曹雅玲　潘亭蓉

【摘要】本研究之主要目的在于探討小學教師的估算知識與估算教學。研究對象為臺北地區(qū)小學五年級擔任數(shù)學科教學教師，選取具數(shù)理背景及非數(shù)理背景共六位，進行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識，了解教師的估算知識與估算教學。

【關鍵詞】估算；估算知識；估算策略；估算教學；小學教師

一、研究目的

縱觀國內外的數(shù)學課程標準，已有越來越多的國家重視估算教學，并強調其重要性。美國數(shù)學教師協(xié)會（NCTM,2000）出版《學校數(shù)學課程與評量標準》當中的“數(shù)與計算”，建議學生要能熟練地計算，并能做合理的估計；除了繼續(xù)強調估算的重要性外，并建議加強估算的教學。估算在過去數(shù)學教學中，是較被忽略的課題，在聯(lián)考制度引導教學的情況下，為了獲得較高的數(shù)學成績，向來都強調筆算的技能、速度和唯一的答案，總是重視算則的機械式演練與計算技能的熟練，而缺乏思考、邏輯推理的培養(yǎng)（楊德清，2000）。但隨著教育不斷地改革，目前課程標準也越來越重視估算這部分領域，認為估算學習對于學生的數(shù)感以及數(shù)學思維有相當程度的幫助。一般來說，數(shù)字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧來協(xié)助計算、驗算與解題。而經由估算課題的教學，也更能促使學生對數(shù)學概念、程序計算、解題三者間的聯(lián)結，有更深入的理解（教育部，2003）?？梢姼鲊鴶?shù)學教育界已逐漸重視估算能力的培養(yǎng)，估算教學亦成為改革的重要方向之一。

綜上所述，可以清楚了解到估算的應用在日常生活當中占有重要的角色，因此掌握這些基本能力是相當重要的，目前估算教學已受到許多先進國家的重視，并強調其重要性，而臺灣數(shù)學課程雖已包含了估算的內涵，但是要如何將學校教學中所含的估算概念融入生活當中與其作統(tǒng)整聯(lián)結，值得進一步地探討。因此，估算的概念并不像我們所謂的分數(shù)、小數(shù)一樣明確，對于教師能否在教學中融入估算的應用去進行教學，這是值得探討的部分。

二、文獻探討

估算意義與重要性

許多學者提出估算是綜合多種能力、技巧與數(shù)概念的運算，并結合心算快速地計算出合理性的答案。林彩鳳（1995）也提出估算不是形式的計算，而是結合心算、數(shù)概念及一些運算技巧，如取近似值、位值概念等快速地得到與精算結果接近且合理的約略訊息答案，這個過程完全是內在運思而不假借任何外界的計算工具。估算是個人對數(shù)字及運算的一般性了解，即以彈性的方式運用所理解的數(shù)學知識進行數(shù)學判斷，并發(fā)展有用的策略以處理面對數(shù)學情境的一種能力及傾向（楊德清，1997）。

三、估算策略

研究者整理學者們研究發(fā)現(xiàn)之估算策略，其內容敘述如下：

首位法。取數(shù)值之首位來簡化數(shù)值，通常會視情況將各數(shù)取頭（或去尾），并做適當?shù)恼{整再心算。（Reys，1982）

改良式首位法。比首位法更靈活，它是將首位和其他部分分開處理，再做結合運算，使估算值更接近正確值。（Reys，1982）

叢集策略。先觀察算式中的數(shù)值接近何數(shù)值（估計平均值或較佳數(shù)值），再加以運算。（Reys，1982）

四舍五入法。將原數(shù)值經四舍五入后，產生較易計算的值，再運算求出估算值。通常會在調整算式的過程中使用，是一個好的策略，因為調整時會高估其中一數(shù)低估另外一數(shù)。（Reys，1982）

兼容數(shù)字策略。選擇算式中的數(shù)字將原式處理成較易計算的形式。（Reys，1982、孟憲騰，1997）

利用特殊數(shù)字0，1，5，10，100，12或14等。每個人處理數(shù)字形式的習慣不同，因此會做各種數(shù)值形式間之轉換，以利運算。（Reys，1982）

使用分數(shù)。將問題中的數(shù)字看成分數(shù)的形式來處理，但不改變原問題的結構。（Reys，1982）

使用已知或較理想的數(shù)。將算式以較熟悉或以熟知結果的形式做比對，利用該熟知結果的形式為依據做估算，不必再執(zhí)行煩瑣的計算。（Reys，1982）

舍入兩個數(shù)。在乘法問題中將兩數(shù)皆舍入，使答案成為十的非零乘冪。（Levine，1982）

舍入一個數(shù)。舍入問題中的其中一數(shù)，另一數(shù)不做改變，使問題更為容易估算。（Dowker，1992）

因式化。將問題中的數(shù)字做因子分解，或同時除以某個公因子，而簡化原問題的數(shù)字，以便處理。（Dowker，1992）

前位算法。利用標準算法大約地計算出估算值。例如：12×11。4≈12×11得到132，再加上12×0。4＝4。8，而得到136。8。（Reys，1982）

分配律。利用a×（b+c）＝ab+ac的分配律規(guī)則處理問題中的數(shù)字運算。（Reys，1982）

其他還有“取5為近似值”：將接近5的數(shù)值取近似值為5，接近0的數(shù)值取近似值為0，接近10的數(shù)值取近似值為10（林彩鳳，1995）；“心算法”：直接心算出答案或將心算所得之答案改為估算答案等估算策略（支毅君，1996）。

四、估算與估算教學相關研究

支毅君（1996）之研究，在估算教學上，多數(shù)教師聽過“估算”一詞，在解連加題目時，最普遍使用的是“四舍五入法”；亦有半數(shù)人會使用叢集策略，大部分的教師可以判斷答案的合理性。有五分之四的教師認為估算在日常生活中很重要，并且認為應在小學課程中加上估算課程。估算教學能幫助學生學習數(shù)的概念以及過程的了解，也就是在過程中不僅能學到估算技巧還能有助于位值、數(shù)值大小、數(shù)的事實概念以及各種運算意義的學習，更能去察覺答案之合理性。孟憲騰（1997）認為估算教學知識是指結合估算知識與教學知識，職前教師在進行估算教學時能將估算的知識（例如：估算的策略、估算合理性的問題……）與教學知識結合而成的估算教學知識。在美國數(shù)學教師協(xié)會(NCTM，1991）提出學童可以借由使用筆算、心算、估算及電算器等不同的方法來促進數(shù)感發(fā)展。在教學過程中，鼓勵學童與同儕分享心算、估算的策略，可以促進學童了解數(shù)字的基本關系與運算法則，且在某些情境下想要了解一些概念，心算、估算比精算更有效。估算的進步必須借由持續(xù)的練習，如同一些數(shù)學技巧必須經由練習方能有所進步。若將估算集中于某單元進行教學，易使估算限于運算系統(tǒng)的一部分，且學生見到估算題時會采取生硬的策略運算（Sowder，1984）。另外教師在估算的教學過程中扮有重要的角色，因此教師必需激發(fā)學生學習估算的動機意愿，安排適當?shù)恼n程內容。

五、研究方法

研究設計與對象

本研究之主要目的在探討小學教師的估算知識與估算教學。研究對象為臺北地區(qū)小學五年級擔任數(shù)學科教學的教師，選取具數(shù)理背景及非數(shù)理背景共六位，進行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識，了解教師的估算知識與估算教學。研究者設計“教師估算知識訪談”題目，內容涵蓋估算的內涵、估算教學、估算解題等。文中凡提及之人名，皆以代號稱之，表1為參與研究教師之背景資料表。