［摘 要］ 當(dāng)下，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分. 為了有效開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，教師可應(yīng)用深度學(xué)習(xí)理念設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的研究主題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)探究活動(dòng)在培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)、發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維、提高學(xué)生自學(xué)能力等方面的教育價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生綜合能力及綜合素養(yǎng)的發(fā)展與提升.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；研究主題；自學(xué)能力

在新課程的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)已成為當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分. 通過數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開展，學(xué)生可以獲得獨(dú)立思考和合作探究的必要時(shí)間和空間，有助于學(xué)生積累豐富的探究經(jīng)驗(yàn)和思想方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)以及勤于思考、樂于探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)也有助于推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生親歷知識(shí)形成的全過程，以促成深度學(xué)習(xí). 深度學(xué)習(xí)是當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)熱詞，其是針對(duì)傳統(tǒng)課堂淺層學(xué)習(xí)和被動(dòng)學(xué)習(xí)提出的全新學(xué)習(xí)方式. 在實(shí)際教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律且具有挑戰(zhàn)性的主題，通過引導(dǎo)學(xué)生深入探究，幫助他們更好地理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，并獲得成功的體驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 在教學(xué)“探索與證明基本不等式”時(shí)，筆者基于教學(xué)實(shí)際精心設(shè)計(jì)了一次探究活動(dòng)，以期讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，促成深度學(xué)習(xí)的發(fā)生. 現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，供參考！

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激發(fā)興趣

任務(wù)1 查閱資料，豐富認(rèn)知.

2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京隆重舉行. 本次大會(huì)會(huì)徽（如圖1所示）是根據(jù)趙爽弦圖設(shè)計(jì)的，它像轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，揮舞著手臂，熱情洋溢地迎接來自世界各地的數(shù)學(xué)家. 對(duì)于趙爽弦圖，你知道多少？你知道趙爽是如何利用“勾股圓方圖”詳細(xì)證明勾股定理的嗎？請(qǐng)大家到網(wǎng)上查閱相關(guān)資料，了解這別具一格的證明方法.

設(shè)計(jì)意圖 課前借助探究性任務(wù)鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)或書籍查閱相關(guān)資料，以此開闊學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí). 另外，通過閱讀相關(guān)資料，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合在研究數(shù)學(xué)問題中的價(jià)值，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí).

任務(wù)2 利用幾何畫板讓趙爽弦圖“動(dòng)起來”.

觀察動(dòng)圖（具體制作過程可以到網(wǎng)上查詢），請(qǐng)嘗試寫出其中蘊(yùn)含的相等或不等的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，通過“動(dòng)手做”激發(fā)學(xué)生的探究熱情，使他們學(xué)會(huì)用幾何畫板等工具來研究數(shù)學(xué)問題，充分體驗(yàn)探究樂趣.

2. 課堂探究，推導(dǎo)公式

問題1 如圖3所示，令正方形ABCD的面積為S，4個(gè)全等的直角三角形的面積之和為S，直角邊的邊長(zhǎng)分別為a，b. 結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，你能寫出怎樣的不等或相等關(guān)系？

問題2 不等式a2+b2≥2ab是否對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立？何時(shí)取等號(hào)？請(qǐng)嘗試用特值法加以驗(yàn)證.

師生活動(dòng)：教師提供時(shí)間讓學(xué)生列舉實(shí)例，然后將結(jié)果填寫到Excel中，引導(dǎo)學(xué)生從特殊中抽象出一般性規(guī)律，最終形成猜想. 即a2+b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

設(shè)計(jì)意圖 這樣將情境問題逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師充分利用問題情境的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生在問題探索過程中提出猜想，并通過特值法進(jìn)行驗(yàn)證，從而逐步提煉出重要不等式. 這樣引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，有助于激發(fā)深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 另外，在此過程中，教師充分利用幾何畫板的生動(dòng)和形象特點(diǎn)增強(qiáng)學(xué)生的注意力，讓學(xué)生身心愉悅地參與到課堂探究活動(dòng)中，以此提升課堂教學(xué)有效性.

問題3 剛剛我們運(yùn)用特殊到一般思想方法得到結(jié)論“a2+b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”，對(duì)于這一結(jié)論，可以證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖 該結(jié)論是從特殊案例中抽象、猜想得到的，具有一定的主觀性. 然數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，猜想并不能作為結(jié)論，因此有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的邏輯推理能力. 在此過程中，教師不要急于將證明思路呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行合作探究，并給予啟發(fā)、指導(dǎo)、評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，以此增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

問題4 若a>0，b>0，用代替a，代替b，你能得到什么結(jié)論？其成立的條件是什么？

追問：你能用不同的方法來證明這一不等式嗎？

師生活動(dòng)：教師提供時(shí)間讓學(xué)生猜想、驗(yàn)證、交流. 形成猜想后，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的方法加以證明，并讓學(xué)生以小組為單位交流證明過程. 教師巡視，并將優(yōu)秀的證明過程通過投影展示出來.

方法1：作差比較法. -=≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

方法2：分析法. 要證明≤，只需證明a+b≥2，即證明a+b-2≥0，只需證明（-）2≥0，顯然該不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.

方法3：綜合法. 因?yàn)椋?）2≥0，所以a+b-2≥0，所以a+b≥2，所以≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.

這樣，通過多角度思考與探究，學(xué)生順利得到基本不等式.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究魅力，發(fā)展自學(xué)能力. 在探究過程中，教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生思考與合作，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣. 同時(shí)，教師還鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考和解決問題，以此激發(fā)學(xué)生的潛能，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生逐漸愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

3. 幾何解釋，理解公式

問題5 如圖4所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)C為AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作DE⊥AB，分別交圓O于D，E兩點(diǎn)，連接AD，BD，OD.

（1）設(shè)AC=a，BC=b，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，你能否找到和呢？

（2）根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，你能否對(duì)基本不等式作出幾何解釋呢？

師生活動(dòng)：教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察，充分挖掘圖4所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，以此幫助學(xué)生更加直觀地理解基本不等式. 在此活動(dòng)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生利用幾何畫板制作動(dòng)圖，通過移動(dòng)點(diǎn)C的位置分析基本不等式的幾何意義. 當(dāng)然，在此過程中，學(xué)生難免會(huì)遇到障礙，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生合作探究，集思廣益，突破障礙，獲得深刻理解.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度出發(fā)，尋找相等與不等關(guān)系，揭示基本不等式的幾何意義；鼓勵(lì)學(xué)生將“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合起來，充分感知“數(shù)”與“形”的和諧之美，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，提高學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

4. 實(shí)際應(yīng)用，深入理解

例1 王大伯準(zhǔn)備用柵欄圍一個(gè)面積為4平方米的矩形苗圃. 從節(jié)省材料的角度出發(fā)，該苗圃的長(zhǎng)和寬分別是多少時(shí)，所用的柵欄最短？最短是多少？

例1的難度不大，學(xué)生應(yīng)用基本不等式即可解決問題：設(shè)矩形的長(zhǎng)為a米，寬為b米，則ab=4. 又≥，所以2（a+b）≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào). 即當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都為2米時(shí)，所用的柵欄最短，其長(zhǎng)度為8米.

例2 王大伯想用長(zhǎng)12米的柵欄圍成一個(gè)矩形苗圃，怎么圍可以使矩形面積最大？最大面積是多少？

學(xué)生結(jié)合例1的探究經(jīng)驗(yàn)，很快得到了答案：設(shè)該矩形苗圃的長(zhǎng)和寬分別為a米和b米，則2（a+b）=12，即a+b=6. 又≤=3，所以ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)，等號(hào)成立. 即將其圍成邊長(zhǎng)為3米的正方形可使苗圃的面積最大，最大面積為9平方米.

追問：你還能用其他方法來解決這一問題嗎？

師生活動(dòng)：教師提供時(shí)間讓學(xué)生尋求不同的方法解決問題，如函數(shù)法，教師呈現(xiàn)具有代表性的解答.

設(shè)計(jì)意圖 從生活情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用新知解決生活中的一些實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)“學(xué)以致用”教學(xué)目標(biāo)的落實(shí). 在課堂上，教師鼓勵(lì)學(xué)生利用不同方法求解，幫助學(xué)生積累求解最值的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平.

解后反思：結(jié)合以上問題的解決過程，請(qǐng)運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，闡述你的發(fā)現(xiàn).

師生活動(dòng)：在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生歸納總結(jié)一般性結(jié)論. ①若ab=P（P為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值，其最小值為2；②若a+b=S（S為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab有最大值，其最大值為.

通過經(jīng)歷從特殊到一般的探究，形成了一般性結(jié)論，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提升. 當(dāng)然，在此過程中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注基本不等式的適用條件，即“一正、二定、三相等”.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將具體問題抽象成一般性結(jié)論，以此深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解. 在此過程中，教師安排學(xué)生以小組為單位開展合作學(xué)習(xí)，并引導(dǎo)學(xué)生自主歸納基本不等式的要點(diǎn)，以此有效規(guī)避因機(jī)械套用而出現(xiàn)錯(cuò)解的風(fēng)險(xiǎn)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高解題準(zhǔn)確率.

5. 課堂練習(xí)，鞏固強(qiáng)化

（1）用長(zhǎng)20米的柵欄圍成一個(gè)矩形苗圃，若使得苗圃的面積最大，可以怎么圍？

（2）用長(zhǎng)30米的柵欄靠墻圍一塊矩形菜地，墻長(zhǎng)18米，當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬分別為何值時(shí)，矩形菜地的面積最大？

（3）若想做一個(gè)底面積為48平方米，高為2米的長(zhǎng)方體蓄水池，底面的邊長(zhǎng)取何值時(shí)，可以使其耗材最少？

設(shè)計(jì)意圖 通過經(jīng)歷前面的探究，學(xué)生已經(jīng)初步建立了運(yùn)用基本不等式求解最值的數(shù)學(xué)模型. 為了幫助學(xué)生深化理解這一模型，逐步提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平，教師給出具體問題.

教學(xué)思考

1. 以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)

深度學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的掌握情況，還要關(guān)注知識(shí)的形成過程，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成適應(yīng)終身學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí). 在教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向，結(jié)合教學(xué)實(shí)際精心創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)展及應(yīng)用等全過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升. 在此過程中，教師要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生通過多角度探究揭示基本不等式的本質(zhì)含義，從而為應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 以挑戰(zhàn)性探究活動(dòng)為主線，提升學(xué)生的自主探究能力

在新課程的推動(dòng)下，教師可將教學(xué)內(nèi)容分成若干個(gè)具有挑戰(zhàn)性的、引領(lǐng)性的學(xué)習(xí)主題，讓學(xué)生以“主角”的身份參與其中，化“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，幫助學(xué)生走出記憶模仿的淺層學(xué)習(xí)，逐步走向深度學(xué)習(xí). 在本節(jié)課教學(xué)中，筆者在課前、課中設(shè)計(jì)了多個(gè)探究任務(wù)，如課前讓學(xué)生利用幾何畫板制作趙爽弦圖，課中引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度解釋基本不等式，這樣通過數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生不知不覺參與到數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中，并讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)合作，推動(dòng)學(xué)生自主探究能力的提升.

3. 以全面發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

在教學(xué)中，教師要貫徹“以生為主體，以師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，多為學(xué)生提供一些自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的時(shí)間與空間，并及時(shí)進(jìn)行激勵(lì)與指導(dǎo)，以此讓不同層級(jí)的學(xué)生都能有所發(fā)展、有所提升. 教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)思考、主動(dòng)交流，以此通過有效的互動(dòng)交流提出、發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成. 教師還要及時(shí)給予鼓勵(lì)、指導(dǎo)和評(píng)價(jià)，通過“教”與“學(xué)”的協(xié)調(diào)發(fā)展，提升教師的教學(xué)素養(yǎng)和學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，重視學(xué)生主體價(jià)值的激發(fā)，提供機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，以此促成深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力全面提升.