［摘 要］ 為選拔數(shù)學(xué)人才，傳統(tǒng)的以傳授知識為主的大量解題教學(xué)方法已不再適用. 基于此，研究者選取人教版A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊教材的“概率”單元作為研究對象，旨在尋求在有限的課堂教學(xué)時段內(nèi)，達(dá)到新知探究與問題練習(xí)之間的平衡，探索教學(xué)方法的優(yōu)化策略，以實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的措施.

［關(guān)鍵詞］ 概率教學(xué)；平衡“探”“練”；課堂優(yōu)化；核心素養(yǎng)

當(dāng)前，在浙江省高考數(shù)學(xué)回歸教育部統(tǒng)一命題的宏觀背景下，課堂教學(xué)方式需要重構(gòu). 新高考強(qiáng)調(diào)反套路刷題，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》就命題原則也明確指出：命題注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系，淡化解題技巧，要充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用. 因此，傳統(tǒng)的“滿堂練”教學(xué)模式已不再適用，機(jī)械練習(xí)會降低學(xué)生的求知欲望和內(nèi)在需求.新興教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動探究和學(xué)習(xí)，但需教師宏觀調(diào)控，確保課堂平衡“探”“練”. 布魯納，結(jié)構(gòu)主義教學(xué)理論的創(chuàng)始人，提出了一個主要的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)——“結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)”：課堂教學(xué)要“根據(jù)最好的方法”組織教材，科學(xué)安排教學(xué)程序，優(yōu)化課堂教學(xué)過程. 因此，課堂作為師生交流的“主場地”，需要教師潛心研究與精心設(shè)計.

平衡“探”“練”的理論依據(jù)

“探”與“練”是課堂最主要的兩大環(huán)節(jié)，“探”是新知探究，“練”是新知應(yīng)用. “探”與“練”是有機(jī)統(tǒng)一體，“探”是“練”的前提，“練”是“探”的延伸與保障［1］. 沒有“探”，學(xué)生不知其所以然；沒有“練”，學(xué)生無法獲得解題能力，再多的“探”也是無用功，二者缺一不可. 一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，應(yīng)根據(jù)不同內(nèi)容，合理、有序地安排“探”與“練”，追求平衡，力求恰到好處. 筆者認(rèn)為，“探”“練”平衡體現(xiàn)在兩點(diǎn).

1. 時間上合理分配

有關(guān)研究表明，中學(xué)生課堂注意力高度集中的時間約為10～15分鐘. 因此，教師應(yīng)減少與教學(xué)活動無關(guān)的時間消耗，重點(diǎn)安排“探”與“練”兩種實(shí)用時間的比例. 這種分配并非平均化，而應(yīng)有所側(cè)重，即依據(jù)核心教學(xué)內(nèi)容來決定是重視“探”還是“練”，以確保課堂結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化和課堂效益的最大化. 譬如探究活動不宜過長，以免分散學(xué)生的注意力，減少練習(xí)時間，影響對新知的掌握和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 因此，教師應(yīng)有效設(shè)計探究活動和課堂練習(xí)，確保兩者在課堂中的平衡.

2. 形式上協(xié)調(diào)互補(bǔ)

中學(xué)生具有好奇心強(qiáng)、喜歡新鮮感的特點(diǎn)，一成不變的教學(xué)形式不利于學(xué)生接收新知. 因此，教師解析教學(xué)內(nèi)容后，應(yīng)靈活選擇探究方式（如情境、實(shí)操、類比、信息輔助等），以配合相應(yīng)練習(xí). 例如，實(shí)操探究后，教師板演、學(xué)生口答練習(xí)；理論探究后，小組討論、學(xué)生板書練習(xí). 互補(bǔ)的“探”“練”形式動靜結(jié)合，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，活躍課堂.

“探”“練”平衡下的“概率”教學(xué)優(yōu)化策略

縱觀“概率”單元，可圍繞以下幾個問題展開：概率的研究對象是誰？研究的概念是怎么抽象出來的？研究的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的？概率是如何應(yīng)用于生活的？要回答上述問題，加深學(xué)生對概率的理解，需基于他們的描述性認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)設(shè)計多樣化的探究活動，并通過各種練習(xí)促進(jìn)他們在實(shí)踐中應(yīng)用概率知識. 針對本單元中不同的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)呈現(xiàn)不同的“探”“練”方式. 因此，筆者以本單元兩個課型為例闡述如何平衡“探”“練”.

1. 重探概念析出過程，啟迪練習(xí)實(shí)用

在教授“有限樣本空間與隨機(jī)事件”時，重點(diǎn)是講解“隨機(jī)事件”這一核心概念. 作為單元起始課，若未能深入理解核心概念，將對后續(xù)概率的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不利影響. 盡管在初中階段已經(jīng)對相關(guān)概念進(jìn)行了描述性定義，但高中階段則更注重運(yùn)用數(shù)學(xué)語言對這些定義進(jìn)行精確刻畫. 這對學(xué)生而言是一個全新的領(lǐng)域. 因此，本節(jié)課需要投入充足的時間，通過情境探究來引導(dǎo)學(xué)生分析和理解這些概念.

首先，教師展示多種類、多維度的隨機(jī)現(xiàn)象，以便學(xué)生參與列舉. 例如游戲中的隨機(jī)現(xiàn)象：飛行棋游戲中擲骰子、撲克牌游戲中任意抽牌等；生活中的隨機(jī)現(xiàn)象：刮刮樂的中獎情況、抽簽點(diǎn)名、胎兒性別等；實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)現(xiàn)象：理財產(chǎn)品每日的收益情況、小紅書平臺上各類目視頻的分發(fā)狀況等［2］. 使學(xué)生深刻理解隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，并總結(jié)這些隨機(jī)現(xiàn)象的共性：所有潛在的結(jié)果均可能被明確地識別出來，然而，事先無法預(yù)測哪一個結(jié)果將會出現(xiàn). 然后，教師提出疑問：你是否能夠記錄這些潛在的結(jié)果？學(xué)生回應(yīng)：能夠記錄，但部分記錄較為煩瑣，例如記錄全班同學(xué)的姓名. 教師進(jìn)一步指導(dǎo)：若不記錄姓名，我們可用何物來指代他們？于是學(xué)生自然而然地想到了“學(xué)號”. 經(jīng)歷此過程，學(xué)生將認(rèn)識到使用數(shù)字或符號代替文字描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果更加簡潔明了. 此時，教師可組織學(xué)生進(jìn)行分組合作，并鼓勵他們展示研究成果.（為了便于展示，可以參考構(gòu)建表1所示的表格.）

上述情境引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)語言，教師適時引出樣本點(diǎn)、樣本空間的概念及二者間的關(guān)系，并讓學(xué)生用集合語言來描述隨機(jī)現(xiàn)象. 過后繼續(xù)設(shè)定如下情境：投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù). 這一隨機(jī)事件的可能性結(jié)果構(gòu)成一個包含三個樣本點(diǎn)的集合｛2，4，6｝. 該集合與樣本空間的關(guān)系是什么？學(xué)生回答：該集合是樣本空間的一個子集，稱為隨機(jī)事件. 至此，“隨機(jī)事件”這一核心概念得以明確.

由此可見，欲使學(xué)生理解概念，必須進(jìn)行充分的準(zhǔn)備和投入相應(yīng)的課堂時間，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入探究.探究過程旨在引導(dǎo)學(xué)生用集合語言構(gòu)建樣本空間，表達(dá)隨機(jī)事件，并理解符號化的重要性，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力. 因此，“探”的后續(xù)工作應(yīng)致力于構(gòu)建情境化習(xí)題，以鞏固“探”的成果. 具體形式為學(xué)生獨(dú)立完成習(xí)題并口頭回答，教師負(fù)責(zé)板書答案. 如下：

練習(xí)1：飛行棋是同學(xué)們喜歡的游戲，規(guī)則為“兩人依次擲骰子，擲到數(shù)字幾就向前進(jìn)幾步，誰先到達(dá)終點(diǎn)即獲勝”. 現(xiàn)在甲、乙依次擲一枚骰子一次，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示甲擲到的點(diǎn)數(shù)，y表示乙擲到的點(diǎn)數(shù).

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）指出事件A=｛（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）｝的含義；

（3）表示事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”.

練習(xí)2：由P，Q，R三個開關(guān)（P，Q串聯(lián)，與R并聯(lián)）組成電路，每個開關(guān)可能開，也可能關(guān). 把這個電路是否為通路看成一個隨機(jī)現(xiàn)象，觀察每個開關(guān)的閉合情況.

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：A=“恰好一個開關(guān)閉合”；B=“電路是斷路”；C=“電路是通路”.

“探”是讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，“練”是讓學(xué)生鞏固實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，兩者目標(biāo)相同，但“探”過程耗時較多，因此設(shè)計了兩道練習(xí)題，重點(diǎn)均已涵蓋，包括對樣本空間的構(gòu)建、集合語言與事件含義的轉(zhuǎn)換、樣本點(diǎn)的多維化考察，并與物理學(xué)科巧妙結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)高效的微“練”. 從形式上來看，前一部分的“探”以學(xué)生的動態(tài)參與和表達(dá)為主，而后一部分的“練”則以學(xué)生的靜態(tài)思考為主. 通過重“探”和微“練”，形式上互補(bǔ)，從而實(shí)現(xiàn)課堂平衡.

2. 巧探知識重構(gòu)路徑，強(qiáng)化練習(xí)應(yīng)用

在講授“概率的基本性質(zhì)”時，重點(diǎn)在于性質(zhì)的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 然而，眾多教師在教學(xué)過程中難以兼顧所有，往往簡化并省略了概念的生成過程，削弱了公式間內(nèi)在聯(lián)系的闡述，直接進(jìn)入解題應(yīng)用階段，這導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)試時推理和探究能力的不足［3］. 因此，筆者對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了如下重構(gòu).

首先復(fù)習(xí)概率定義：對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件A的概率用P（A）表示. 然后引導(dǎo)學(xué)生思考：符號P（A）與所學(xué)的哪個符號類似？學(xué)生回答：f（x）. 又繼續(xù)提問：我們能否依據(jù)函數(shù)的定義來重新構(gòu)建概率的定義呢？學(xué)生回應(yīng)：可以嘗試. 于是，學(xué)生參照函數(shù)的定義，撰寫了概率的定義. 教師進(jìn)一步詢問：既然兩者的定義如此相似，那么函數(shù)所具有的性質(zhì)，概率是否也具有呢？為避免不必要耗時，教師可直接展示函數(shù)的相關(guān)特性，并引導(dǎo)學(xué)生通過類比推導(dǎo)出概率的性質(zhì)，然后驗(yàn)證其是否正確.（可參考表2的構(gòu)建方式）

隨后，教師指導(dǎo)學(xué)生通過古典概型實(shí)例，結(jié)合Venn圖面積的特性，探究事件A與B之間的包含、相交、互斥關(guān)系，以及P（A∪B），P（A），P（B），P（AB）之間的關(guān)系.

通過上述類比分析，學(xué)生能夠領(lǐng)悟概率性質(zhì)的根源，并感悟到“函數(shù)”與“概率”這兩種不同數(shù)學(xué)概念之間的和諧統(tǒng)一之美，從而提高邏輯推理能力. 為保證教學(xué)計劃能順利進(jìn)行，“探”環(huán)節(jié)不宜過度深入，應(yīng)適可而止，側(cè)重于學(xué)生自主思考和教師歸納總結(jié). “探”后，教師可安排一系列練習(xí)題，以供學(xué)生鞏固知識.

練習(xí)1：已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P（A）=0.3，P（C）=0.6，則P（A+B）=（ ）

A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8

練習(xí)2：從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取1張.

（1）設(shè)事件A=“抽到黑桃”，事件B=“抽到梅花”，事件C=“抽到黑花色”，求P（C）.

（2）求抽到紅花色的概率.

（3）若隨機(jī)抽取2張，求2張都是黑桃的概率.

練習(xí)3：某公司有3個分廠，職工情況按性別、廠序分類統(tǒng)計成表3.

若從該公司中隨機(jī)選1名職工，求以下概率：P（MC）=____，P（F∪C）=____.

練習(xí)4：從1～20的整數(shù)中隨機(jī)選擇1個數(shù)，求選到的數(shù)既不能被2整除也不能被5整除的概率.

練習(xí)5：某班級50名學(xué)生已經(jīng)完成了選考科目的報名程序. 在這些學(xué)生中，選擇化學(xué)科目的人數(shù)為18人，選擇生物科目的人數(shù)為22人. 從該班級中任意抽取1名學(xué)生，其不選化學(xué)、生物科目的概率為，求抽取1名化學(xué)、生物科目均選的學(xué)生的概率.

為了讓學(xué)生通過“練”獲得解題能力，教師精選上述5道習(xí)題，從淺到深，逐層遞進(jìn)，并給予學(xué)生充足的練習(xí)時間. 練習(xí)1無具體背景，直接應(yīng)用性質(zhì)公式即可解答；練習(xí)2具備實(shí)際情境，需要先分析事件之間的關(guān)系，隨后運(yùn)用相關(guān)公式解答；練習(xí)3在題型上有所創(chuàng)新，旨在考查學(xué)生對圖表的分析能力以及公式的應(yīng)用能力. 后兩道練習(xí)題均要求學(xué)生自行定義若干隨機(jī)事件，并計算這些事件的并集概率. 其中，練習(xí)4可使用古典概型或概率性質(zhì)來解答，讓學(xué)生體驗(yàn)兩種方法的差異，并運(yùn)用逆向思維的補(bǔ)集策略解決問題；練習(xí)5旨在結(jié)合時事熱點(diǎn)和方程思想，深化學(xué)生對概率性質(zhì)的理解. 從形式上來講，前面的“探”以學(xué)生思、問為主，后面的“練”則以學(xué)生論、寫為主. 通過巧“探”重“練”，形式互補(bǔ)，達(dá)成課堂平衡.

結(jié)語

高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)返璞歸真. 在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，一線教師應(yīng)當(dāng)在時間分配和教學(xué)形式上尋求平衡，高效“探”，精選“練”，“探”“練”并進(jìn)，從而優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu). 總之，教師應(yīng)始終遵循以學(xué)生為主體的原則［4］，敢于放手，鼓勵學(xué)生自主探究問題；敢于等待，給予學(xué)生適量的合作實(shí)踐機(jī)會，提高教學(xué)有效性. 教師需深入鉆研教材，重視學(xué)生對知識生成及發(fā)展過程的理解，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握，并確保核心素養(yǎng)的培養(yǎng)得到有效實(shí)施.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 高生軍.高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計概率單元體驗(yàn)式教學(xué)研究［J］. 數(shù)理天地，2023（17）：62-64.

［3］ 黃小冬. 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學(xué)研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（21）：48-50.

［4］ 祖麗敏. 倡導(dǎo)大單元教學(xué)，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（25）：33-35.