楊明亞，楊 濤，王 芳，張長(zhǎng)泉，盧燦舉，楊穎潔

（1.安徽新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)院，合肥230601；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)，呼和浩特010051；3.解放軍電子工程學(xué)院，合肥230037；4.蘇州德勝電機(jī)有限公司，蘇州215122）

0 引言

要進(jìn)行機(jī)床床身結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能分析，首先必需建立一個(gè)真正反映振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)際情況的動(dòng)力學(xué)模型和對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它是整個(gè)模態(tài)分析過程最基本的問題。模型建立得準(zhǔn)確與否，將直接影響分析的結(jié)果。根據(jù)數(shù)學(xué)模型求解系統(tǒng)的特征向量初特征值（主振型和固有頻率）。

一個(gè)N自由度線形系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為[1－2]：

式中：M，C，K——為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；

F——激勵(lì)力向量矩陣。

求解F＝0時(shí)的齊次方程，得到方程的通解將反映系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性，求解它所對(duì)應(yīng)的特征方程得到系統(tǒng)特征解將反映結(jié)構(gòu)的固有特性。

求解F≠0時(shí)的非齊次方程，得到方程的特解將反映輸入載荷的持點(diǎn)。

固有頻率和主振型是振動(dòng)系統(tǒng)的自然屬性，必需通過研究無阻尼的自由振動(dòng)來求解，假定有一具有N個(gè)自由度的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，它的無阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為：

此方程要解耦后求解，因線性振動(dòng)的振動(dòng)位移是簡(jiǎn)諧振動(dòng)函數(shù)，根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)可得此解的形式必為：

代入式（2）消去eh，整理得

由線性代數(shù)知識(shí)知A非零解的條件是式（4）的系數(shù)行列式應(yīng)滿足：

A為系統(tǒng)的振幅列陣，ω0為固有頻率。

通過式（5）可求得固有頻率ω0，將其代入式（4）可求得A。一般情況下振動(dòng)系統(tǒng)具有N個(gè)自由度，就有N個(gè)固有頻率ω01，ω02，…，ω0n，以及N 個(gè)對(duì)應(yīng)的主振型A（1），A（2），…，A（n）。

每一階固有頻率對(duì)應(yīng)一階主振型，倘若第r階固有頻率ω0r已知，帶入：（k－m）A＝0展開為[3]：

寫成方程的形式：

上式是振動(dòng)系統(tǒng)第r階主振型且A（r）的n元方程組，解方程組可以得到系統(tǒng)在以ω0r頻率振動(dòng)時(shí)的主振型：

每一階固有頻率有—階對(duì)應(yīng)的主振型，整個(gè)系統(tǒng)全部固有頻率所對(duì)應(yīng)的全部主振型集合起來便是系統(tǒng)的主振型。

這就進(jìn)一步說明了固有頻率與主振型是振動(dòng)系統(tǒng)最基本的固有屬性，不會(huì)隨意改變，這種振動(dòng)系統(tǒng)中的固有屬性，只有在被激勵(lì)時(shí)才表現(xiàn)出來，這就是動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

1 床身結(jié)構(gòu)有限元模型的建立

用Pro／ENGINEER建立機(jī)床床身的三維實(shí)體模型，因其比ANASYS建模更方便、快捷，特別是建立機(jī)床床身這樣復(fù)雜的三維實(shí)體模型，需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力，所以用Pro／ENGINEER軟件可以提高建立實(shí)體模型的效率。建好三維模型后再導(dǎo)入ANSYS中，床身的動(dòng)態(tài)性能分析在有限元分析軟件ANSYS上進(jìn)行。由于機(jī)床的床身內(nèi)部是由筋板加強(qiáng)的，筋板的數(shù)量影響床身的動(dòng)態(tài)性能。下面就從改變筋板的數(shù)量來分析其動(dòng)態(tài)性能并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了敘述方便把橫向筋板定義為短筋板，縱向的則定義為長(zhǎng)筋板，下面就開始分析筋板與床身頻率之間的關(guān)系，并進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

用Pro／ENGINEER軟件建模的機(jī)床床身的尺寸如下[3]：

圖1 機(jī)床床身外形圖

2 筋板數(shù)量的改變與固有頻率的關(guān)系

根據(jù)簡(jiǎn)化后的床身進(jìn)行優(yōu)化，找出最優(yōu)解。為便于說明進(jìn)行以下的定義，以圖2為例進(jìn)行定義，中間的一條筋板定義為縱向筋板，寬度方向的四塊筋板定義為橫向筋板，高度方向上的2塊筋板定義為高度筋板，圖2的筋板記作：1×4×2型筋板。

圖2 1×4×2型筋板床身圖

下面就在ANSYS軟件中進(jìn)行計(jì)算，分析這種形式的筋板，得出其固有頻率，并與其他類型的筋板分析比較。

由于床身的振動(dòng)可以表達(dá)為各階固有振型的線性組合，其中低階固有振型要比高階對(duì)床身的振動(dòng)影響大，越是低階影響就越大，因此低階振型對(duì)床身的動(dòng)態(tài)特性起決定作用，故進(jìn)行床身的振動(dòng)特性的分析計(jì)算時(shí)通常取前1～5階。經(jīng)過有限元計(jì)算得出其固有頻率如圖3所示[4]。

圖3 1×4×2型筋板床身固有頻率圖

（1）床身增加一塊縱向的筋板如圖4，筋板型式記作：2×4×2型。

圖4 2×4×2型筋板床身圖

計(jì)算固有頻率如圖5所示。

圖5 2×4×2型筋板床身固有頻率圖

從上面2種形式的筋板布置可以看出，縱向筋板的數(shù)量的增加，并不能提高床身的一階固有頻率，從1塊縱向筋板到2塊縱向筋板，其一階固有頻率分別為：362.80Hz，和348.67Hz，可以看出頻率的變化趨勢(shì)是下降的。從節(jié)省材料，優(yōu)化設(shè)計(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，采用1塊縱向筋板作為最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

（2）既然縱向筋板數(shù)量的增加，致使固有頻率不增反降，那么就增加橫向筋板的數(shù)量，計(jì)算其固有頻率。增加一塊橫行的筋板，那么橫向筋板的數(shù)量增加至5塊，如圖6，筋板的型式記作：1×5×2型。

圖6 1×5×2型筋板床身圖

計(jì)算出的固有頻率如圖7所示。

圖7 1×5×2型筋板床身固有頻率圖

由此可見橫向筋板的增加會(huì)提高床身的動(dòng)態(tài)特性。

（3）增加2塊橫行的筋板，那么橫向筋板的數(shù)量增加至6塊，如圖8，筋板的型式記作：1×6×2型。

圖8 1×6×2型筋板床身圖

計(jì)算出的固有頻率如圖9所示。

圖9 1×6×2型筋板床身固有頻率圖

隨著橫向筋板數(shù)量的增加，頻率是增加的，從4塊筋板時(shí)的362.8Hz，5塊筋板時(shí)的376.45Hz，到6塊筋板時(shí)的390.92Hz，可見橫行筋板數(shù)量的增加會(huì)提高床身的動(dòng)態(tài)性能。床身的總長(zhǎng)度為2 045mm，若用4塊筋板，則筋板間的距離為2 045／5＝409mm，若用5塊筋板，則筋板間的距離為2 045／6≈341mm，若用6塊筋板，則筋板間的距離為2 045／7≈292mm，設(shè)計(jì)時(shí)要從多方面考慮進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，如果床身的固有頻率足夠高，那么床身的動(dòng)、靜剛度能夠滿足剛度的設(shè)計(jì)要求即可。

3 筋板的厚度與床身固有頻率的關(guān)系及優(yōu)化

如果改變筋板的厚度，以1×4×2型筋板的床身為研究對(duì)象，壁厚和筋板厚度均為20mm時(shí)，計(jì)算的結(jié)果如下：

把筋板由原來的20mm改為18mm，計(jì)算的結(jié)果如下：

把筋板由原來的20mm改為16mm，計(jì)算的結(jié)果如下：

把筋板由原來的20mm改為15mm，計(jì)算的結(jié)果如下：

把筋板由原來的20mm改為14mm，計(jì)算的結(jié)果如下：

可見筋板厚度的減小會(huì)使床身的一階固有頻率下降，下降的速度如圖10所示。二階固有頻率變化曲線如圖11所示。

圖10 一階固有頻率變化曲線

圖11 二階固有頻率變化曲線

從頻率曲線圖可以看出一階頻率是隨著筋板厚度的減小固有頻率是下降的，而二階以上的頻率變化并非如一階頻率的變化，在頻率的變化曲線圖能看出或上升或下降，當(dāng)筋板為18mm時(shí)，一階頻率從362.80Hz到359.20Hz是下降的，二階頻率從467.90Hz到470.35Hz是上升的，在四階固有頻率變化曲線圖可以看出，筋板為18mm時(shí)是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從優(yōu)化設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，綜合前五階的頻率變化曲線圖，當(dāng)壁厚為20mm時(shí)筋板應(yīng)選擇18mm。

4 結(jié)語

從上述的分析可以看出有的筋板數(shù)量的增加，并不能提高床身的振動(dòng)頻率，這就要求我們?cè)谠O(shè)計(jì)機(jī)床時(shí)不能盲目地增加筋板的數(shù)量，在設(shè)計(jì)筋板時(shí)一定要有科學(xué)的指導(dǎo)。增加縱向筋板的數(shù)量，床身的一階固有頻率不升反降，但是橫向筋板數(shù)量的增加可以提高床身的振動(dòng)頻率，可見橫行筋板數(shù)量的增加會(huì)提高床身的動(dòng)態(tài)性能。筋板厚度的增加也可以提高床身的振動(dòng)頻率，但是厚度的增加會(huì)使其重量增加，從優(yōu)化設(shè)計(jì)的角度出發(fā)可以選擇適當(dāng)?shù)慕畎宓暮穸取?/p>

[1]楊橚，唐恒齡.機(jī)床動(dòng)力學(xué)（Ⅱ）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1983：1－20.

[2]李東旭.高等機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].長(zhǎng)沙：國防科技大學(xué)出版社，1997：2－3.

[3]何博.中文Pro／ENGINEERWildfire速成教程 [M].北京：中國電力出版社，2004：1－243.

[4]張朝暉.ANSYS8.0結(jié)構(gòu)分析及實(shí)例解析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005：181－220.