丁華鋒，朱才朝，李大峰，杜雪松，劉明勇

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

高強(qiáng)度鋁合金預(yù)拉伸板是現(xiàn)代航空航天、武器裝備工業(yè)必不可少的關(guān)鍵材料[1]，其中鋁合金厚板作為關(guān)鍵性的結(jié)構(gòu)材料，使用范圍廣泛。然而鋁合金厚板淬火后會產(chǎn)生很大的殘余應(yīng)力[2]，需要進(jìn)行拉伸等工藝來消除或減小淬火殘余應(yīng)力。如果鋁合金板材中存在裂紋等缺陷，在預(yù)拉伸過程中常常會發(fā)生斷帶，造成對拉伸機(jī)的損傷或破壞，影響其使用壽命。故需要在厚板預(yù)拉伸工藝前對鋁合金板材進(jìn)行探傷檢測，目前，探傷時都未考慮不同厚度板材的淬火殘余應(yīng)力的影響，按經(jīng)驗(yàn)設(shè)定裂紋等缺陷允許值。對于裂紋這樣的缺陷，應(yīng)力強(qiáng)度因子(K)是裂紋尖端附近的應(yīng)力狀態(tài)一個重要表征參量。要準(zhǔn)確地預(yù)測鋁合金板材在預(yù)拉伸時斷帶的臨界裂紋尺寸，需要對其在復(fù)雜應(yīng)力場中的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行精確的計算。

工程結(jié)構(gòu)中，橢圓裂紋是最為常見的一種裂紋。這類裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算通常基于簡單的純拉伸或彎曲載荷，NEWMAN和RAJU[3]計算橢圓裂紋在純拉伸和彎曲載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。SHIRATORI和MIYOSHI[4]計算了裂紋表面應(yīng)力分別為均勻、線性、拋物線和立方分布的應(yīng)力強(qiáng)度因子。1970—1972年，BUECKNER[5]和 RICE[6]提出的權(quán)函數(shù)法是解決復(fù)雜邊界和載荷條件下的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的有效方法，之后有眾多學(xué)者對不同裂紋的權(quán)函數(shù)進(jìn)行了深入的研究[7-9]。GLINKA 等[10-12]進(jìn)一步發(fā)展了一種普遍適用的權(quán)函數(shù)，并應(yīng)用于計算半橢圓裂紋、角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。LAMMI和LADOS[13]研究了結(jié)構(gòu)材料在動載荷條件下，殘余應(yīng)力對疲勞裂紋擴(kuò)展的影響。2010年，BAO等[14]用權(quán)函數(shù)法和有限元法分別計算了考慮焊接應(yīng)力的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，計算結(jié)果表明，焊接應(yīng)力對結(jié)構(gòu)承載能力有較大的影響。

由于淬火殘余應(yīng)力對鋁合金板中裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子有較大影響，尤其是厚板淬火后會產(chǎn)生很大的殘余應(yīng)力，在計算鋁合金板材預(yù)拉伸時的應(yīng)力強(qiáng)度因子，不能忽略淬火殘余應(yīng)力的影響。對于淬火殘余應(yīng)力場中裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算，國內(nèi)外還鮮有研究。本文作者采用 Shen-Glinka法確定殘余應(yīng)力場中裂紋的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子權(quán)函數(shù)(KI)，推導(dǎo)出裂紋的殘余應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1 淬火殘余應(yīng)力的分布

對鋁合金淬火殘余應(yīng)力的分布已有很多學(xué)者做過大量研究，研究結(jié)果表明[15-16]，淬火殘余應(yīng)力厚度方向的殘余應(yīng)力遠(yuǎn)小于長度方向和寬度方向殘余應(yīng)力的，故厚度方向的殘余應(yīng)力可以忽略不計。淬火殘余應(yīng)力沿板材厚度呈“外壓內(nèi)拉”型分布[2]，從外至內(nèi)由壓應(yīng)力逐漸過渡為拉應(yīng)力，這一過渡為非單調(diào)的連續(xù)變化，且沿板材中心面呈對稱分布。預(yù)拉伸時，鋁合金板材承受的載荷為拉應(yīng)力，故可只考慮長度方向的殘余應(yīng)力，不考慮寬度方向的殘余應(yīng)力，研究裂紋的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。淬火殘余應(yīng)力分布具有對稱性，可沿鋁合金板材厚度方向取一半建立表面半橢圓裂紋模型，板材的長、寬、厚分別為H、W、t，如圖1所示，其中橢圓裂紋的長軸為2c，短軸長為2a。只考慮z方向的淬火殘余應(yīng)力。

為計算z向淬火殘余應(yīng)力場中的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，需要得到淬火殘余應(yīng)力的分布函數(shù)。根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)測試和數(shù)值模擬結(jié)果[1-2]，將數(shù)據(jù)歸一化，鋁合金板的殘余應(yīng)力在厚度方向上呈對稱分布，淬火殘余應(yīng)力沿圖1中y方向分布如圖2所示，可將z向殘余應(yīng)力分布擬合成以下函數(shù)：

圖1 鋁合金板半橢圓裂紋模型Fig.1 Semi-elliptical cracks model of aluminum alloy plate

圖2 殘余應(yīng)力沿厚度方向的分布Fig.2 Residual stress distribution along thickness direction

式中：σ0為最大應(yīng)力值。

2 考慮殘余應(yīng)力的權(quán)函數(shù)法

雖然已有很多學(xué)者對各種應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了廣泛的研究[17-18]，但對于殘余應(yīng)力場中的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算，權(quán)函數(shù)法無疑是一種最有效的方法，應(yīng)力強(qiáng)度因子K可表示為

式中：a為裂紋深度；(yσ)為無裂紋體中假想裂紋處的應(yīng)力分布； ),(aym為對應(yīng)的權(quán)函數(shù)。

上式表明，在任意裂紋面載荷)(yσ作用下，只要知道了該裂紋的權(quán)函數(shù)),(aym，則對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以通過積分求得。對于半橢圓表面裂紋，裂紋最深處A點(diǎn)和表面B點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子最為重要，故只計算此兩點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。對于KI的計算，SHEN和GLINKA[11]提出一種普遍適用的權(quán)函數(shù)法，裂紋最深處A點(diǎn)的權(quán)函數(shù)(mA(y,a))可表示為

裂紋表面B點(diǎn)的權(quán)函數(shù)(mB(y,a))為

式中：MiA和MiB為權(quán)函數(shù)的系數(shù)，僅取決于裂紋的幾何形狀。

A、B兩點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以分別表示為

要得到A、B兩點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，須先確定權(quán)函數(shù)的系數(shù)MiA和MiB。根據(jù)權(quán)函數(shù)的性質(zhì)，在y=0處，有

SHIRATORI和 MIYOSHI[4]用有限元法研究半橢圓裂紋表面幾種典型的應(yīng)力分布，選擇應(yīng)力均分布和線性分布時的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解MiA和MiB。裂紋表面應(yīng)力分布如圖3所示，可表示為如下形式：

將裂紋表面應(yīng)力分布函數(shù)代入式(3)和(4)中，對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為

圖3 裂紋表面的應(yīng)力分布Fig.3 Reference stress fields of surface cracks: (a)Uniform stress field; (b)Linear stress field

結(jié)合式(6)和(7)，可以得到A、B兩點(diǎn)權(quán)函數(shù)系數(shù)的表達(dá)式：

根據(jù)SHIRATORI和MIYOSHI[4]的有限元計算結(jié)果，在的變化范圍內(nèi)，將Yi,j表示為a/t和a/c的函數(shù)：

式中：Cm,n為各項系數(shù)，具體數(shù)值見表1。

解出MiA和MiB后，便確定了應(yīng)力場中半橢圓裂紋A、B兩點(diǎn)的權(quán)函數(shù)，結(jié)合式(5)便可求得A、B兩點(diǎn)處在淬火殘余應(yīng)力場中的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

3 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證權(quán)函數(shù)的正確性，可以用文獻(xiàn)[4]中有限元結(jié)果來檢驗(yàn)。文獻(xiàn)[4]中提供了幾種典型的裂紋表面應(yīng)力分布的數(shù)據(jù)，分別與本文權(quán)函數(shù)法計算出的結(jié)果進(jìn)行對比。裂紋表面應(yīng)力分布為

將應(yīng)力強(qiáng)度因子無量綱化：

表1 Yi,j的各項擬合系數(shù)Table 1 Fitting coefficients of Yi,j

A、B兩點(diǎn)無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算結(jié)果對比圖分別見圖4和 5，圖中

從圖4和5中可以看出，在4種裂紋表面應(yīng)力分布的情況下，權(quán)函數(shù)法所得結(jié)果與Shiratori的有限元結(jié)果吻合良好，最大誤差不超過 4%，證明所建立的權(quán)函數(shù)計算裂紋表面不同應(yīng)力分布的應(yīng)力強(qiáng)度因子精度比較高。圖6所示為鋁合金板A、B兩點(diǎn)處Ⅰ型殘余應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算結(jié)果，其中

從結(jié)果中可以看出，A點(diǎn)無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著橢圓裂紋短半軸與長半軸的比值a/c增大而減小，而B點(diǎn)處的變化規(guī)律卻相反。當(dāng)裂紋短半軸與長半軸的比值a/c增大時，A點(diǎn)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子先增大后減小，而B點(diǎn)的基本保持增大的趨勢，這是因?yàn)殡S著裂紋的擴(kuò)展，A點(diǎn)裂紋表面的殘余應(yīng)力會進(jìn)入淬火殘余應(yīng)力的壓應(yīng)力區(qū)域，而B點(diǎn)始終位于淬火殘余應(yīng)力的拉應(yīng)力區(qū)域。

圖4 A點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子計算結(jié)果與有限元數(shù)據(jù)的對比Fig.4 Comparison of weight function based stress intensity factors for point A with finite element data

圖5 B點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子計算結(jié)果與有限元數(shù)據(jù)的對比Fig.5 Comparison of weight function based stress intensity factors for point B with finite element data

圖6 A點(diǎn)和B點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.6 Stress intensity factors of points A(a)and B(b)

4 結(jié)論

1)利用裂紋表面均分布和線性分布應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子確定了鋁合金板橢圓裂紋Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)，計算了裂紋表面應(yīng)力為均勻分布、線性分布、平方分布和立方分布時的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2)通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和Shiratori的有限元模擬結(jié)果，將鋁合金板淬火殘余應(yīng)力分布擬合成函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合所確定的權(quán)函數(shù)，計算鋁合金板的裂紋在淬火殘余應(yīng)力場中的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，結(jié)果表明，由于有淬火殘余應(yīng)力的影響，裂紋A點(diǎn)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋的擴(kuò)展而增大的趨勢與裂紋B點(diǎn)的趨勢并不一樣。

3)所建立的權(quán)函數(shù)方法不僅能有效地計算裂紋在淬火殘余應(yīng)力場中的應(yīng)力強(qiáng)度因子，同時也適用于焊接應(yīng)力、熱應(yīng)力等復(fù)雜應(yīng)力場中裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算。

[1]柯映林, 董輝躍.7075鋁合金厚板預(yù)拉伸模擬分析及其在淬火殘余應(yīng)力消除中的應(yīng)用[J].中國有色金屬學(xué)報, 2004, 14(4):639-645.KE Ying-lin, DONG Hui-yue.Pre-stretching process and its application in reducing residual stress of quenched 7075 aluminum alloy thick plates[J].The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2004, 14(4): 639-645.

[2]朱才朝, 羅家元, 李大峰, 鐘 渝, 李 云.基于流變應(yīng)力特性的鋁合金淬火殘余應(yīng)力數(shù)值模擬及試驗(yàn)研究[J].機(jī)械工程學(xué)報, 2010, 46(22): 41-46.ZHU Cai-chao, LUO Jia-yuan, LI Da-feng, ZHONG Yu, LI Yun.Numerical simulation and experimental investigation of the aluminum alloy quenching-induced residual stress by considering the flow stress characteristic[J].Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(22): 41-46.

[3]NEWMAN J C, RAIU I S.An empirical stress intensity factor equation for the surface crack[J].Eng Fract Mech, 1981, 15:185-192.

[4]SHIRATORI M, MIYOSHI T.Weighting function for a semi-elliptical surface crack in a plate under basic mode of stress distribution[M].Oxford: Pergamon Press, 1992: 725-730.

[5]BUCKNER H F.A novel principle for the computation of stress intensity factors[J].Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1970, 50: 529-546.

[6]RICE J R.Some remarks on elastic crack-tip stress field[J].International Journal of Solids and Structures, 1972, 8: 751-758.

[7]PETROSKI H J.ACHENBACH I D.Computation of the weight function from a stress intensity factor[J].Eng Fract Mech, 1978,10: 257-266.

[8]VAINSHTOK V A, VARFOLOMEYEV I V.Stress intensity factor analysis for part-elliptical cracks in structures[J].Int J Fract, 1990, 46: 1-24.

[9]WU S R, CLARSSON A J.Weight functions and stress intensity factor solutions[M].Oxford: Pergamon Press, 1991.

[10]GLINKA G, SHEN G.Universal features of weight functions for cracks in mode Ⅰ[J].Eng Fract Mech, 1991, 40: 1135-1146.

[11]SHEN G, GLINKA G.Weight functions for a surface semi-elliptical crack in a finite thickness plate[J].Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1991, 15: 247-255.

[12]ZHENG X J, GLINKA G, DUBEY R N.Stress intensity factors and weight functions for a corner crack in a finite thickness plate[J].Eng Fract Mech, 1996, 51: 49-61.

[13]LAMMI C J, LADOS D A.Effects of residual stresses on fatigue crack growth behavior of structural materials: Analytical corrections[J].International Journal of Fatigue, 2011, 33:858-867.

[14]BAO R, ZHANG X, YAHAYA N A.Evaluating stress intensity factors due to weld residual stresses by the weight function and finite element methods[J].Engineering Fracture Mechanics,2010, 77: 2550-2566.

[15]張園園, 吳運(yùn)新, 李麗敏, 張明容.7075鋁合金預(yù)拉伸板淬火后殘余應(yīng)力的有限元模擬[J].材料熱處理技術(shù), 2008, 37(14):88-91.ZHANG Yuan-yuan, WU Yun-xin, LI Li-min, ZHANG Ming-rong.Finite element simulation of residual stress in pre-stretching thick-plates of 7075 aluminum alloy after quenching[J].Material & Heat Treatment, 2008, 37(14): 88-91.

[16]林高用, 鄭小燕, 馮 迪, 楊 偉, 彭大暑.鋁合金厚板淬火殘余應(yīng)力的研究進(jìn)展[J].材料導(dǎo)報, 2008, 22(6): 70-74.LIN Gao-yong, ZHENG Xiao-yan, FENG Di, YANG Wei,PENG Da-shu.Research development of quenching-induced residual stress of aluminum thick plates[J].Materials Review,2008, 22(6): 70-74.

[17]WANG X, LAMBERT S B.Stress intensity factors for low aspect ratio semi-elliptical surface cracks infinite thickness plates subjected to nonuniform stresses[J].Eng Fract Mech, 1995,51: 517-532.

[18]WANG X, LAMBERT S B.Stress intensity factors and weight functions for high aspect ratio semi-elliptical surface cracks infinite-thickness plates[J].Eng Fract Mech, 1997, 57: 13-21.