［摘 要］ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特征顯著，強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體，具備探究性和合作性，同時(shí)注重思維的過程性和開放性. 研究者以“橢圓的定義與方程”教學(xué)為例，分別從“折紙操作，初現(xiàn)端倪”“實(shí)驗(yàn)觀察，探索定義”“實(shí)驗(yàn)提煉，完善定義”“性質(zhì)研究，建立方程”“知識應(yīng)用，鞏固提升”等方面展開教學(xué)設(shè)計(jì)，并談幾點(diǎn)思考.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；橢圓；教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門注重演繹與實(shí)驗(yàn)的學(xué)科. 然而，在很長一段時(shí)間內(nèi)，受升學(xué)模式、傳統(tǒng)教學(xué)理念等的影響，許多教師過分專注于數(shù)學(xué)演繹過程的邏輯性，卻忽視了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用. 長期以往，學(xué)生會誤以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)僅需邏輯推理，而忽略數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要性. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是觸及知識本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特征

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”理論指導(dǎo)下，以實(shí)驗(yàn)方式對數(shù)學(xué)理論進(jìn)行驗(yàn)證或問題解決的過程. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有獨(dú)特性，與其他自然科學(xué)實(shí)驗(yàn)不同.

1. 突出學(xué)生的主體性地位

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生才是課堂真正的主人，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)秉承此理念，要求學(xué)生具備較高的動手動腦能力，凸顯“做中學(xué)”的優(yōu)勢. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生需主動參與操作、討論問題、分析錯(cuò)因，這些活動賦予學(xué)生研究者身份，促使他們積極投入問題的研究與探索中.

教師作為課堂的組織者，放權(quán)給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生邊操作邊思考，在動手操作中探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)解決問題的具體辦法. 由此可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程是以學(xué)生為主體的過程，且為學(xué)生提供了廣袤的思維空間，為激發(fā)潛能、發(fā)展核心素養(yǎng)服務(wù).

2. 具有探究性與合作性

一般情況下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常以問題為引導(dǎo)，將數(shù)學(xué)知識或結(jié)論置于實(shí)際情境中，賦予其生動意義，激發(fā)學(xué)生主動探索. 實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)論，完善知識結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常以小組合作形式進(jìn)行，學(xué)生共同制定方案、選擇手段，觀察并總結(jié)結(jié)論. 由此可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有合作性和探究性，是提升學(xué)生“四基”與“四能”的有效途徑.

3. 注重思維的過程性

新課標(biāo)重視數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展過程，鼓勵(lì)學(xué)生主動探索、發(fā)現(xiàn)與思考，以滿足核心素養(yǎng)背景下的教學(xué)需求，從而真正促進(jìn)學(xué)力發(fā)展. 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，并非旨在讓學(xué)生掌握課本上的結(jié)論，而是旨在引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)感知知識的形成與發(fā)展，深刻理解知識本質(zhì)，探索新知建構(gòu)過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神和邏輯思維的成長.

4. 具有開放性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法、環(huán)境與素材的選取，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開放性特征. 從實(shí)驗(yàn)方法的角度來看，學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，可綜合運(yùn)用多種手段來解決相應(yīng)問題. 實(shí)驗(yàn)環(huán)境可選課內(nèi)的，也可選課外的，如多媒體教室、家庭電腦等；實(shí)驗(yàn)素材的選取可跨領(lǐng)域. 開放性特征能拓寬學(xué)生的思維空間，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中收獲更多.

教學(xué)案例

本文以“橢圓的定義與方程”教學(xué)為例，探索新課標(biāo)背景下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特征與應(yīng)用方法.

1. 折紙操作，初現(xiàn)端倪

實(shí)驗(yàn) 取出課前準(zhǔn)備好的圓形卡紙，在圓內(nèi)非圓心的位置任意取點(diǎn)F，折疊卡紙讓圓周過點(diǎn)F（見圖1），隨后展開卡紙，獲得折痕l，并用鉛筆將其勾勒出來. 反復(fù)多次折疊，勾勒折痕，觀察折痕所圍成的輪廓曲線.

學(xué)生自主操作，很快有學(xué)生激動地表示，獲得了橢圓形狀.

師：能夠確定是橢圓嗎？

生1：好像是，如果能折疊更多次，可能會更清楚一些.

師：很好！為了節(jié)約課堂操作時(shí)間，這個(gè)“更多次”我們有什么辦法可以實(shí)現(xiàn)？

生2：可借助先進(jìn)的信息技術(shù)實(shí)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 興趣是學(xué)習(xí)最佳動力. 折紙活動旨在激發(fā)學(xué)生的探索欲和好奇心，促使他們自主進(jìn)行探究學(xué)習(xí). 為了驗(yàn)證學(xué)生的猜想是否正確，提出利用先進(jìn)信息技術(shù)的方法. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探究性、合作性、開放性和過程性在這一簡短過程中得到了充分展現(xiàn).

2. 實(shí)驗(yàn)觀察，探索定義

借助幾何畫板展示折紙活動模擬實(shí)驗(yàn)，即展示折紙次數(shù)n與圓上點(diǎn)P的運(yùn)動變化情況，共同追蹤折痕l. 如圖2、圖3、圖4所示（n的值分別為10，20，100），圖象令學(xué)生驚喜.

師：觀察發(fā)現(xiàn)，多條折痕可構(gòu)成什么圖形？

生（眾）：橢圓.

教師繼續(xù)操作幾何畫板，使點(diǎn)P運(yùn)動起來，呈現(xiàn)圖5所示的形態(tài).

師：現(xiàn)在請大家一起觀察圖5，說說橢圓上的點(diǎn)是什么點(diǎn)？

學(xué)生自主觀察并分析，一位學(xué)生提出橢圓上的點(diǎn)是折痕與橢圓的切點(diǎn). 教師要求學(xué)生仔細(xì)觀察并確認(rèn).

生3：確實(shí)是切點(diǎn)，也是線段OP與折痕l的交點(diǎn).

師：觀察得很仔細(xì). 若交點(diǎn)為Q，它需滿足什么幾何條件呢？

生4：OQ+FQ=OQ+PQ=R.

師：不錯(cuò)，通過以上探索，可以總結(jié)出橢圓的定義嗎？

生5：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和恒為一個(gè)定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課前，學(xué)生對橢圓的認(rèn)識基于生活經(jīng)驗(yàn)，對折痕所圍成的橢圓是一種直覺上的判斷. 幾何畫板的應(yīng)用，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識過渡到理性認(rèn)識橢圓，揭示橢圓的本質(zhì)，并初步形成橢圓的定義.

3. 實(shí)驗(yàn)提煉，完善定義

取出一根無伸縮的細(xì)繩，將繩子的兩端固定在黑板上的兩個(gè)點(diǎn)上，拉緊繩子并移動粉筆，要求學(xué)生觀察粉筆移動后畫出來的曲線形狀.

學(xué)生自主操作，有如下幾種情況：①黑板上兩點(diǎn)的距離比細(xì)繩的長度長，因?yàn)槔K子長度不夠，無法操作；②兩點(diǎn)距離等于繩子長度，繩子無法移動；③兩點(diǎn)距離比繩子長度短，畫出橢圓.

師：通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，請大家再次說說對橢圓定義的理解.

生6：在一個(gè)平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓.

（教師板書，并提出焦點(diǎn)與焦距的定義. ）

設(shè)計(jì)意圖 弗賴登塔爾認(rèn)為“再創(chuàng)造”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最好的方法. 引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容“再創(chuàng)造”出來，可幫助學(xué)生更好地認(rèn)識知識本質(zhì). 作為教師，其任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”，而非將既有結(jié)論機(jī)械地灌輸給學(xué)生. 此環(huán)節(jié)，教師沒有直接向?qū)W生展示“常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離”這一重要條件，而是結(jié)合學(xué)情與知識特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生親歷探索過程. 學(xué)生探究三種情況后，不僅發(fā)現(xiàn)之前總結(jié)的橢圓的定義存在不足，還進(jìn)一步感知到橢圓規(guī)律形成與發(fā)展的過程，深化了對橢圓定義的理解.

4. 性質(zhì)研究，建立方程

師：通過對橢圓形成過程的探索，大家有沒有發(fā)現(xiàn)橢圓具備哪些幾何性質(zhì)？

生7：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

師：哦？它的對稱軸與對稱中心分別是什么？

生8：如圖6所示，如果點(diǎn)F，F(xiàn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，那么該橢圓的對稱軸是線段FF的垂直平分線，線段FF的中點(diǎn)為對稱中心.

師：非常好！除此之外，該橢圓還具備什么性質(zhì)呢？

生9：或許可以從方程的角度去分析.

師：這個(gè)想法不錯(cuò)，究竟該怎樣建立橢圓的方程呢？

生10：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)置點(diǎn)的坐標(biāo)，探尋它們的等量關(guān)系（用坐標(biāo)表示），化簡后就可得橢圓的方程.

師：如何建立平面直角坐標(biāo)系呢？

學(xué)生自主思考、畫圖，小組合作探索，在教師協(xié)作下，獲得焦點(diǎn)分別位于x軸和y軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主獲得了橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，此為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn). 學(xué)生自主畫圖并探索橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步發(fā)展了數(shù)學(xué)邏輯思維與空間想象力.

5. 知識應(yīng)用，鞏固提升

例題 已知B，C為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，BC=6，若A為一個(gè)動點(diǎn)，△ABC的周長為16，那么點(diǎn)A的軌跡方程是什么？

設(shè)計(jì)意圖 本題意在深化學(xué)生對橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，增強(qiáng)學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用意識. 在教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生遇到難題時(shí)，教師用幾何畫板幫助學(xué)生通過圖形變化找到解題思路.

5. 總結(jié)反思，提煉升華

略.

幾點(diǎn)思考

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富教學(xué)模式

高中生主要進(jìn)行操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過工具、材料，并利用現(xiàn)代技術(shù)手段來檢驗(yàn)或揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì). 如本節(jié)課折紙、拉繩畫橢圓，以及幾何畫板的應(yīng)用等，都從不同角度揭露了橢圓的定義與方程形成過程，有效豐富了課堂教學(xué)的手段. 回望傳統(tǒng)教學(xué)模式，大多以“一問一答”“上臺講解”“分組討論”等形式揭示知識本質(zhì)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的介入，是對傳統(tǒng)教學(xué)模式的有效補(bǔ)充.

尤其是信息技術(shù)的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展更加便捷，學(xué)生從可視化實(shí)驗(yàn)中更好地理解并應(yīng)用數(shù)學(xué)，這對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與應(yīng)用能力具有直接影響. 因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅豐富了課堂教學(xué)模式，還給課堂帶來了生機(jī)與活力.

2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)凸顯學(xué)生地位

學(xué)生為課堂主體，教育界普遍認(rèn)同. 究竟該如何將這個(gè)理念落到實(shí)處呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程是學(xué)生主動參與的探索過程，可充分發(fā)揮學(xué)生在探索中的主動性. 如本節(jié)課的折紙活動、幾何畫板演示和繩畫橢圓等實(shí)驗(yàn)，學(xué)生都積極參與其中，并通過自主操作獲得了良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與感悟.

學(xué)生自主參與實(shí)驗(yàn)活動可直觀了解知識本質(zhì)，但過程中常遇挫折與困難，此為鍛煉學(xué)生耐挫能力的契機(jī)，對培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力具有重要意義. 因此，實(shí)驗(yàn)活動不僅幫助學(xué)生掌握教學(xué)內(nèi)容，還培養(yǎng)學(xué)生挫折應(yīng)對能力，提升學(xué)生探索精神及核心素養(yǎng).

3. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對教師提出更高要求

與物理或化學(xué)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)相比，新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更關(guān)注思維的交流過程. 隨著時(shí)代的進(jìn)步，傳統(tǒng)的教師手工制作簡易教具供學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作的做法已不再適應(yīng)當(dāng)前需求. 現(xiàn)今，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常需信息技術(shù)支持，這對教師的專業(yè)技能提出了更高要求. 教師需精通幾何畫板等軟件，并具備將抽象數(shù)學(xué)知識具象化的能力.

總之，新時(shí)代的教師應(yīng)具備專業(yè)知識，掌握備課和備學(xué)生的能力，并熟悉數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和信息技術(shù)的應(yīng)用. 這是提升實(shí)驗(yàn)質(zhì)量、發(fā)展學(xué)生思維與核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.