèi)延伸到課外，從零散走向整合，學(xué)知識(shí)育素養(yǎng)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和應(yīng)用背景，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，發(fā)掘數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教育價(jià)值.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)史；高中數(shù)學(xué)；單元教學(xué)；課堂實(shí)踐

引言

某位哲學(xué)家曾言：因?yàn)闅v史上人類知識(shí)和個(gè)體知識(shí)發(fā)生統(tǒng)一，所以教育不得偏離歷史. 數(shù)學(xué)史主要研究數(shù)學(xué)規(guī)律和科學(xué)發(fā)展，要求學(xué)生探索數(shù)學(xué)歷史，理解知識(shí)形成過程，感受數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的演變，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，體會(huì)研究的價(jià)值，并學(xué)習(xí)創(chuàng)新精神. 在歷史長河中，人類始終堅(jiān)持探索數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律. 學(xué)生在單元知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)、推理、認(rèn)識(shí)、理解、探究、應(yīng)用、反思，可在前人的引導(dǎo)下繼續(xù)研究、體會(huì)收獲. 承古強(qiáng)今，向新而行. 高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中，要以學(xué)生為主體，實(shí)施主動(dòng)建構(gòu). 將數(shù)學(xué)史融入單元課堂，有助于構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的縱橫聯(lián)系. 通過深入研究數(shù)學(xué)史中的邏輯，科學(xué)地探索單元教學(xué)的實(shí)踐方法，從而促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)更深層次的理解和領(lǐng)悟.

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂的意義

1. 體現(xiàn)知識(shí)和諧

數(shù)學(xué)知識(shí)螺旋上升而又不斷發(fā)展，借鑒歷史上的數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生理解知識(shí)，建立知識(shí)間的整體聯(lián)系，搭建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框圖.

2. 獲取探究樂趣

設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的實(shí)驗(yàn)或探究活動(dòng)，交流困惑之處，改善對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的焦慮. 研究新問題，深入理解數(shù)學(xué)原理，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功體驗(yàn).

3. 感受方法精妙

通過學(xué)習(xí)接觸應(yīng)用相關(guān)科學(xué)研究方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，比較古今方法之異同，重組整合，提升經(jīng)驗(yàn)，拓寬認(rèn)知，促進(jìn)思維再生成.

4. 體驗(yàn)?zāi)芰x升

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高理解、合作、創(chuàng)新、表達(dá)和思維能力，培育遠(yuǎn)見卓識(shí).

5. 展示文化融合

數(shù)學(xué)與多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域交叉，與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān). 在教學(xué)過程中注入數(shù)學(xué)活動(dòng)的文化含義，拓寬學(xué)生的視野，為學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)提供資源與機(jī)遇.

6. 彰顯德育效應(yīng)

從數(shù)學(xué)史的相關(guān)材料中學(xué)習(xí)榜樣的力量，思考數(shù)學(xué)研究中的道德責(zé)任和科學(xué)精神，擁有積極進(jìn)取、探索真知的勇氣和毅力，擁有良好的操守和品行，形成正確的三觀和價(jià)值取向，展現(xiàn)更高遠(yuǎn)的目標(biāo).

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂的方法

在高中數(shù)學(xué)課堂中，有多種將數(shù)學(xué)史穿插到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的方法，如：選用數(shù)學(xué)史作為背景引入新概念；介紹數(shù)學(xué)家的歷史故事；對(duì)歷史古跡進(jìn)行探訪；介紹歷史上的數(shù)學(xué)悖論；探索數(shù)學(xué)家的生平和貢獻(xiàn)；基于歷史設(shè)計(jì)教學(xué)大綱；重構(gòu)歷史創(chuàng)設(shè)情境；分析歷史上的數(shù)學(xué)問題和解決方法；介紹歷史上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；利用數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)課堂例題與習(xí)題；利用數(shù)學(xué)史建構(gòu)知識(shí)體系；介紹史料中的數(shù)學(xué)思想方法；設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的小組活動(dòng)；研究與數(shù)學(xué)史相關(guān)的項(xiàng)目；學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)文獻(xiàn)……選擇這些方法，將數(shù)學(xué)與歷史結(jié)合起來，激發(fā)思想共鳴，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的深入發(fā)展，使數(shù)學(xué)課堂不僅傳授知識(shí)，還能培養(yǎng)素養(yǎng)，啟迪智慧，潤澤心靈.

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)踐案例

1. 引入數(shù)學(xué)家的背景和故事

案例1 人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)第七章“復(fù)數(shù)”的教學(xué).

單元起始課是單元教學(xué)的開端，它概括了整個(gè)單元的核心思想，明確了知識(shí)結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系和學(xué)習(xí)路徑，對(duì)單元教學(xué)的實(shí)施至關(guān)重要. 在單元起始課中介紹數(shù)學(xué)家的歷史故事，可促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的引入. “7.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”是本章第一節(jié)課.

在課堂引入環(huán)節(jié)，設(shè)置情境如下：

情境1 數(shù)學(xué)家卡丹在其著作《重要的藝術(shù)》中發(fā)問：把10分成兩部分，使其相乘等于40.這需要解方程x（10-x）=40. 他求得的根是5+i和5-i，然后說“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，仍然會(huì)把5+i和5-i相乘得到25-（-15）=40”.

情境2 卡丹發(fā)表三次方程x3+px+q=0的一個(gè)根的表達(dá)式為x=+. 求方程x3=15x+4的根，用一元三次方程的求根公式可得x=-2±或x=+；用因式分解法可得x=4或x=-2±. 思考結(jié)果為何不同. 用GeoGebra軟件畫出函數(shù)y=x3-15x-4的圖象，發(fā)現(xiàn)其與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，從而確定根的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)說明 課堂開始時(shí)，通過講述數(shù)學(xué)家的故事來激發(fā)學(xué)生的興趣，幫助他們迅速融入課堂氛圍，并通過古今對(duì)比，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思維歷程.

在辨析、理解、深化概念的環(huán)節(jié)中，介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史：

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖求解一元二次方程；

628年左右，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多指出負(fù)數(shù)沒有平方根；

1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹求解一元三次方程；

1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中把負(fù)數(shù)的平方根稱作虛數(shù)；

1777年，歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位.

1797年，韋塞爾提出復(fù)數(shù)的幾何表示；

1831年，高斯對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行描述，將復(fù)數(shù)解釋為復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，并提及復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法法則.

1837年，哈密頓定義復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

設(shè)計(jì)說明 講解復(fù)數(shù)的歷史，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的探索精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高教學(xué)效果.

在作業(yè)布置、分層鞏固環(huán)節(jié)，設(shè)置閱讀作業(yè)如下：

閱讀書籍《虛數(shù)的故事》；

回顧卡丹求解一元三次方程的歷史，體驗(yàn)復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)一元三次方程根的對(duì)稱美；

查閱網(wǎng)站獲取復(fù)數(shù)資料，尋找復(fù)數(shù)應(yīng)用信息（選做）.

設(shè)計(jì)說明 復(fù)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

2. 介紹歷史上的數(shù)學(xué)悖論

案例2 人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊(cè)“4.5 函數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué).

介紹函數(shù)的零點(diǎn)，以及二分法：對(duì)于在區(qū)間［a，b］上圖象連續(xù)不斷且f（a）f（b）<0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. 接下來應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)研究方程的解，也為后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題提供依據(jù).

閱讀與思考：中外歷史上的方程求解. 二分法是一種常見的利用計(jì)算技術(shù)的數(shù)值解法. 二分法悖論是古希臘哲學(xué)家芝諾于公元前5世紀(jì)中葉去雅典的一次訪問中提出的四個(gè)著名悖論之一：以A點(diǎn)為起點(diǎn)出發(fā)前往B點(diǎn)，先走完總路程的二分之一，接著走完總路程的四分之一、八分之一、十六分之一……以至無窮劃分下去，無法抵達(dá)B點(diǎn). 《莊子·天下篇》中寫道：一尺之錘，日取其半，萬世不竭.

設(shè)計(jì)說明 數(shù)學(xué)歷史名題具有重要的研究價(jià)值和豐富的內(nèi)涵. 通過閱讀了解古今中外各式各樣方程的解法，探尋二分法的由來，感受二分法蘊(yùn)含的取中思想、逼近思想、算法思想、極限思想，感知近似和精確的統(tǒng)一，并從不同角度理解問題，領(lǐng)悟真理的形態(tài)不唯一.

3. 借鑒數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)例題與習(xí)題

在高三數(shù)學(xué)一輪單元復(fù)習(xí)課中，以歷史問題為基礎(chǔ)，變換提問方式，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，從而鞏固和深化知識(shí)應(yīng)用.

案例3 人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)“8.6 空間直線、平面的垂直”的教學(xué).

《九章算術(shù)·商功》中記載：斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也. 合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.劉徽注：此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云. 中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得.

例：《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑. 如圖2所示，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，BC=，E為棱PC的中點(diǎn)，過E作EF⊥PB交PB于F，連接DE，DF，BD，BE.

（1）證明：PB⊥平面DEF；

（2）若平面PAD∩平面PBC=l，證明：AD∥l；

（3）判斷四面體DBEF是否為鱉臑；

（4）求直線DF與直線BC所成角的余弦值；

（5）求直線DF與平面ABCD所成角的余弦值；

（6）求平面DEF與平面ABCD所成的二面角的大??；

（7）求陽馬P-ABCD的外接球的體積；

（8）求陽馬P-ABCD的內(nèi)切球的半徑.

思考：請(qǐng)以小組為單位，自主編題并解答.

設(shè)計(jì)說明 從歷史原題中提取模型，為單元復(fù)習(xí)提供問題背景，設(shè)計(jì)、解決、衍生、改進(jìn)問題，復(fù)習(xí)大單元專題系列知識(shí)點(diǎn)，整合知識(shí)，應(yīng)用方法.

案例4 人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教學(xué).

例：我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了求三角形面積的“三斜求積”公式S=，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊. 該公式和古希臘數(shù)學(xué)家海倫所列的三角形面積公式頗為統(tǒng)一：S=

p=（a+b+c）

.

（1）已知b=2，tanA=，求△ABC面積的最大值；

（2）用正弦定理和余弦定理證明“三斜求積”公式或海倫公式.

設(shè)計(jì)說明 對(duì)于第（1）問，先把tanA=轉(zhuǎn)化為=，再轉(zhuǎn)化為sinA-sinAcosB=cosAsinB，變形為sinA=sin（A+B）=sinC，得c=a. 考查兩角和的正弦公式和正弦定理. 又S===（可從二次函數(shù)的角度求出其最值），得到：當(dāng)a=2時(shí)，△ABC面積的最大值為.這是用“三斜求積”公式求解的代數(shù)解法. 也可以通過數(shù)形結(jié)合，利用邊b為定值的特殊性，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B為動(dòng)點(diǎn)，嘗試求它的軌跡方程，三角形的最值即為高的最值，此為幾何解法.

對(duì)于第（2）問，可巧借余弦定理和正弦定理驗(yàn)證“三斜求積”公式.

“三斜求積”公式：S=acsinB=ac·=ac·=.

海倫公式：S====.

從三角形面積公式推導(dǎo)出“三斜求積”公式和海倫公式，體現(xiàn)不同形式的公式本質(zhì)相同.

4. 進(jìn)行數(shù)學(xué)史相關(guān)的研究項(xiàng)目

案例5 人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊(cè)“5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué).

任務(wù)1 文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作.

我國唐代天文學(xué)家一行（683—727）是接觸應(yīng)用正切函數(shù)的第一人，《大衍歷》便是出自他之手，在“步晷漏術(shù)”中制作了一個(gè)太陽天頂距和0°～80°每度影長的對(duì)應(yīng)數(shù)表.

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，查找相關(guān)資料，認(rèn)真分析素材，談一談自己的看法與體會(huì)，形成讀書報(bào)告.

作業(yè)成果：隨筆.

成果評(píng)價(jià)：根據(jù)現(xiàn)有任務(wù)要素，確定評(píng)價(jià)指標(biāo)，為學(xué)生研究提供理論支持.

設(shè)計(jì)意圖 將數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，以核心概念為指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，拓寬學(xué)生的視野，引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)語言解釋世界.

任務(wù)2 實(shí)際應(yīng)用.

數(shù)學(xué)家傅立葉曾說過，正弦函數(shù)的和，能夠以周期函數(shù)的方式體現(xiàn). 請(qǐng)同學(xué)們欣賞一首鋼琴曲，感受音色可以表示成簡單的正弦函數(shù)之和. 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加，可解釋聲波的共振現(xiàn)象.

自從降生到這個(gè)世界，個(gè)體的情緒、體力和智力便開始進(jìn)入發(fā)展?fàn)顟B(tài)，且呈現(xiàn)出周期趨勢(shì). 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，人的生物節(jié)律由情緒節(jié)律、體力節(jié)律和智力節(jié)律組成. 同時(shí)，對(duì)應(yīng)相應(yīng)的節(jié)律周期. 不僅如此，不管哪個(gè)節(jié)律周期，又細(xì)分為三個(gè)階段，分別是臨界日、高潮期和低潮期. 其中，臨界日即三個(gè)節(jié)律周期的半數(shù). 情緒節(jié)律的臨界日是14天，體力節(jié)律的臨界日是11.5天，智力節(jié)律的臨界日是16.5天. 以臨界日為界，高潮期為前半期，低潮期為后半期. 以生日前一天為起點(diǎn)，按照實(shí)際的出生日期，嘗試把情緒、體力和智力曲線分別繪制出來. 同時(shí)，確認(rèn)哪一節(jié)點(diǎn)應(yīng)控制情緒，哪一節(jié)點(diǎn)應(yīng)加強(qiáng)鍛煉.

以“生活中的三角函數(shù)”為課題，形成學(xué)習(xí)小組，分工合作，查找資料，制作PPT或視頻，準(zhǔn)備交流發(fā)言.

設(shè)計(jì)意圖 三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用十分廣泛，不僅源于并服務(wù)于實(shí)際生活，更存在于人的生理和心理領(lǐng)域. 人生境遇各有不同，有波峰有波谷，讓學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)要?jiǎng)谝萁Y(jié)合，不以物喜，不以己悲，要以良好的心態(tài)面對(duì)生活與學(xué)習(xí)，改進(jìn)行為習(xí)慣、生活能力，提升意志品質(zhì)、思想品質(zhì).

結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重教材的整體性，采用單元教學(xué)法，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維. 同時(shí)，教師應(yīng)利用數(shù)學(xué)史中的豐富內(nèi)容，包括理論、邏輯、規(guī)律、方法和智慧，激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)知識(shí)的深入理解和能力的提升. 在歷史和數(shù)學(xué)的發(fā)展中，回顧過去，審視現(xiàn)在，展望未來.