段素芬

培根有一句名言“知識(shí)就是力量”. 但是,從“知識(shí)”到“力量”,需要“能力”這座橋梁的架設(shè). 聯(lián)系到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),掌握知識(shí)是學(xué)習(xí)的一個(gè)方面,重要的是理論聯(lián)系實(shí)際,通過實(shí)踐把知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問題的數(shù)學(xué)能力. 國際上頗具影響力的“學(xué)生能力評(píng)價(jià)”(PISA)就是通過實(shí)踐深入研究學(xué)生能力的整個(gè)評(píng)價(jià)體系. 本文通過對(duì)PISA 2003已公布的數(shù)學(xué)能力測試題入手,來談?wù)剢栴}解決中的知識(shí)情境.

一、學(xué)生能力國際評(píng)價(jià)PISA簡介

學(xué)生能力國際評(píng)價(jià)是由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織發(fā)起并組織實(shí)施的為各參與國家和地區(qū)協(xié)作監(jiān)控教育成效的評(píng)價(jià)項(xiàng)目. PISA測試義務(wù)教育階段結(jié)束后的15歲學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和科學(xué)方面所具備的應(yīng)用知識(shí)技能的能力和解決問題的能力. PISA在2000年首次開始實(shí)施評(píng)價(jià),每三年一次,周而復(fù)始. PISA2000有32個(gè)國家參與,評(píng)價(jià)的重點(diǎn)是閱讀素養(yǎng);PISA2003有41個(gè)國家和地區(qū)參與,評(píng)價(jià)的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)素養(yǎng);PISA2006有56個(gè)國家和地區(qū)參與,評(píng)價(jià)的重點(diǎn)是科學(xué)素養(yǎng). PISA2009又將輪回到閱讀素養(yǎng). [1]

PISA為評(píng)價(jià)學(xué)生在日常生活情境中使用數(shù)學(xué)的技能提供了有價(jià)值的信息. PISA數(shù)學(xué)測試主要從數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)情境四個(gè)領(lǐng)域展開,其中數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)概念為主要領(lǐng)域,涉及評(píng)價(jià)的范圍和熟練程度,數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)情境則是次要領(lǐng)域. PISA中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)涉及學(xué)生在各種環(huán)境中提出問題、用公式表達(dá)問題、解決和解釋數(shù)學(xué)問題的有效分析、推理和表達(dá)的能力,這些能力需要有合理而完善的知識(shí)儲(chǔ)備與轉(zhuǎn)化,而知識(shí)是情境化的.

二、知識(shí)的情境性與PISA測試

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)派認(rèn)為知識(shí)是個(gè)體通過與環(huán)境相互作用后獲得的信息及其組織. 數(shù)學(xué)的概念性知識(shí)具有明顯的情境性,各種知識(shí)只有通過運(yùn)用才能夠被理解,而運(yùn)用必須有一定的情境支持. 格里諾和穆爾(Greeno & Moore)強(qiáng)調(diào)”[2]:“情境性在所有認(rèn)知活動(dòng)中都是根本性的. ”數(shù)學(xué)知識(shí)的情境性包括縱向的脈絡(luò)和橫向的情境. 所謂縱向的脈絡(luò)實(shí)際上是指數(shù)學(xué)知識(shí)得以產(chǎn)生與發(fā)展的歷史的、內(nèi)部的原因、線索、體系與結(jié)構(gòu). 橫向的情境實(shí)質(zhì)上是指數(shù)學(xué)知識(shí)與外部的、社會(huì)的、生活的環(huán)境之間所存在的聯(lián)系. 比如說,就數(shù)系擴(kuò)展而言,小學(xué)數(shù)學(xué)中安排從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)到有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程時(shí),多數(shù)教師都把數(shù)與真實(shí)生活中的現(xiàn)實(shí)情境聯(lián)系起來,例如把自然數(shù)與班級(jí)小朋友的人數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)聯(lián)系,把分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)與切分蛋糕、分蘋果等生活場景進(jìn)行鏈接. 事實(shí)上,這樣的情境都屬于外部的橫向情境. 而對(duì)于從數(shù)學(xué)內(nèi)部深入考察數(shù)系擴(kuò)展的動(dòng)因、與數(shù)系密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)、數(shù)系擴(kuò)展的本質(zhì)等則屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部的縱向脈絡(luò)結(jié)構(gòu). 這兩個(gè)方面都屬于數(shù)系這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的情境.

知識(shí)的情境性不僅包括知識(shí)學(xué)習(xí)的情境,還包括知識(shí)運(yùn)用的情境. 布朗斯福特(Bransford)指明:“學(xué)習(xí)者要知道所學(xué)知識(shí)什么時(shí)候能夠被運(yùn)用,運(yùn)用的條件是什么. 知識(shí)不能遷移在很大程度上是因?yàn)閷W(xué)習(xí)者缺乏這類有條件的知識(shí). ”[3]這就是說,如果學(xué)習(xí)者要達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解,就必須在掌握知識(shí)的同時(shí),理解知識(shí)運(yùn)用的情境,并且情境與知識(shí)只有在彌合統(tǒng)一的過程中,才能使學(xué)生在真正意義上達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解,而這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)者來說才具有有用性和遷移的活性.

根據(jù)PISA項(xiàng)目的基本理念,該項(xiàng)目的目的并不在于檢驗(yàn)學(xué)生掌握學(xué)校數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的程度,而是檢驗(yàn)作為15歲學(xué)生是否掌握并能夠靈活應(yīng)用的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”. 在PISA項(xiàng)目中對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定為“有能力認(rèn)識(shí)并理解數(shù)學(xué)在世界中的作用;能夠給出基本的數(shù)學(xué)判斷,并能夠以某種方式去研究數(shù)學(xué),使之服務(wù)于某個(gè)建構(gòu)的、積極的、反思的公民應(yīng)對(duì)當(dāng)前與未來生活的需求”.[4]PISA的測試題中需要推理的題目居多,包括對(duì)圖象、表格或其他現(xiàn)實(shí)世界中的材料的解釋,更關(guān)注評(píng)價(jià)學(xué)生在日常情境下的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的應(yīng)用. PISA2003測試強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)情境并將問題解決融于現(xiàn)實(shí)的情境中. 以下是PISA2003的兩個(gè)測試題.

第一題:網(wǎng)絡(luò)聊天[5]

Mark(來自澳大利亞悉尼)和Hans(來自德國柏林)經(jīng)常在網(wǎng)上通過聊天進(jìn)行交流. 他們必須同時(shí)登錄互聯(lián)網(wǎng)才能聊天. 為了找到合適的聊天時(shí)間,Mark找到一個(gè)世界時(shí)刻圖表,發(fā)現(xiàn)格林尼治時(shí)間午夜12:00,柏林時(shí)間是凌晨1:00而悉尼是上午10:00.

問題1:悉尼下午7:00時(shí),在柏林是幾時(shí)?(答案:上午10:00)

問題2:Mark和Hans不能在他們當(dāng)?shù)貢r(shí)間上午9:00和下午4:30之間聊天,因?yàn)樗麄円蠈W(xué). 也不能在當(dāng)?shù)貢r(shí)間晚上11:00至次日清晨7:00聊天,因?yàn)樗麄円X. 對(duì)Mark和Hans來說,何時(shí)是最好的聊天時(shí)間?請(qǐng)寫下悉尼和柏林的當(dāng)?shù)貢r(shí)間.

(答案:悉尼是下午4:30—下午6:00,柏林是上午7:30—上午9:00;或悉尼是上午7:00—上午8:00,柏林是晚上10:00—晚上11:00)

這個(gè)測試題目與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān),容易引起學(xué)生的探究興趣. 問題中關(guān)于“兩個(gè)地點(diǎn)的時(shí)差”的理解和計(jì)算,以及題目中的限制條件的應(yīng)用,都需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí). 這一匠心獨(dú)運(yùn)的問題情境具有真正吸引學(xué)生的力量,在這種情境下出現(xiàn)的問題就會(huì)成為學(xué)生思維和感知的對(duì)象,使學(xué)生受到問題意識(shí)的驅(qū)使.

第二題:搶劫[6]

針對(duì)下圖,一則電視報(bào)道顯示:“從1998年到1999年搶劫犯罪的數(shù)量增長是巨大的. ”你認(rèn)為這則電視報(bào)道的解釋合理嗎?請(qǐng)給出你的解釋.

真實(shí)情境的讀圖、析圖的能力是PISA2003考查的能力之一. 這個(gè)題目考查學(xué)生在實(shí)際情境中使用符號(hào)語言和自然語言的操作能力. 這包括解碼和解釋符號(hào)語言或自然語言,并且理解它們之間的關(guān)系,處理符號(hào)語言或自然語言之間的轉(zhuǎn)化. 此題涉及的是信息交流和變化增長的能力. 問題中關(guān)于“搶劫案增加的實(shí)際人數(shù)是不是一個(gè)巨大的增長”的看法,要求運(yùn)用自然語言來描述數(shù)學(xué)細(xì)節(jié). 使用自然語言去表達(dá)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有時(shí)比使用符號(hào)語言和公式語言顯得更困難. 怎樣來解釋這個(gè)增長不是巨大的?當(dāng)然可以用比例來說“大約增加的是10/500,這是很小的增長”.

可見,PISA測試更多關(guān)注的是實(shí)際生活中所體現(xiàn)的一般技能,而這種技能是散見于課程中的,或者說與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不是直接相關(guān)的. 按照情境認(rèn)知理論,數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)置于一個(gè)情境脈絡(luò)中,這也進(jìn)一步解釋了荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗雷登塔爾(Frendental)提出的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的思想. 弗雷登塔爾提出“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念、結(jié)構(gòu)以及思想是人們解釋物理現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象以及精神世界的工具,數(shù)學(xué)及其組織本身都不是目的. 正是根據(jù)弗雷登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想,PISA測試中的數(shù)學(xué)知識(shí)涉及變化、增長、空間形狀或概率等,而且都是與情境相關(guān)的. PISA關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測試目標(biāo)就是檢驗(yàn)學(xué)生是否理解了數(shù)學(xué)概念,是否能夠運(yùn)用這種工具處理來自不同情境下的實(shí)際問題.

三、對(duì)我國課堂教學(xué)的啟示

我國目前正在進(jìn)行新一輪的數(shù)學(xué)課程改革,一個(gè)顯著的變化是開始重視數(shù)學(xué)問題情境(特別是現(xiàn)實(shí)情境)的創(chuàng)設(shè). 例如,《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“教學(xué)建議”中就反復(fù)強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際,從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā),創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境,引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動(dòng),使學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物、思考問題,激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣以及學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望. ”

其實(shí),情境性作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的非常重要的因素,它貫穿了數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問題解決的許多場合,這是我們有效地表達(dá)、處理、交流和傳遞信息、探討事物發(fā)展規(guī)律、預(yù)測事物發(fā)展方向的工具. 在有效實(shí)施新一輪課程改革的同時(shí),教育工作者們首先應(yīng)該把情境性作為教與學(xué)、過程與評(píng)價(jià)的重要目標(biāo),只有樹立目標(biāo),才有開始實(shí)施的過程,這也即是“先有意識(shí),然后有藝術(shù)”. 其次,真實(shí)的數(shù)學(xué)還要重視對(duì)情境性的開發(fā). 通過知識(shí)情境的創(chuàng)設(shè)和開發(fā),更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀的三個(gè)維度的目標(biāo),從而可以切實(shí)解決生活中遇到的很多實(shí)際問題. ■

參考文獻(xiàn):

[1] OECD. Assessing scientific, reading and mathematical literacy: a framework for PISA2006[M]. Paris: OECD,2006:8-44.

[2] 高文.情境學(xué)習(xí)與情境認(rèn)知[J]. 教育發(fā)展研究,2001(8).

[3] 約翰·D. 布朗斯福特等.人是如何學(xué)習(xí)的[M]. 程可拉,孫亞玲,王旭卿,譯. 上海:華東師范大學(xué)出版社,2002.

[4] 徐斌艷. 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論[M]. 杭州:浙江教育出版社,2003:194-195.

[5] 吳曉紅.數(shù)學(xué)教育國際比較的方法論研究[M]. 廣州:廣東教育出版社,2007:223-224.

[6] Cesar Saenz. The role of contextual, conceptual and procedural knowledge in activating mathematical competencies(PISA). Educ Stud Math DOI 10.1007/s10649-008-9167-8.