［摘 要］ 研究者以“兩角差的余弦公式”教學為例，分別從“返璞歸真，互動引入”“逐步完善公式證明”“向量法證明公式”等方面展開分析，旨在使課堂預設更加靈活，突出動態(tài)生成與精心設計.

［關鍵詞］ 預設；動態(tài)生成；教學

布魯姆認為：如果所有結果都能預料到，那么教育就不能稱為一門藝術了. 確實，每一個學生都是獨立個體，擁有獨特的想象力與創(chuàng)造力，而且課堂具有一定的多變性特征，因此不論多么精心的預設都有可能出現(xiàn)“意外”. 教師應打破“照本宣科”“照章辦事”的理念，在精心預設的基礎上，靈活應對課堂變化，想方設法讓課堂動態(tài)生成. 本文以“兩角差的余弦公式”教學為例，探討使課堂動態(tài)生成的基本方式.

教學實錄

1. 返璞歸真，互動引入

課堂是師生、生生間交互的場所，教師是課堂的“導演”而非“主演”，學生才是“主角”. 從教學目標視角來看，課堂具有現(xiàn)場性和動態(tài)性，學習氛圍、條件與狀態(tài)等都有可能發(fā)生變化. 因此，教師在設定教學目標時，需要將這些彈性因素考慮進去. 此外，課堂環(huán)境相對封閉，故教師應結合學生的最近發(fā)展區(qū)適當?shù)厣殿A設目標，為高價值目標的生成提供充足空間.

當教學遇見意外情況時，若教師堅持預設思路，則難引學生共鳴，只有順應學生思維靈活應對，才能讓課堂真正生成.

問題1 你們覺得如何用正弦值和余弦值來表示cos（α-β）？

生1：我認為可以先猜想結論，再證明結論.

師：這個想法不錯，那先從簡要結論出發(fā)進行推測吧. cos（α-β）是否等于cosα-cosβ呢？

生2：借助特殊值進行檢驗，當α，β的值分別為和0時，發(fā)現(xiàn)cos（α-β）≠cosα-cosβ，因此該結論不成立.

生3：觀察其結構，α-β的余弦cos（α-β）就是一個整體，因此任意角的余弦值不能簡單應用乘法分配律進行處理.

師：很不錯，兩位同學分別從特殊角度和一般角度分析了問題，否認了這種猜想. 之前我們接觸過三角函數(shù)的誘導公式，現(xiàn)在我們就一起從特殊角著手進行分析，看看cos（α-β）究竟等于什么. 先來研究角α取π，2π，0，，時cos（α-β）的情況.

學生以小組合作的方式積極互動、交流，得到如下結論：①當角α取π，2π，0時，cos（α-β）=cosαcosβ；②當角α取，時，cos（α-β）=sinαsinβ.

師：從你們的研究中，我看到了智慧的火花，關于cos（α-β）的結論，能否統(tǒng)一表示？

生4：鑒于上述兩個結論在給定條件下不能相互轉換，是不是說明cos（α-β）所表達的式子并非單項式，而是與sinαsinβ和cosαcosβ都有所聯(lián)系？

生5：由于sinkπ=cos

kπ+

=0（k∈Z），故猜想cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ.

問題2 有道理，該怎樣驗證這個猜想呢？

生5：同樣取幾個特殊值試一試就知道了.

至此，兩角差的余弦公式在師生積極互動與交流中自動生成. 當教師準備結束這個話題時，有學生舉手，表示自己有新的想法.

生6：結合上述分析可知，cos（α-β）的表示式與sinαsinβ和cosαcosβ都相關，猜想cos（α-β）可表示為xcosαcosβ+ysinαsinβ+zf（α，β）（x，y，z為待定常數(shù)），f（α，β）是關于角α，β的一個函數(shù).

師：這個想法比較全面深刻，是否準確呢？

學生自主驗證，獲得x=y=1的結論，并經討論認為zf（α，β）的值為0.

2. 逐步完善公式證明

在證明兩角差的余弦公式時，預設方法如下：①從三角函數(shù)線的角度分析，在銳角范圍下明確公式成立后，直接推廣至任意角. ②利用向量進行證明. ③利用兩點間的距離，構造全等三角形進行證明.

師：如果我們想把猜想轉變成真理，那么實踐檢驗是關鍵. 每一條猜想，都需要通過證明才能歸納成定理或公式. 當α，β，α-β都是銳角時，公式cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ是成立的. 想要明確此公式對于任意角是否也成立，需要進一步推廣驗證.

問題3 現(xiàn)在我們把α，β推廣至任意角. 如圖1所示，以x軸非負半軸為始邊逆時針旋轉作任意角α，其終邊與單位圓相交于點Q；以OQ為始邊順時針旋轉作任意角β，其終邊與單位圓相交于點P. 過點P作PM垂直x軸于M，作PA垂直O(jiān)Q于A，過點A作AB垂直x軸于B. 如何使用角α，β的三角函數(shù)線來表示角α-β的余弦線OM呢？

話音剛落，學生們紛紛露出恍然大悟的表情：cos（α-β）=MO=BO+BM=BO+PC=AOcosα+APsinα=sinαsinβ+cosαcosβ.

從本質上來說，課堂教學就是互動與合作的過程，隨著思維、知識與價值取向的碰撞，課堂變得更加靈動、智慧. 教師切忌一成不變地按照預設實施教學，而應結合學生在課堂中的真實反饋及時調整教學策略，讓課堂在交互與資源共享中有機生成.

3. 向量法證明公式

從動態(tài)生成的角度來看，教師在實施教學活動前要“理解教學”，對整體的教學布局有一個理性、清晰的認識，設置彈性化的課堂預設. 在實際教學中，教師在課堂上應留有較大的自由度與包容度，做好“教學指導”與“信息重組”的工作.

高中數(shù)學課堂的內容多、信息量大，如果沒有跟上教學思路很可能忽略很多東西. 教師一定要手腦耳并用，科學合理運用信息，達成預設目標. 學生對數(shù)學知識的理解，反映的主要是思維結果，而非原始發(fā)現(xiàn)者的認知過程. 復歸學生思維，有助于學生完善知識結構.

師：通過以上推導，我們都能感受到，利用三角函數(shù)線證明兩角差的余弦公式并不容易. 我們觀察一下兩角差的余弦公式左、右兩邊的結構，探尋它們之間存在怎樣的相似點. 可否構造向量來證明？同時分析你的證明對任意角是否成立？

生7：可以構造向量進行證明.

生8：任意角α，β的終邊與單位圓的交點坐標為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），由此可得向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）. 因為終邊OA，OB的夾角θ=2kπ±（α-β），k∈Z，根據(jù)向量的數(shù)量積公式可得cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ. 結合誘導公式化簡，得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，其中α，β是任意角.

師：很好，不論采用何種方法，均蘊含一種什么數(shù)學思想？

生9：轉化與化歸思想.

師：不錯，轉化思想是一種重要的數(shù)學思想方法，后續(xù)遇到一些新問題時，可從轉化的角度來分析，這對提升解題能力具有重要意義.

4. 公式的應用

學以致用是教學的關鍵環(huán)節(jié)，通過預設來完成教學目標，首先需要充分了解學情，借助一定的教學手段激疑啟思，這是調控課堂，促進課堂生成的基本前提. 實踐告訴我們，在知識應用階段，不能單純地依靠模仿，而應遵循教學規(guī)律選擇一些合適的例題進行引導.

例題 如果cos（α-β）=，則（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2的值是多少？

學生一見到問題就提出：可逆向應用兩角差的余弦公式，即展開待求式子，將sinαsinβ+cosαcosβ視為一個整體，可得答案為.

解決例題的過程實則為促進學生生長知識的過程，這對提升學生學習的主體意識、積極性和創(chuàng)造性具有重大意義. 教師在預設時認為，學生在解決此題時可能出現(xiàn)一些障礙，因此設置了兩道變式題，以降低問題難度，提升學生的理解力. 但實踐證明，該預設是多余的，學生在解決此題時表現(xiàn)出了較好的狀態(tài). 為了進一步夯實學生的知識基礎，發(fā)展學生的應用能力，教師與學生又互動如下：

師：請大家充分發(fā)揮自己的想象，說一說（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2與cos（α-β）可能存在怎樣的關系.

生10：或許跟兩點間的距離公式有關.

師：能否用兩點間的距離公式對兩角差的余弦公式進行證明呢？

生11：如圖2所示，在平面直角坐標系內，作單位圓和角α，β，角α，β的始邊都是Ox，終邊則分別與單位圓相交于點Q（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），則PQ2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.

師：若想獲得cos（α-β）的表達式，則需探尋到與弦PQ等長的弦.

生12：將角α的終邊OQ反向旋轉β至OQ的位置，那么射線OQ就是角α-β的終邊.同時∠QOP=∠QOP，則△QOP≌△QOP，因此

Q

P=QP.

教師充分肯定了學生的剖析過程，并要求學生順應這個思路完成后面的學習任務.

教學思考

1. 學生始終占有主體性地位

課堂是師生積極互動的主陣地，任何預設與生成都要在“以生為本”的基礎上進行. 課堂的“主角”一直是學生，教師的主要任務就是想方設法啟發(fā)學生思維，讓學生自主嘗試從多維度發(fā)現(xiàn)并研究問題，這是激發(fā)學生學習主觀能動性的基礎，也是增強知識縱橫聯(lián)系的關鍵，對培養(yǎng)學生的參與意識有重要影響.

本節(jié)課，教學過程由教師引導，學生獨立思考與合作交流，親歷“兩角差的余弦公式”的形成與發(fā)展. 由于新知建構由學生主動完成，因此記憶更加深刻，尤其體現(xiàn)在公式證明與應用方面. 由此也能看出，將學生視為課堂主人，鼓勵學生積極主動地參與課堂活動，可有效激發(fā)學生的智慧，為完善認知架構，發(fā)展數(shù)學能力創(chuàng)造基礎.

2. 處理好預設與動態(tài)生成的關系

高質量的課堂都是開放性的課堂，靜態(tài)預設是動態(tài)生成的前提與保障. 教學中難以預料所有狀況，精心預設也無法完全把控. 教學推進更多取決于學生在課堂中的參與程度與教師處理突發(fā)事件的策略. 教師需妥善處理預設與生成的關系，以應對突發(fā)情況，避免慌亂. 程式化教學不利于課堂動態(tài)生成.

縱觀本節(jié)課教學，邏輯清晰、層次分明，學生在一個個精心預設的問題下，激發(fā)潛能，不僅自主夯實了知識基礎，還有效發(fā)展了“四能”，促進學力的發(fā)展. 但在教學的第四個環(huán)節(jié)“公式的應用”，教師預設與學生實際認知出現(xiàn)了偏差，教師因為低估學力，所設計的問題比較簡單，致使學生毫無挑戰(zhàn)性. 面對這一現(xiàn)狀，教師根據(jù)學情及時調整教學方案，有效避免無效教學現(xiàn)象. 這種在課堂上靈活應對的教學手法，不僅展現(xiàn)教師深厚的教學功底和卓越的職業(yè)素養(yǎng)，還凸顯處理好預設與生成關系的重要性.

3. 高質量的預設促進動態(tài)生成

課堂動態(tài)生成并不是否定預設，而是挑戰(zhàn)預設，智慧生成源于高質量預設. 如本節(jié)課，教師對推導兩角差的余弦公式精心預設了三種方法，結合學情和教情將這三種方法整合在一起，促進課堂的動態(tài)生成，取得了較好的成效. 此環(huán)節(jié)成功源于課前精心預設，準備充分，整合應用時才能游刃有余.

總的來說，正如建構主義理論所闡述的那樣：學生所掌握的知識并非完全依賴于教師的直接傳授，實際上，他們通過自己的生活經驗主動構建了許多知識. 因此，教師不能僅僅從自己的主觀角度出發(fā)，去替代學生的真實思維過程. 這句話深刻地提醒我們，學生的認知經驗對學習具有重要影響. 因此，教師在精心策劃和設計課堂教學活動時，必須客觀分析學生的學習情況和教學的實際情況，根據(jù)教學目標和學生需求來設計相應的教學活動. 這樣的做法是促使課堂上知識動態(tài)生成和學生思維活躍的關鍵所在.