［摘 要］ 研究者基于范希爾理論分析掌握圓需要經(jīng)歷幾個層次，以此揭示認(rèn)識事物的一般性規(guī)律，為教學(xué)活動的設(shè)計提供依據(jù). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究教材，關(guān)注知識間的前后聯(lián)系，通過由表及里、由淺入深的逐層探究幫助學(xué)生深刻地理解知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 范希爾理論；一般性規(guī)律；學(xué)習(xí)能力

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點，又是高考的重要考點. 在學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程前，學(xué)生已掌握了直線方程，并初步了解了如何用代數(shù)知識解決幾何問題. 通過本課學(xué)習(xí)，學(xué)生將深入理解代數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用，并為后續(xù)研究橢圓、雙曲線和拋物線方程打下基礎(chǔ). 在教學(xué)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，教師可采用范希爾理論，通過分層設(shè)計來提高學(xué)生的理解能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

范希爾理論概述

范希爾夫婦研究指出，教材和教學(xué)難度常超出學(xué)生幾何思維水平，造成學(xué)習(xí)困難，影響興趣和信心，降低學(xué)習(xí)效率，難以實現(xiàn)預(yù)期教學(xué)效果. 范希爾夫婦總結(jié)出幾何思維的5個水平和5個階段. 5個水平從0級到4級分別為直觀感受、分析、抽象或關(guān)聯(lián)、形式演繹、嚴(yán)密性，與之對應(yīng)的5個階段分別為學(xué)前咨詢、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合. 范希爾理論符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，具有次序性、進(jìn)階性、語言性、適配性等特點，合理運用有利于提高教學(xué)效率和學(xué)習(xí)品質(zhì).

范希爾理論在教學(xué)中的應(yīng)用

在傳統(tǒng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，通常是以教師為主導(dǎo)，直接呈現(xiàn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程. 學(xué)生雖然能獲得結(jié)果，但缺乏深入探究，導(dǎo)致理解困難，難以將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探討方法應(yīng)用到橢圓、雙曲線和拋物線方程的探究中. 基于此，本課以范希爾理論為基礎(chǔ)，分層次探討圓的概念，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解，從形狀到數(shù)量，揭示認(rèn)識事物的一般性規(guī)律. 以范希爾理論為指導(dǎo)，筆者認(rèn)為掌握圓需要經(jīng)歷以下5個層次.

1. 初步感知圓

該層次主要是讓學(xué)生從直觀感知出發(fā)，從直觀形狀上認(rèn)識圓，能通過整體輪廓辨認(rèn)圓. 在該層次教學(xué)中，教師要從生活實際出發(fā)，讓學(xué)生從生活中去感知圓，提高學(xué)生研究圓的興趣.

案例1 從生活中感知圓.

方案1：讓學(xué)生列舉生活中的圓.

方案2：出示硬幣、車輪等圖片，讓學(xué)生尋找圓.

方案3：播放一些簡單視頻，如摩天輪、風(fēng)車等.

設(shè)計意圖 對于圓，學(xué)生都不陌生，它在生活中隨處可見，而且在小學(xué)和初中重點學(xué)習(xí)過，所以高中生清晰理解“圓”的概念，可以輕松列舉生活中的圓. 對于方案2和方案3，從靜、動兩方面讓學(xué)生直觀感知圓的大小、位置和狀態(tài)，為接下來畫圓做好準(zhǔn)備.

2. 對圓概念的初步認(rèn)識

該層次對應(yīng)的是范希爾理論的分析水平.qq7xlDK3XpQEp/sES6RTng== 該層次旨在讓學(xué)生理解圓的基本要素和特征，學(xué)會畫圓，并能用自己的話描述它，為后續(xù)抽象圓的概念和推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程打基礎(chǔ).

案例2 探究如何畫圓.

師：對于圓，大家都不陌生，誰來說一說如何畫圓？

在教學(xué)中，教師預(yù)留時間讓學(xué)生動手畫、動嘴說. 從教學(xué)反饋來看，大多學(xué)生都是用圓規(guī)畫圓. 教師啟發(fā)學(xué)生思考：如果沒有圓規(guī)，你想如何畫圓呢？問題提出后，學(xué)生積極思考并提出多種畫法，教師總結(jié)得到以下方案.

（1）用硬幣或瓶蓋等圓形物品畫圓；

（2）用兩支筆和圓規(guī)畫圓；

（3）借助有圓孔的尺子畫圓；

（4）利用畫圖軟件畫圓.

師：大家都非常棒，想到了這么多的解決方案，如果給你一根線，你能畫圓嗎？

教師指導(dǎo)學(xué)生分組合作完成任務(wù)，并隨機(jī)指定學(xué)生分享其繪制過程.

生1：用一根線可以畫圓：先將線的一端固定，再將線的另一端綁上筆，然后將線拉直繞一圈即可畫出圓.

設(shè)計意圖 教師鼓勵學(xué)生用多種方法畫圓，充分調(diào)動學(xué)生的多種感官，逐步建構(gòu)圓的概念. 在教學(xué)中，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生用線畫圓，為后面抽象圓的概念做鋪墊.

3. 對圓概念的抽象認(rèn)識

學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的構(gòu)成要素，并能靈活應(yīng)用各種工具畫圓. 接下來，此層次引導(dǎo)學(xué)生抽象關(guān)聯(lián)，建立形數(shù)聯(lián)系，運用數(shù)量關(guān)系判斷圖形是否為圓.

案例3 抽象圓的概念.

師：用線作圖，你能得到哪些圖形？

生2：圓、扇形.

生3：線段.

師：對線有要求嗎？能否有彈性呢？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生利用有彈性的線畫圓.

生4：線不能有彈性，有彈性會變形，這樣畫出來的圖形就不是圓了.

師：很好，結(jié)合以上操作說一說，畫圓的過程中哪些量是固定的.

生5：圓心的位置和半徑的長度.

師：結(jié)合上面結(jié)論說一說，圓是什么樣的點的軌跡呢？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生歸納總結(jié)，并在關(guān)鍵處進(jìn)行指導(dǎo)，以此加深學(xué)生對“平面內(nèi)”“定點”“定長”等關(guān)鍵詞的理解，使學(xué)生能夠用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述圓的定義.

設(shè)計意圖 教師讓學(xué)生通過動手做，直觀感知圓心和半徑是固定的，以此為圓的概念的抽象打下堅實基礎(chǔ). 在教學(xué)中，教師預(yù)留時間讓學(xué)生去歸納總結(jié)，并適時地進(jìn)行指導(dǎo)，以此深化學(xué)生的理解.

4. 對圓概念的全面把握

經(jīng)過前面的逐層探究，學(xué)生對圓的概念已經(jīng)形成了深刻認(rèn)識. 該層次旨在讓學(xué)生通過演繹推理來證明猜想，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

案例4 推理圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題1：嘗試用集合語言描述圓.

師生活動：設(shè)M為圓上任意一點，點C為圓心，r為半徑，于是得到圓上的點的集合為｛M

MC

=r｝.

問題2：結(jié)合已有經(jīng)驗說一說，研究解析幾何的基本思想方法是什么？

學(xué)生通過回顧、思考，結(jié)合研究直線方程的經(jīng)驗指出，研究解析幾何的基本思想方法為數(shù)形結(jié)合.

問題3：如何建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

在逐層問題的引導(dǎo)下，學(xué)生歸納總結(jié)研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟，即“建系→設(shè)點→找等量關(guān)系→代入坐標(biāo)→化簡”. 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，b），圓上任意一點M的坐標(biāo)為（x，y），則=r，兩邊平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2. 這樣通過層層鋪墊，運用數(shù)形結(jié)合思想方法順利得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題4：若圓心正好為坐標(biāo)軸的原點（0，0），此時半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？若r=0，此時得到的是什么圖形？

學(xué)生獨立思考發(fā)現(xiàn)，若圓心為原點（0，0），則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2；若半徑r=0，則圖形為一點.

問題5：圓心決定什么？半徑?jīng)Q定什么？

學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗很容易得到：圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

設(shè)計意圖 從圓的集合定義入手，運用數(shù)形結(jié)合思想方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 在整個過程中，教師基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)問題，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下思考研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟，從而為后續(xù)研究橢圓、雙曲線等提供思路.

5. 對圓概念的形式化認(rèn)識

該層次旨在讓學(xué)生利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單問題，以此深化對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，并進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等在解決問題中的重要性，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例5 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.

問題1：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)及半徑.

（1）（x-2）2+（y+4）2=4；

（2）（x+1）2+y2=r2；

（3）x2+（y-3）2=8.

問題2：根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）圓心的坐標(biāo)為（1，-3），半徑為2；

（2）設(shè)點A（2，3），B（4，1），以線段AB為直徑.

問題3：現(xiàn)有一輛寬2.7米、高3米的貨車想從半徑為4米的半圓形橋洞通過，它能否正常通行？

設(shè)計意圖 借助典型練習(xí)進(jìn)一步加深學(xué)生對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，提高學(xué)生解決實際問題的能力.

理解知識需要過程，教師應(yīng)設(shè)計全面的教學(xué)計劃，關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象，深入理解知識，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，教師應(yīng)深入研究教材和學(xué)生，明確知識結(jié)構(gòu)，根據(jù)學(xué)生的實際情況設(shè)計教學(xué)活動，促進(jìn)每位學(xué)生成長，提高教學(xué)效果.