呂雪芹

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、 函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)對稱的充要條件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

證明：（必要性）設(shè)點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關(guān)于點A (a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點P(x₀,y₀)是y = f (x)圖像上任一點，則y₀ = f (x₀)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x₀) + f (2a－x₀) =2b，即2b－y₀ = f (2a－x₀) 。

故點P‘（2a－x₀，2b－y₀）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A (a ,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)（證明留給讀者）

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。

二、 不同函數(shù)對稱性的探究

定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)成中心對稱。

定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。

②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。

③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點P(x₀ ,y₀)是y = f (x)圖像上任一點，則y₀ = f (x₀)。記點P( x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x₁， y₁），則x₁ = a + y₀ , y₁ = x₀－a ，∴x₀ = a + y₁ , y₀= x₁－a 代入y₀ = f (x₀)之中得x₁－a = f (a + y₁) ∴點P‘（x₁， y₁）在函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上任一點關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。

三、 三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y = tan x的所有對稱中心坐標(biāo)是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。

四、 函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 第二試題）

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。

故選(A)

例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g^-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g^-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，

∴y = g^-1(x－2) 反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g^-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時，

f (x) = －1/2x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

（江西省瑞昌市一中）