丁　麗

本文現(xiàn)將張角定理及其在線段相等證明中的應(yīng)用介紹如下，供參考.

一、張角定理

如圖1，設(shè)直線AB上有一點(diǎn)C，在直線AB外有一點(diǎn)P，且視點(diǎn)P對(duì)于線段AC，CB的張角分別為α，β，若α+β<180°，則=+.

證：△PAB＝△PAC+△PCB，

∴PA·PB·sin（α+β）

＝PA·PC·sinα+PC·PB·sinβ兩邊同除以

PA·PB·PC，即得所證.

二、應(yīng)用舉例

例1在線段AC上任取一點(diǎn)B，分別以AB，BC為邊，在AC的同側(cè)，作等邊△ABD，△BCE；連AE，交DB于M；連DC，交EB于N.

求證：BM＝BN.

證：如圖2，以B為視點(diǎn)，分別對(duì)A，M，E及D，N，C用張角定理，得=+，=+，而BA＝BD，BE＝BC，∴BM＝BN.

例2 已知四邊形MCND兩組對(duì)邊延長(zhǎng)所得交點(diǎn)的連線AB與四邊形的一條對(duì)角線CD平行，又MN的延長(zhǎng)線交AB于F.

求證：AF=FB.

證：如圖3，設(shè)∠MAC=α，∠CAB=β，以A為視點(diǎn)，分別對(duì)B，N，D；B，C，M及F，N，M用張角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+，（3）

在△ACD中，= . （4）

∴（1）+（2）-（3）-（4），得=，

∴AB=2AF，故AF=FB，.

例3 如圖4，以⊙O的直徑AB為一邊作等邊△ABC，同時(shí)將另一側(cè)的半圓三等分，其分點(diǎn)為M，N，連結(jié)CM，CN交AB于D，E.

求證：AD=DE=EB.

證：連結(jié)AM，OM，則以A為視點(diǎn)，對(duì)C，D，M用張角定理，得

=+，

∴AD=.

設(shè)⊙O的半徑為R，則

AD==R.

由圖形的對(duì)稱性知：BE=R.

∴DE=2R-R-R==AD=EB.

例4 已知M是⊙O的弦AB的中點(diǎn)，過M任作兩弦CD，EF，連結(jié)CF，DE分別交AB于G，H. 求證：MH=MG（蝴蝶定理）.

證：如圖5，設(shè)∠GMF=α，∠HMD=β，

以M為視點(diǎn)，對(duì)E，H，D及F，G，C分別用張角定理，得

=+， （1）

=+.（2）

∴（1）－（2），得

sin（α+β）（-），

=（MF-ME）-（MD-MC）. （3）

設(shè)P，Q分別是CD，EF的中點(diǎn)，則

MD-MC=2MP=2MOsinβ，

MF-ME=2MQ=2MOsinα，（4）

∵M(jìn)E·MF=MC·MD，

∴將（4）代入（3），得

sin（α+β）（-）=0，

∵α+β≠180°，∴sin（α+β）≠0，

∴MH=MG.

例5 在“箏形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，過AC，BD的交點(diǎn)O任作兩條直線，分別交AD于E，BC于F，AB于G，CD于H. GF，EH分別交BD于I，J.

求證： OI=OJ.

證：如圖6，易知AC⊥BD，設(shè)∠EOD=α，∠DOH=β. 以O(shè)為視點(diǎn)，分別對(duì)G，I，F(xiàn)；E，J，H；A，G，B；A，E，D；C，H，D和B，F(xiàn)，C用張角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+， （3）

=+， （4）

=+， （5）

=+， （6）

將（3）和（6）中OG與OF的表達(dá)式同時(shí)代入（1），得

=（OA·OBsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OB·OCsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（7）

將（4）和（5）中OE與OH的表達(dá)式同時(shí)代入（2），得

=（OC·ODsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OA·ODsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（8）

因?yàn)镺B=OD，所以由（7）和（8）即得OI=OJ.

綜上所述可知，應(yīng)用張角定理證明線段相等時(shí)，關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)，尋找與結(jié)論有關(guān)的線段所在的三角形，找準(zhǔn)視點(diǎn)，利用張角定理寫出關(guān)系式，再結(jié)合三角知識(shí)，通過變形化簡(jiǎn)，消去無用的參變數(shù)即可.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。