數(shù)據(jù)代表的選擇

張唯一

我們知道，一個(gè)原始數(shù)據(jù)的集合包含了該數(shù)據(jù)集合的所有信息.信息的提取依賴于我們對(duì)數(shù)據(jù)的整理加工，僅僅看一看原始數(shù)據(jù)是很難提取其中的信息的.利用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和描述，可以得到數(shù)據(jù)分布的一些面貌和特征.在許多情況下，人們更感興趣的是從一組數(shù)據(jù)中找出一些代表，即將大量的數(shù)據(jù)概括為很少的幾個(gè)有代表性的數(shù)值.例如，考察某地區(qū)水稻產(chǎn)量，通常關(guān)心該地區(qū)的平均畝產(chǎn)量；要想比較同年級(jí)兩個(gè)班學(xué)生身高的情況，將兩個(gè)班學(xué)生一一進(jìn)行比較是比不出什么結(jié)果的，往往是比較兩個(gè)班的平均身高.除了平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)也是統(tǒng)計(jì)中常用的數(shù)據(jù)的代表.作為數(shù)據(jù)的代表這三個(gè)量各有特點(diǎn).

例 1 某小企業(yè)共有員工16人，月工資及相應(yīng)的人數(shù)如表1所示.

（1） 指出企業(yè)月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).

（2） 請(qǐng)問(wèn)：企業(yè)月工資的平均數(shù)能客觀反映該企業(yè)的工資水平嗎？

解：（1）通過(guò)加權(quán)平均數(shù)公式，求得企業(yè)月工資的平均數(shù)為

x==1 400.

從表中還容易找出，企業(yè)月工資的中位數(shù)為800，眾數(shù)為800.

（2）觀察表格中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，企業(yè)所有16個(gè)員工中，有13個(gè)員工的工資是在平均數(shù)以下的，而且大部分都是800元，大大低于平均數(shù)；只有3個(gè)員工的工資高過(guò)平均數(shù).顯然平均數(shù)1 400不能客觀反映該企業(yè)的工資水平.而這里的中位數(shù)或眾數(shù)800，則比平均數(shù)1 400更能客觀反映該企業(yè)的工資水平.

比較該企業(yè)月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它們不盡相同，而且平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)之間的差距還很大.作為同一組數(shù)據(jù)的代表，三個(gè)量之間的差別為什么會(huì)這么大呢？選取數(shù)據(jù)集合的代表時(shí)，我們又該如何在它們中間取舍呢？下面，分別就中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的作用結(jié)合上面例子進(jìn)行分析.

一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)把數(shù)據(jù)分成同等數(shù)目的兩組，一半小于等于這個(gè)數(shù)，而另一半大于等于這個(gè)數(shù).于是將一組數(shù)據(jù)由小到大排列，數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，處于中間位置的數(shù)就是中位數(shù)；數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，則以中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).可見(jiàn)，中位數(shù)不一定是原數(shù)據(jù)，但它很好代表了一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)，而且只要把數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，就很容易找出中位數(shù)，不需要什么計(jì)算.另外，中位數(shù)不受極端值的影響.例如，由于6 000這個(gè)數(shù)據(jù)的存在，很大程度上抬高了平均數(shù)，但是不影響中位數(shù)，甚至把6 000改為60 000，中位數(shù)還是不會(huì)變，仍是800，而這時(shí)的平均數(shù)卻會(huì)變得比原來(lái)大很多.事實(shí)上，確定中位數(shù)時(shí)，僅僅利用了中間值，對(duì)其他數(shù)據(jù)則利用了它們和中間值之間的相對(duì)位置關(guān)系，而沒(méi)有利用它們的具體大小這些信息.因此，僅知道一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)而不給出這組數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法知道這組數(shù)據(jù)中那些比中位數(shù)大（?。┑臄?shù)據(jù)究竟比中位數(shù)大（?。┑绞裁闯潭?例如，如果只告知企業(yè)月工資的中位數(shù)為800，我們就沒(méi)法知道比中位數(shù)大的那些工資跟800的差距有多大，也無(wú)法知道比中位數(shù)小的那些工資跟800的差距有多大.

中位數(shù)不受極端值影響，某些情況下是優(yōu)點(diǎn).上面例子中，中位數(shù)沒(méi)有受極端值6 000的影響，比較客觀地反映了企業(yè)的工資水平.

中位數(shù)不受極端值影響，某些情況下也是一個(gè)缺點(diǎn).比如，稅務(wù)部門調(diào)查、征收個(gè)人所得稅時(shí)，則6 000這一極端值不能被忽略，僅憑中位數(shù)就很難發(fā)覺(jué)極端值的存在.

眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多（或稱最典型）的數(shù)據(jù)，相對(duì)來(lái)說(shuō)是三個(gè)數(shù)據(jù)代表中用得比較少的一個(gè).眾數(shù)一定是數(shù)據(jù)集合中的原數(shù)據(jù)，有時(shí)可能不止一個(gè).找眾數(shù)只需要觀察原數(shù)據(jù)并進(jìn)行計(jì)數(shù)，不需要什么計(jì)算.眾數(shù)反映了數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，因此只能告訴我們這個(gè)值出現(xiàn)的次數(shù)比其他的值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它具體出現(xiàn)了多少次，它比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)多的程度有多大.例如，如果只告知企業(yè)月工資的眾數(shù)是800，我們并不能知道工資是800的人具體有多少，工資是800的人比其他人多多少.和中位數(shù)一樣，眾數(shù)也不受極端值的影響.

平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)相加的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商，是我們最常用的一個(gè)數(shù)據(jù)的代表.平均數(shù)往往不是原數(shù)據(jù)集合中的數(shù)據(jù).平均數(shù)的計(jì)算，利用了原始數(shù)據(jù)集合中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，因此任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化，都會(huì)影響平均數(shù)，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具有這個(gè)性質(zhì).因此，和中位數(shù)、眾數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多關(guān)于數(shù)據(jù)集合的信息.也正因?yàn)槿绱?，平均?shù)容易受極端值的影響.這在某種情況下是優(yōu)點(diǎn)，在某種情況下則是缺點(diǎn)，上面例子就是一個(gè)很好的佐證.

從上面對(duì)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的分析可以看出，它們作為數(shù)據(jù)的代表各有優(yōu)缺點(diǎn).要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)及實(shí)際問(wèn)題選取合適的數(shù)據(jù)代表.一般地，如果數(shù)據(jù)中有極端值時(shí)，最好不要使用平均數(shù)；當(dāng)小的數(shù)據(jù)與大的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)大致相同時(shí)，則用平均數(shù)作為代表比較合適.如果小的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)明顯比大的數(shù)據(jù)多，或者大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)明顯比小的數(shù)據(jù)多，我們最好用中位數(shù)作為代表.有時(shí)，為了決定對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)集合是使用平均數(shù)還是中位數(shù)，最好兩者都算出來(lái).如果它們的值很接近，則我們使用平均數(shù)；如果它們有很大的不同，則我們使用中位數(shù).

另外，我們還可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)據(jù)的概括會(huì)使得數(shù)據(jù)高度簡(jiǎn)單化.但同時(shí)，任何簡(jiǎn)化都意味著某些信息的丟失.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。