張 毅

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院,蘇州 215011)

自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性＊

張 毅?

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院,蘇州 215011)

(2009年3月28日收到;2009年4月19日收到修改稿)

研究廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性問題.建立了自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡方程;給出了自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的一次近似方程,利用Lyapunov一次近似理論,建立了系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的判據(jù);構(gòu)建了Lyapunov函數(shù),利用Lyapunov直接法,建立了自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的判據(jù).給出了若干算例以說明結(jié)果的應(yīng)用.

廣義Birkhoff系統(tǒng),平衡穩(wěn)定性,一次近似法,直接法

PACC:0320

1.引言

自Lyapunov創(chuàng)立運動穩(wěn)定性的一般理論以來,穩(wěn)定性理論和方法已在自然科學(xué)、工程技術(shù)等很多學(xué)科領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,發(fā)揮了極其重要的作用[1].梅鳳翔[2]全面論述了約束力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,包括完整約束力學(xué)系統(tǒng)和非完整約束力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,以及首先開展了Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論的研究.研究Birkhoff系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義在于:一是Birkhoff系統(tǒng)是Hamilton系統(tǒng)的一個自然推廣,其結(jié)論不僅適用于Hamilton系統(tǒng),而且也適用于非經(jīng)典Hamilton系統(tǒng);二是Birkhoff系統(tǒng)本身可以當(dāng)作一類廣泛的約束力學(xué)系統(tǒng)[3],因此研究Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性將有助于加深了解約束力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.關(guān)于Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得了一系列重要成果[4-18].本文進(jìn)一步研究廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性問題,利用Lyapunov一次近似理論和Lyapunov直接法給出了自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性的一些判據(jù).

2.自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡方程

自治情形的廣義Birkhoff方程可表為

則方程(1)成為

方程(3)可等價地表為

其中

設(shè)廣義Birkhoff系統(tǒng)(3)的平衡位置為

由于在平衡位置a·μ=0,于是由方程(3)得到平衡方程

這里下標(biāo)0表示其中的aμ用aμ0替代的結(jié)果.如果方程(7)有解,則系統(tǒng)存在平衡位置.如果2n個代數(shù)方程(7)是彼此獨立的,則平衡位置是孤立的,否則平衡位置組成流形.

3.平衡穩(wěn)定性的一次近似法

其中ξμ為小量.將(8)式代入方程(3),得

其中未寫出之項為ξν,ξ·ν的高階小項.將(7)式代入(9)式,并忽略高階小項,便得自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的一次近似方程

其中

方程(10)的特征方程為

因此,特征方程(12)可寫成

其中系數(shù)b0,b1,…,bn可用表出.于是有

命題1 對于自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(3),其一次近似方程的特征方程(12)的根總是成對互為反號出現(xiàn)的,如有根λ,則必有根

根據(jù)Lyapnnov一次近似穩(wěn)定性理論,有

命題2 對于自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(3),如果其一次近似方程的特征方程有實部不為零的根,則平衡是不穩(wěn)定的.

試研究系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.

取

則條件(2)滿足.廣義Birkhoff方程(3)給出

平衡方程(7)給出

由此得到平衡位置

對應(yīng)平衡位置(19)的一次近似方程為

其特征方程為

方程(21)有解

由命題2,平衡位置(19)是不穩(wěn)定的.

4.平衡穩(wěn)定性的直接法

取Lyapunov函數(shù)V為

將(8)式代入方程(4),有

由Lyapunov直接法,得

命題3 對于自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(4),如果在系統(tǒng)的平衡位置位置附近是定號函數(shù),則系統(tǒng)的平衡位置是穩(wěn)定的.

于是命題3成為

置附近是定號函數(shù),則系統(tǒng)的平衡位置是穩(wěn)定的.

例2 在例1中取附加項為

其他條件不變.試研究系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.

相應(yīng)于附加項(27),可取

方程(4)給出

平衡方程(7)給出

于是平衡位置為

取

它在平衡位置附件對a1,a2是正定的,按方程(29)求V˙,有

由命題3,平衡位置(31)是穩(wěn)定的.

5.平衡狀態(tài)流形的穩(wěn)定性

以上討論的前提是假定廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡位置是孤立的.下面假設(shè)系統(tǒng)的平衡位置不是孤立的,而是組成維數(shù)為k的流形ε,有

由于假設(shè)流形(34)的維數(shù)為k,則系統(tǒng)一次近似方程的特征方程(12)至少有k個零根.實際上,由方程(12)得

由(11)和(34)式,行列式(35)至少有k行是線性相關(guān)的.于是有

命題5 對于自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(3),如果其平衡狀態(tài)流形的維數(shù)為k,則一次近似方程的特征方程中必有k個零根.在簡單地去掉這些零根后,如果剩下的根有實部不為零的根,則平衡狀態(tài)流形是不穩(wěn)定的.

由(23)式,(24)式和(25)式,易得

命題6 對于自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(4),如果函數(shù)相對于流形ε是定號的,則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)流形ε是穩(wěn)定的.

例3 設(shè)四階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

附加項為

其中α,β,γ為常數(shù),且α γ-β2≠0.試研究系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.

取

則滿足條件(2).平衡方程(7)給出

方程(39)有解

因此系統(tǒng)的平衡位置不是孤立的,而是組成維數(shù)為2的平衡狀態(tài)流形

特征方程(12)給出

即

(43)式有兩個零根.簡單地去掉零根,有

當(dāng)

時,方程(44)有實部不為零的根,由命題5,平衡狀態(tài)流形(41)是不穩(wěn)定的.

取

函數(shù)V相對流形ε為正定的條件為

函數(shù)V相對流形ε為負(fù)定的條件為

由命題6,當(dāng)滿足條件(47)或(48)時,平衡狀態(tài)流形ε是穩(wěn)定的.

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PACC:0320

Stability of equilibrium for the autonomous generalized Birkhoffian system＊

Zhang Y i?

(College of Civil Engineering,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011,China)

28 March 2009;revised manuscript

19 April 2009)

The stability problem of equilibrium for a generalized Birkhoffian system is studied.The equations of equilibrium for the autonomous generalized Birkhoffian system are established.The equations of first approximation of the system are given,and the criterion of stability for equilibrium state of the system is established by using the Liapunov's first approximation theory.The Liapunov'sfunction is constructed,and the criterion of stability for equilibrium state of the system is established by using the Liapunov's direct method.Some examples are given to illustrate the application of the results.

generalized Birkhoffian system,stability of equilibrium,first approximation method,direct method

＊國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:10972151)和江蘇省高校自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:08K JB130002)資助的課題.

?E-mail:weidiezh@pub.sz.jsinfo.net

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10972151)and the Natural Science Foundation of Higher Education Institution of Jiangsu Province,China(Grant No.08K JB130002).

?E-mail:weidiezh@pub.sz.jsinfo.net