黃騰飛，李幫義，熊季霞

（1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210016；2.南京中醫(yī)藥大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210027）

0 引言

自從被人類發(fā)現(xiàn)開始，黃金就具備了貨幣、金融和商品屬性，并始終貫穿人類社會發(fā)展的整個歷史，其金融和商品屬性在不同的歷史階段表現(xiàn)出不同的作用力和影響力。當(dāng)今，隨著全球經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化和現(xiàn)代工業(yè)、科技的高速發(fā)展，黃金的應(yīng)用范圍逐漸擴(kuò)大，除了在金融儲備、貨幣、首飾中的應(yīng)用占重要地位外，還具有保值和投資功能。因此，對黃金價格的分析和預(yù)測便成了一個有意義的課題。但是，長期以來，如同證券市場，作為分析主流的線性預(yù)測方法在黃金市場也遇到很大困難。那么，黃金市場是否也具有非線性？如果是，它是否也具有一定確定性，從而可以進(jìn)行某種程度的預(yù)測呢？本文從非線性動力學(xué)角度出發(fā)，綜合運用R/S分析、BDS檢驗和遞歸圖方法對國內(nèi)黃金價格的非線性和確定性進(jìn)行分析檢驗，以期為央行儲備、投資者分析決策提供有價值的理論依據(jù)。

1 檢驗方法

1.1 平穩(wěn)化處理

非線性時間序列的很多處理方法要求時間序列是平穩(wěn)的，但來源于實際的數(shù)據(jù)通常不能滿足平穩(wěn)性的要求。人們通常采用差分和去趨勢的方法進(jìn)行平穩(wěn)化處理。在經(jīng)濟(jì)序列中常用的方法有收益率平穩(wěn)化方法（rate of return,ROR）和對數(shù)線性去趨勢平穩(wěn)化方法（log-linear de-trending,LLD）。設(shè) P（t）為時間序列，則有

或以lnP（t）為因變量，t為自變量，做對數(shù)線性回歸 lnP（t）=a+bt，得序列

1.2 R/S分析法

R/S分析法即重標(biāo)極差分析法，是Hurst在大量實證研究的基礎(chǔ)上提出的一種方法，后經(jīng)過多人努力逐漸完善。具體方法是首先計算時間序列的累積離差，得到經(jīng)調(diào)整過的時間序列的極差，再用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差均分這個調(diào)整過的極差。Hurst研究發(fā)現(xiàn)，這個重標(biāo)的極差在時間增量上按冪律規(guī)模變化。R/S分析法可表述為：

取對數(shù)值得到:

log（c）為回歸方程的常數(shù)項,斜率H則是Hurst指數(shù)的估計值，其取值在0～1之間。當(dāng)Hurst指數(shù)等于0.5時，時間序列服從標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)游走 （白噪聲）。當(dāng)Hurst指數(shù)介于0.5與1之間時，時間序列服從持久的、有偏的隨機(jī)過程（也稱為黑噪聲）。當(dāng)Hurst指數(shù)介于0與0.5之間時，時間序列是反持久性的（粉紅噪聲），比隨機(jī)游走有更多的均值回歸特征。此外，Hurst使用V統(tǒng)計量來檢驗R/S分析的穩(wěn)定性

后來，Edigar Peters將V統(tǒng)計量擴(kuò)展為確定信息耗散的平均循環(huán)長度的指標(biāo)。

1.3 BDS檢驗法

BDS統(tǒng)計量是基于GP相關(guān)積分所建立起來的一種統(tǒng)計量，用于檢驗時間序列的統(tǒng)計獨立性]。對于長度為n的時間序列，構(gòu)造嵌入維數(shù)為m，時延為τ的嵌入向量為

其中 M=n-（m-1）τ為所構(gòu)造 m維向量的個數(shù)，H為Heaviside單位函數(shù)：

Brock、Dechert和Scheinkman證明了對于一個獨立同分布（i.i.d.）系統(tǒng)，當(dāng) m≥2，n→∞ 時，BDS 統(tǒng)計量

式中，σ(m,n,r)是{C(m,n,r)-C(1,n,r)m}的漸進(jìn)方差估計量，r是區(qū)間寬度。

在使用BDS進(jìn)行非線性檢查前，需要通過濾波消除原時間序列線性相關(guān)的成分，通常對原時間序列擬合AR（p）模型，在尋找到合適的階數(shù)p后，計算AR（p）的殘差序列并對該殘差序列進(jìn)行BDS檢驗。殘差序列et的計算方法是對原序列按（7）式用最小二乘法擬合：

BDS檢驗的零假設(shè)為：該殘差序列et是i.i.d.的。如果結(jié)果拒絕零假設(shè)，則意味著原時間序列在某個顯著水平下是非線性的。在BDS計算過程中p，r需要根據(jù)具體的時間序列特征進(jìn)行選擇。

1.4 遞歸圖分析法

遞歸圖主要用來定性地檢驗時間序列的確定性。對于觀察獲得的時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，得向量xn，其中每個xi是m維嵌入空間中的一個點，代表系統(tǒng)在時刻i的狀態(tài)。以時刻i作為橫坐標(biāo)，j作為縱坐標(biāo)，取一給定距離r， 當(dāng) xi和 xj的距離||xi-xj||小于 r時，在（i，j）處作一個點，這就是遞歸圖，它描述了重構(gòu)的軌線是如何遞歸或重復(fù)自身的，揭示了系統(tǒng)的時間關(guān)聯(lián)信息。

對于來自周期系統(tǒng)的時間序列，遞歸圖為與對角線平行的一些帶構(gòu)成，對于來自混沌系統(tǒng)的時間序列，遞歸圖有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，可以出現(xiàn)一些類周期現(xiàn)象，表現(xiàn)為一些小的，和對角線平行的帶，而對于隨機(jī)系統(tǒng)則沒有這種結(jié)構(gòu)。因此，通過觀察遞歸圖中有沒有與對角線平行的帶，可以定性地檢驗系統(tǒng)的確定性。

表1 上海黃金價格經(jīng)ROR和LLD平穩(wěn)化后的基本統(tǒng)計特征

表2 上海黃金價格R/S分析參數(shù)估計結(jié)果

2 實證分析

本文采用的是上海黃金交易所純度為99.95%的黃金現(xiàn)貨交易日收盤價格，時間從2002年10月30日到2010年2月26日，共1770個數(shù)據(jù)，來源為Bloomberg數(shù)據(jù)庫。

先對原始時間序列進(jìn)行收益率平穩(wěn)化（ROR）和對數(shù)線性去趨勢平穩(wěn)化（LLD）處理，并對平穩(wěn)化處理后的時間序列進(jìn)行簡單的統(tǒng)計分析,計算其均值、方差、偏度、峰度等,并且用Jarque-Bera測試檢驗了其正態(tài)性。表1表明，上海黃金價格序列不服從正態(tài)分布,具有“尖峰厚尾”的特點。

2.1 中國黃金價格序列的非線性檢驗

2.1.1 R/S分析

如表2、圖1和圖2所示，上海黃金價格序列在ROR和LLD兩種平穩(wěn)化后計算出Hurst指數(shù)分別為0.6301和0.9805，t檢驗在95%置信度水平是顯著的。這說明上海黃金價格序列存在著分型特征，價格波動具備持久性，是有偏的隨機(jī)過程而不遵循隨即游走。而經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的時間序列分型特征更為明顯。因此上海黃金價格時間序列波動具有非線性特征。

表3 上海黃金價格經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的BDS檢驗結(jié)果

表4 上海黃金價格經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的BDS檢驗結(jié)果

從經(jīng)ROR平穩(wěn)化后序列的V統(tǒng)計量來看（圖3），在log（n）=1.9，n=80附近V曲線出現(xiàn)劇烈波動并開始走平，說明上海黃金價格信息和“記憶”的耗散時間大約是80個交易日。

2.1.2 BDS檢驗

為進(jìn)行BDS檢驗，要預(yù)先對平穩(wěn)化后的序列擬合AR(p)模型。取p=2，依（7）式進(jìn)行擬合得殘差 et，然后對殘差進(jìn)行BDS檢驗。取嵌入維數(shù)2～5，平均循環(huán)長度Q=80，嵌入延遲由Q=mτ來決定，r取序列中兩點間最大距離的2%、5%和8%，檢驗結(jié)果見表3和表4。

由于BDS統(tǒng)計量滿足漸近的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,若計算的統(tǒng)計量大于1.65，則在10%的顯著性水平下拒絕數(shù)據(jù)是i.i.d.的原假設(shè)，在表3、4中可以看出，在m小于5時，統(tǒng)計量均小于1.65，不能拒絕AR擬合模型的殘差是i.i.d.的原假設(shè)，從而可以認(rèn)為上海黃金價格序列的非線性特征不明顯。

2.2 確定性檢驗

圖5和圖6分別是黃金價格序列經(jīng)收益率平穩(wěn)化和對數(shù)線性去趨勢平穩(wěn)化后的時間序列的遞歸圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的遞歸圖中可以看到一些明顯的與對角線平行的帶狀結(jié)構(gòu)，而在經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的遞歸圖中也可以看到很多細(xì)小的與對角線平行的帶狀結(jié)構(gòu)。因此，經(jīng)LLD平穩(wěn)化的時間序列具有明顯的確定性，而經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的序列的也具有一定確定性。綜合來說，可以認(rèn)為上海黃金價格時間序列具有一定的確定性。

3 結(jié)論

本文運用R/S分析法、BDS檢驗法和遞歸圖方法等對我國黃金價格序列進(jìn)行了非線性和確定性檢驗。通過這些分析和檢驗，筆者得出以下結(jié)論：

（1）R/S分析表明，我國黃金市場價格波動不是隨機(jī)的，而是具備分型和持久性特征，是有偏的隨機(jī)過程，走勢呈非線性，其平均循環(huán)周期約為80個交易日。

（2）BDS檢驗在m小于5的情況下不能拒絕AR擬合模型的殘差是i.i.d.的原假設(shè)，說明我國黃金市場價格序列的非線性特征并不明顯。這可能是因為我國黃金交易市場建立時間較短，非線性結(jié)構(gòu)尚未充分打開，導(dǎo)致定量檢驗的困難。

（3）遞歸圖分析表明，我國黃金市場價格還具有一定的確定性。

（4）由于我國黃金市場價格序列同時具有非線性和確定性特征，從而可能具有混沌特性。本文沒有對我國黃金價格的初值敏感性和奇異吸引子存在性等進(jìn)行分析檢驗。作者將另行撰文研究我國黃金價格的混沌性特征。

（5）相較于傳統(tǒng)的線性分析方法，對于我國黃金市場價格序列，采用非線性確定性模型進(jìn)行分析預(yù)測可能更加有效。

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