包新安

【摘要】點到直線的距離公式是大家都熟悉的而且是非常重要的公式，結(jié)合多年來教學(xué)的實際總結(jié)，給出幾種證明方法，各個方法有其優(yōu)點供我們學(xué)習(xí)和采納.選擇不同的方法，對于學(xué)生的思維能力、探究能力、計算能力、推理能力、敘述表達能力、創(chuàng)新能力等都起到了很好的訓(xùn)練作用，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣起到了良好的作用，學(xué)生感受到不同方法的特點，喚起了進一步探究問題的好奇心和強烈的求知欲望.

【關(guān)鍵詞】距離公式；證明方法；學(xué)習(xí)興趣オ

提起點到直線的距離公式，這是大家都非常熟悉的一個公式，然而要給出一個較好的證明方法，則未必是大家都熟悉的問題.在教材的變化與改革過程中不同時期各個版本的教材都給出了不同的證明方法，那是因為教材知識序列的先后順序不同，編者就選擇了不同的證明方法.筆者在多年來的教學(xué)實踐中根據(jù)需要選擇相應(yīng)的方法，對于學(xué)生的思維能力、探究能力、計算能力、推理能力、敘述表達能力、創(chuàng)新能力等都起到了很好的訓(xùn)練作用，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣起到了良好的作用，學(xué)生感受到不同方法的特點，喚起了進一步探究問題的好奇心和強烈的求知欲望.就下列幾種常用方法加以整理，愿給學(xué)生一點小小的啟發(fā)與幫助.

在平面直角坐標系下，已知點P（x0,y0)，直線l:Ax+〣y+狢=0，求證：P點到直線l的距離ヾ=獆Ax0+By0+C|[]A2+B2.

證明1（解析法） 令經(jīng)過P(x0,y0)且垂直于l:Ax+〣y+狢=0的直線為l′:B(x-x0)-A(y-y0)=0，垂足為〩(x,獃)，ビ

Ax+By+C=0,

B(x-x0)-A(y-y0)=0

軦x+By+C=0,

Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.

由A2x+ABy+AC=0,

B2x-ABy-B2x0+ABy0=0

蒔(A2+B2)x=B2x0-ABy0-AC.

又由ABx+B2y+BC=0,

ABx-A2y-ABx0+A2y0=0

蒔(A2+B2)y=〢2y0-狝Bx0-BC.

所以HB2x0-ABy0-AC[]A2+B2，A2y0-ABx0-BC[]A2+B2，求得

|PH|2=B2x0-ABy0-AC[]A2+B2-x02+A2y0-ABx0-BC[]A2+B2-y02

=A2(By0+Ax0+C)2[](A2+B2)2+B2(Ax0+By0+C)2[](A2+B2)2

=(Ax0+By0+C)2[]A2+B2.

得到點P到直線l的距離d=﹟PH|=獆Ax0+By0+C|[]A2+B2.

評述 解析法的優(yōu)點是證明思路簡單，想法學(xué)生容易理解和接受，但是對學(xué)生的計算能力要求較高（普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》（必修２）北京師范大學(xué)出版社教材中只給出了計算程序……），特別是字母運算的能力.正是利用這一點可以加強對學(xué)生運算能力的鍛煉，是一個極好的機會，使學(xué)生感受到計算能力的重要性，對現(xiàn)行初中階段由于大量使用計算器削弱了學(xué)生這方面能力是個很好的補充練習(xí).

證明2（幾何法） 過P(x0,y0)作x軸的平行線，交直線l于點R(x1,y0)，作y軸的平行線，交直線l于點S(x0,y2)，ビ

Ax1+By0+C=0,

Ax0+By2+C=0

輝1=-By0-C[]A,y2=-Ax0-C[]B.

所以|PR|=|x0-x1|=Ax0+By0+C[]A

，|PS|=|y0-y2|=Ax0+By0+C[]B.

|RS|=PR2+PS2=A2+B2[]|AB||Ax0+By0+C|，ビ扇角形面積關(guān)系可得

d?|RS|=|PR|?|PS|載=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

評述 幾何法的優(yōu)點是借助幾何直觀，較大地減少了計算量.通過直角三角形的面積關(guān)系建立點到直線距離和三邊的關(guān)系，尤其是直角三角形的直角邊和坐標軸平行或重合，使得計算容易，作為學(xué)生閱讀是個好方法，也能使得學(xué)生體會到數(shù)和形的結(jié)合對化解數(shù)學(xué)問題能起到良好的作用.假如讓學(xué)生自己去想未必能發(fā)現(xiàn)這樣一個方法.

證明3（配湊法） 令經(jīng)過P(x0,y0)且垂直于l:Ax+〣y+狢=0的直線為l′:B(x-x0)-A(y-y0)=0，垂足為〩(x,y).ビ

Ax+By+C=0,

B(x-x0)-A(y-y0)=0

A(x-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-C,①

B(x-x0)-A(y-y0)=0.②

ビ散侏2+②2蒔

(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］=(-Ax0-〣y0-狢)2蒔

(x-x0)2+(y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2蒔(x-x0)2+(y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2

蒔d=|PH|=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

評述 證法３實際上是一種代數(shù)方法，本人簡單地稱之為配湊法.這是一個奇妙的證明方法，一般教材都沒有這種方法，這是筆者在優(yōu)化解析法（證法１）的時候發(fā)現(xiàn)并加以整理出來的，就是改進了證法１中求垂足的坐標，只是設(shè)垂足但是并不需要求出來，即設(shè)而不求的思路，然后通過整體解出(x-x0)2+（y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2，達到了證明的目的，學(xué)生感覺有一種非常奇妙的體會.

證明4（向量法） 可以取直線l:Ax+By+C=0的方向向量為v=(B,-A)，即其法向量是n=(A,B)，設(shè)M(x,y)是直線l上的任意一點，㏄M=（x-x0,y-y0)，㏄M在n上的射影是n?㏄M猍]|n|=A(x-x0)+B(y-y0)[]A2+B2=-Ax0-By0-C[]A2+B2.

所以d=n?㏄M猍]|n|=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

評述 用向量的工具解決一些疑難問題往往是事半功倍，對于點到直線的距離公式的證明自然也不例外，顯然是這幾種方法里面比較理想的一種，思路簡潔，計算量小.但是由于教材知識序列的問題，有時候往往把它作為向量的應(yīng)用列舉，假如把向量的學(xué)習(xí)放到解析幾何前面，就為證明鋪好了路子，當然還需要學(xué)生熟練地掌握有關(guān)向量的知識和方法.

總之，對于點到直線的距離公式的證明，本人把常用的方法加以小結(jié)，根據(jù)我們的教學(xué)實際可以合理選擇應(yīng)用，不妥之處敬請指教.

ァ靜慰嘉南住開

［1］全日制普通高級中學(xué)教科書.《數(shù)學(xué)》第二冊（上）.北京：人民教育出版社.

［2］普通高中課程標準實驗教科書.《數(shù)學(xué)》（必修２）.北京：北京師范大學(xué)出版社.