最小二乘法在汽車銷售量預(yù)測中的應(yīng)用

□文/陳秋玲 陳 忠

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院 湖北·武漢）

對產(chǎn)品銷量進(jìn)行預(yù)測是進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策活動的一個重要組成部分。運(yùn)用定量預(yù)測模型對產(chǎn)品銷量進(jìn)行預(yù)測方法有很多，本文運(yùn)用的最小二乘法在產(chǎn)品銷售量預(yù)測過程中，使用的方法簡單明了，比較適合企業(yè)在進(jìn)行預(yù)測產(chǎn)品產(chǎn)量時作為參考，從而能夠避免盲目的生產(chǎn)和經(jīng)營，盡可能地為企業(yè)獲得最大利潤，以減少不必要的損失。

一、最小二乘法

在介紹最小二乘法之前，我們先來思考這個問題。如果變量y和x有精確的線性關(guān)系，這里可以假設(shè)y為因變量，x為自變量，有y=a1x+a0成立，我們得到，即觀測值等于回歸值。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中，變量之間的關(guān)系未必都是線性的。受各種隨機(jī)因素的干擾，物與物之間沒有非常明確的對應(yīng)關(guān)系。比如，產(chǎn)品的銷售量和供給量就是一種對應(yīng)關(guān)系，而這種關(guān)系并非是y=a1x+a0所能確定的。那么，我們要得到銷售量和供給量之間的關(guān)系，就需要通過數(shù)學(xué)方法來建立銷售量和供給量之間的模型。而在處理類似的問題時，我們常常用到的是最小二乘法。

所謂最小二乘法，就是選擇合適的參數(shù)a0、a1，使得全部觀測的殘差平方和最小。用數(shù)學(xué)公式表示為:

為了說明這個方法，先解釋一下最小二乘原理。因?yàn)椴荒芾每傮w回歸方程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，所以我們選擇樣本回歸函數(shù)對總體進(jìn)行估計(jì)，即:

（2）式中:ei是殘差，等于真實(shí)值 yi減去估計(jì)值i。因此，為了使殘差ei盡可能的小，就需要選擇合適的估計(jì)量a0，a1，使總體回歸函數(shù)最優(yōu)。

在經(jīng)濟(jì)關(guān)系中，某一指標(biāo)Y往往與多個因素X1，X2，…，Xm有關(guān)，如果這種關(guān)系具備一定的線性相關(guān)性，我們就可以利用多元回歸分析來處理這組數(shù)據(jù)。假設(shè)，我們令Y、X向量分別為:Y=（y1，y2，…，yn），X1=（x11，x21，…，xn1），X2=（x12，x22，…，xn2），Xm=（x1m，x2m，…，xnm），由X1，X2，…，Xm與Y之間存在的線性關(guān)系，得到n元線性預(yù)測公式:

其矩陣形式為:

其中，我們稱待定常數(shù) a0，a1，…，am為回歸系數(shù)。將每組觀測值代入（4）就得到:

選擇的a0，a1，…，am，應(yīng)使每個偏差e（ii=1，2，…n）都盡量小，因此，我們通常令偏差平方和為最小。這里，我們把S視為a0，a1，…，am多元函數(shù)，即:

整理得:

將上述m+1個方程式聯(lián)立起來求a0，a1，…，am解，則得到公式（6）的待定系數(shù)值，從而確定了多元線性預(yù)測公式。

二、相關(guān)系數(shù)R

以兩個變量的情況為例，只要任意給定兩個變量x，y的一組數(shù)據(jù)，都可以經(jīng)過計(jì)算給出一個經(jīng)驗(yàn)公式，但是這個公式在多大程度上反映了x，y的關(guān)系呢？因?yàn)橹灰ㄟ^最小二乘法采取強(qiáng)擬合我們同樣可以把一組毫無線性關(guān)系的數(shù)據(jù)表成線性關(guān)系，但這條直線并不能很好地反映了變量x和y的實(shí)際關(guān)系，缺乏應(yīng)用價值。

為此，我們一方面要建立從經(jīng)驗(yàn)上認(rèn)為有意義的方程，另一方面我們必須用數(shù)學(xué)方法對擬合效果和顯著性進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)是變量之間相關(guān)程度的指標(biāo)，求相關(guān)系數(shù)的公式為:

表1 2001～2011年某紡織品銷售額數(shù)據(jù)表

由上面的式子可推算出:

由于 S≥0，Lyy=≥0，我們可以得出 1－R2≥0，即 0≤≤1，所以越接近1，S的值就越接近0，x，y的線性關(guān)系就越好。

三、實(shí)例預(yù)測

圖1 某品牌汽車2002～2011年總銷量曲線圖

表2 經(jīng)驗(yàn)公式擬合處理后數(shù)據(jù)表

例:對某汽車品牌的汽車銷售量的擬合。我們選取汽車銷售量為因變量，單位為千輛，擬合銷售量關(guān)于時間x的趨勢曲線。以2002年為基準(zhǔn)年，取值x=1；2011年x=10，2002～2011年的數(shù)據(jù)如表1。（表1）由散布圖1可以看出統(tǒng)計(jì)點(diǎn)是非線性的，它大致呈指數(shù)形分布。我們就取經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)=αeβx來擬合這條曲線。（圖1）這個經(jīng)驗(yàn)公式所反映的點(diǎn)的排列是非線性的，我們可以通過取對數(shù)將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，從而運(yùn)用最小二乘法確定這個線性函數(shù)。即:z=Ax+B，其中 z=lny，A=β，B=lnα，lny=lnα+βx，進(jìn)而計(jì)算 α，β 的值。

?。粁i=（1，2，…，11）；yi為各年銷售額；zi=lnyi，根據(jù)具體數(shù)據(jù)代入得到表格2。（表2）

查對數(shù)表得 α=6.746，將 β，α 代入（8）式中，因此得到了所求的經(jīng)驗(yàn)公式為:

下面計(jì)算相應(yīng)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢查:

查看關(guān)系表（按α=0.01，n－2=11－2=9）得到回歸臨界值γα=0.735， 因 為=0.751＞γα=0.735，說明x，y間存在強(qiáng)相關(guān)關(guān)系，可以按公式:y=6.746×e0.320x進(jìn)行外推預(yù)測，預(yù)測該企業(yè)2012年和2013年的銷售額為:

以上是根據(jù)散點(diǎn)分布趨勢選取曲線來擬合得出的結(jié)果，那么如果我們強(qiáng)行用線性關(guān)系即:=Ax+B來擬合曲線，會得出怎樣的結(jié)果呢？運(yùn)用強(qiáng)行用線性關(guān)系，我們有:

四、小結(jié)

通過對具體實(shí)例的分析我們發(fā)現(xiàn)，如果某種產(chǎn)品在一個時期內(nèi)銷量處于穩(wěn)定增長的狀態(tài)，我們就可以對此種產(chǎn)品的未來銷量運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行預(yù)測。但是，在選用曲線來擬合散點(diǎn)的過程中，我們必須依據(jù)散點(diǎn)的發(fā)展趨勢來正確的選擇曲線，否則有可能出現(xiàn)類似本文實(shí)例中出現(xiàn)的情況，即兩條曲線的顯著性系數(shù)都符合要求，都可以用來進(jìn)行預(yù)測，但由于其中的一條擬合曲線沒有分析散點(diǎn)的發(fā)展趨勢，最后導(dǎo)致產(chǎn)生的誤差太大，因而不適宜運(yùn)用在產(chǎn)品銷量的預(yù)測上。所以，企業(yè)在日常生產(chǎn)管理銷售過程中，科學(xué)有效的預(yù)測方法將在很大程度上決定企業(yè)的利潤，從而給經(jīng)營者制定或者調(diào)整銷售計(jì)劃提供了可靠的理論依據(jù)。

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