［摘 要］ 教學(xué)“平面向量基本定理”時(shí)，教師需要明確教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)情確定教學(xué)策略，制定課堂教學(xué)方案. 通過整體采用“情境設(shè)問、體驗(yàn)探究、過程引導(dǎo)”的教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，深刻理解定理.

［關(guān)鍵詞］ 平面向量；基本定理；教學(xué)探索

數(shù)學(xué)定理在高中數(shù)學(xué)中十分常見，涉及方程、不等式、函數(shù)、圓錐曲線等知識(shí)模塊. 教學(xué)大綱強(qiáng)調(diào)定理教學(xué)，要求教師在教學(xué)中揭示定理的生成與發(fā)展. 對(duì)此，教師可運(yùn)用“知識(shí)探究”模式，設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生自主研究定理生成過程，感悟思想內(nèi)涵. 下面本文解讀“平面向量基本定理”章節(jié)，探索教學(xué)方案.

關(guān)于定理的教學(xué)解讀

“平面向量基本定理”是高中數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，其知識(shí)核心揭示了平面向量間的基本關(guān)系，為后續(xù)向量研究奠定基礎(chǔ)，其中的轉(zhuǎn)化思想是高中學(xué)習(xí)重點(diǎn)，能提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

充分研讀教材內(nèi)容，分析學(xué)情后，可以發(fā)現(xiàn)該知識(shí)板塊有兩大教學(xué)難點(diǎn)：一是雖然學(xué)生之前學(xué)過平面向量的概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積等知識(shí)，但對(duì)向量關(guān)系的理解依然停留在“一維”層面，即只知道簡單的“相等”“相反”“共線”等，對(duì)平面向量基本定理所描述的“二維”層面較陌生；二是平面向量基本定理涉及線性運(yùn)算，其運(yùn)算過程類似于“分解”，其概念相對(duì)抽象，學(xué)生難以理解把握.

針對(duì)上述學(xué)情，教學(xué)中教師需要慎重處理，可采用“情境設(shè)問、體驗(yàn)探究、過程引導(dǎo)”的教學(xué)方式來引導(dǎo)學(xué)生逐步探索. 教師先合理設(shè)計(jì)情境問題，即構(gòu)建與學(xué)生聯(lián)系緊密或?qū)W生較熟悉的問題情境；然后設(shè)計(jì)多樣的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納總結(jié)定理，并在這一過程中充分利用信息技術(shù)的便利優(yōu)勢(shì)呈現(xiàn)分解過程，幫助學(xué)生直觀理解定理.

教學(xué)需要注意兩點(diǎn)，一是合理設(shè)問引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思考，推進(jìn)課堂；二是重視定理發(fā)現(xiàn)與證明，滲透思想方法，有機(jī)結(jié)合核心素養(yǎng).

關(guān)于定理的教學(xué)構(gòu)建

“平面向量基本定理”教學(xué)分為三大環(huán)節(jié)：情境引入、探索生成和運(yùn)用強(qiáng)化.

環(huán)節(jié)1 情境引入，帶來思考.

該環(huán)節(jié)是關(guān)于平面向量基本定理的課堂引入，難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)“二維”知識(shí)較陌生. 教師可用“力的分解”設(shè)計(jì)問題情境引導(dǎo)學(xué)生思考.

教學(xué)預(yù)設(shè)：物理學(xué)中，受力分析是解題的關(guān)鍵，力的分解是核心方法. 分解過程需結(jié)合情境變化. 圖1①中的物體放在光滑的水平面上，圖1②中的物體放在光滑的斜面上，兩個(gè)物體均受到同等拉力F的作用（假設(shè)拉力方向與接觸面不平行）.

思考1：試運(yùn)用物理知識(shí)合理分解拉力，應(yīng)如何作圖？保留作圖過程.

思考2：大家在分解拉力時(shí)使用了怎樣的向量運(yùn)算法則？請(qǐng)加以說明.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生回顧運(yùn)用物理知識(shí)分解力的規(guī)律法則，得出圖2所示的方案. 學(xué)生需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是分解的方向性；二是分解后力的大?。ㄓ瞄L度表示）.

教學(xué)說明：將力的分解引入課堂，貼近學(xué)生生活，助其理解定理實(shí)際背景. 后續(xù)可用類比法，將“力”替換為“向量”. 思考平面內(nèi)兩非零向量是否可在對(duì)應(yīng)平面內(nèi)分解，實(shí)現(xiàn)課堂過渡.

環(huán)節(jié)2 情境探究，生成定理.

該環(huán)節(jié)探究平面向量基本定理的概念生成，建議類比力的分解，引導(dǎo)學(xué)生分解向量，并利用信息技術(shù)展示同一平面內(nèi)向量不同分解方案的過程.

（1）情境探究

教學(xué)預(yù)設(shè)：選取平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量e1，e2，假設(shè)向量a與e1，e2都不共線，試將a按e1，e2的方向分解，如圖3①所示.

活動(dòng)探索：如何按指定方向分解不共線向量？請(qǐng)各小組思考方案.

設(shè)問：若在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=e1，=e2，=a，將a按e1，e2的方向分解，如圖3②所示，你發(fā)現(xiàn)了什么？

教學(xué)引導(dǎo)：先讓學(xué)生分組探究思考，互相交流成果后進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo). 教學(xué)引導(dǎo)分兩步進(jìn)行：

第一步，以向量a為對(duì)角線，根據(jù)e1，e2所在直線作平行四邊形，用平行四邊形法則找到向量a在e1，e2方向上的分向量，如圖4所示.

第二步，根據(jù)共線向量定理，將兩個(gè)分向量分別寫成λe1，λe2的形式，其中λ，λ都是確定且唯一的實(shí)數(shù)，則a=λe1+λe2.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步思考兩個(gè)問題：①當(dāng)a是零向量時(shí)，a還能用a=λe1+λe2表示嗎？②若向量a與e1或e2共線，則a=λe1+λe2還成立嗎？學(xué)生獨(dú)自驗(yàn)證兩種特殊向量表示的可行性，加深知識(shí)理解.

（2）定理生成

完成上述探究后，教師借助信息技術(shù)，直觀展示同一平面內(nèi)任意向量a關(guān)于e1，e2的分解過程，如圖5所示.

思考：對(duì)比力的分解過程和向量的分解過程，可以發(fā)現(xiàn)什么共同特點(diǎn)？

教學(xué)引導(dǎo)：學(xué)生歸納概括共同特點(diǎn)，即給定兩個(gè)“方向”，就能夠分解向量，并且這種分解方式是唯一的，同時(shí)明確為兩個(gè)“不共線的向量”. 在此基礎(chǔ)上給出平面向量基本定理，同時(shí)解釋定理中的三大要點(diǎn)：不共線、存在性、唯一性.

教學(xué)說明：該環(huán)節(jié)包括情境探究和定理生成，兩者結(jié)合實(shí)現(xiàn)定理由實(shí)際向數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化. 整個(gè)過程融合活動(dòng)探究、設(shè)問引導(dǎo)、信息技術(shù)展示，通過敘述和解釋，引導(dǎo)學(xué)生深入思考.

環(huán)節(jié)3 初步應(yīng)用，知識(shí)強(qiáng)化.

前面兩個(gè)環(huán)節(jié)通過實(shí)例和數(shù)形結(jié)合生成平面向量基本定理. 本環(huán)節(jié)指導(dǎo)學(xué)生初步應(yīng)用，強(qiáng)化知識(shí). 問題設(shè)計(jì)應(yīng)難易適中，適度拓展.

問題1：同一平面內(nèi)基底唯一嗎？基底中允許有零向量嗎？

問題2：如圖6所示，AD是三角形ABC的中線，試用，表示；若E是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，試用，表示.

教學(xué)引導(dǎo)：問題1是關(guān)于平面向量基本定理的進(jìn)一步抽象概括，問題2則是關(guān)于平面向量基本定理的初步應(yīng)用，兩個(gè)問題旨在讓學(xué)生明晰平面向量基本定理的本質(zhì)與內(nèi)涵. 對(duì)于問題2，學(xué)生通過幾何解析，結(jié)合平面向量基本定理，可得=+，=+.

問題3：觀察=+與=+中兩基底的系數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？再分別觀察B，C，D，以及B，C，E的位置關(guān)系，你又發(fā)現(xiàn)了什么？試討論并總結(jié)你的發(fā)現(xiàn).

探究：若在直線BC上有一點(diǎn)M，滿足=t（t∈R），試用，表示.

教學(xué)引導(dǎo)：學(xué)生進(jìn)一步探究平面向量基本定理中的共線情形，得到=（1-t）+t，生成三點(diǎn)共線結(jié)論（若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，且滿足=t（t∈R），點(diǎn)P是平面上的任意一點(diǎn)，則=（1-t）+t成立）.

教學(xué)說明：該環(huán)節(jié)深入解讀定理，提供應(yīng)用指導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握. 在教學(xué)中，教師應(yīng)注重定理辨析和思維引導(dǎo)，使學(xué)生明確平面向量基本定理的應(yīng)用性質(zhì). 引出向量共線定理的目的是讓學(xué)生體會(huì)向量共線定理與平面向量基本定理之間的聯(lián)系.

關(guān)于定理教學(xué)的思考

在定理教學(xué)中，教師需要圍繞“理解”開展教學(xué)設(shè)計(jì)，編排課堂環(huán)節(jié)，進(jìn)行理解性探究，關(guān)注學(xué)生的理解能力，引導(dǎo)學(xué)生理解性學(xué)習(xí). 新課標(biāo)要求教師關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，并以學(xué)生為主體開展教學(xué)探究. 在平面向量基本定理的探究中，教師以物理學(xué)對(duì)力的研究作為課堂引入，逐步講解向量分解，結(jié)合圖象探索定理. 整個(gè)過程充分調(diào)用有效資源，幫助學(xué)生理解定理，把握本質(zhì)內(nèi)涵.

定理教學(xué)過程包含三個(gè)環(huán)節(jié)：一是情境創(chuàng)設(shè)，二是定理探究，三是定理應(yīng)用. “定理探究”是核心環(huán)節(jié)，教師需創(chuàng)設(shè)問題情境促進(jìn)師生互動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、總結(jié)定理的過程，理解定理?xiàng)l件與結(jié)論之間的關(guān)系，發(fā)掘定理內(nèi)涵.