舒純軍 余先倫 王安蓉

（重慶三峽學院電子與信息工程學院，重慶萬州 404100）

1 引 言

多方過程在科學研究、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有十分重要的應(yīng)用價值和實際意義，諸如在天體物理學、熱工學和氣象學中所進行的過程大多都屬于多方過程；而對理想氣體多方過程作詳盡的探討，能為研究實際氣體的實際過程提供更多的線索，并為更好地掌握熱力學第一定律的應(yīng)用提供更多的幫助.目前一些教材[1,2]和文獻[3,4]對理想氣體多方過程的定義作了比較多的分析和討論，比較普遍和較為精確的定義是：滿足 pVn=常量（且n=常數(shù)）的過程稱為多方過程.而對于理想氣體，若在準靜態(tài)過程中-C V,m或Cm-Cp,m為常量，則該過程一定是多方過程.用p,V參量表示多方過程方程，并用p–V圖來描述比較普遍；[1,5]而用T,S參量和T–S圖來表示多方過程比較少見.本文首先推導理想氣體多方過程的過程方程，然后詳細討論T–S圖的特點.

2 理想氣體多方過程的過程方程

通常熱容量是溫度的函數(shù).若溫度變化不大，可將理想氣體的熱容量視為與溫度無關(guān)的常數(shù)，積分得

式中 T0和Sm0為初態(tài)的溫度和熵，k=Te-Sm0Cm.（2）式即為用溫度T和熵S表示0的多方過程方程.

理想氣體多方過程的多方指數(shù)n與摩爾熱容量Cm的關(guān)系為[6]

其中γ表示定壓熱容量與定容熱容量的比值.將（3）式代入（2）式得由（1）式可得T-S圖中多方過程曲線的斜率為：

表1 幾個等值過程的過程方程及其曲線的斜率

3 理想氣體多方過程的 T-S圖特點及其分析

和p-V圖描述多方過程類似，T-S圖也可以用來描述多方過程.

設(shè)T-S圖上的B點為理想氣體的初態(tài)，如圖1所示，過B點的等溫線（ n= 1）和絕熱線（n=γ）將多方過程的T-S圖分成了4個區(qū)域.在區(qū)域①和③，曲線的斜率為正，表明吸收熱量，溫度升高；而在區(qū)域②和④內(nèi)，曲線的斜率為負，表明放出熱量，溫度反而升高.

區(qū)域①和③，又被等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）分成了三個較小的區(qū)域，記為a,b,c.下面以區(qū)域①為例加以討論：

（1）等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）都是指數(shù)曲線，等容線的斜率 dT dSm=TCV,m，比等壓線的斜率 dT dSm=TCp,m大，見表1，這從T-S圖上也可以直觀地看到.另一方面從物理本質(zhì)的角度加以分析，當理想氣體系統(tǒng)從B點出發(fā)分別經(jīng)等壓過程和等容過程溫度升高1K時，等壓過程吸收的熱量（ μCp,m），比等容壓過程吸收的熱量（ μCV,m）多μR，這多吸收的熱量用來對外界作功，而內(nèi)能增加是相同的.曲線下面的面積表示理想氣體在該過程中吸收的熱量，即等壓線下方的面積比等容線下方的面積大.

（2）等溫線（n=1）的斜率為d T d Sm=0，絕熱線（n=γ）的斜率為d T dSm=±∞，見表1，分別為一條平行于橫軸和縱軸的直線.

（3）當 -∞＜ n＜ 0時，多方過程曲線介于等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）之間，即位于b子區(qū)，當理想氣體系統(tǒng)從B點出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中，dT＞0，d Sm＞0，dQ =μTdSm＞ 0，該過程要比等容過程多吸收一些熱量，這多吸收的熱量用來對外界作功，因而dA =-pdV＜ 0，dV＞0.即系統(tǒng)將吸收的熱量，用來增加內(nèi)能和對外界作功，熱容量CV,m＜Cm＜Cp,m， 與 曲 線 的 斜 率(TCV,m＞ dTdSm＞ TCp,m)為正是相符的.

（4）當0＜n＜1時，多方過程曲線介于等壓線（n=0）和等溫線（n=1）之間，即位于a子區(qū)，分析過程與b子區(qū)類似.即系統(tǒng)吸收的熱量，用來增加內(nèi)能和對外界作功，其對外作的功比等壓過程更多，熱容量 Cp,m＜Cm＜∞，曲線的斜率介于TCp,m＞dT d Sm＞0.

（5）當γ＜n＜+∞時，多方過程曲線介于絕熱線（n=γ）和等容線（n=±∞）之間，即位于c子區(qū)，當理想氣體系統(tǒng)從B點出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)，dT＞0，d Sm＞ 0，dQ =μTdSm＞ 0，該過程要比等容過程少吸收一些熱量，而內(nèi)能增量是相同的，少吸收的這部分熱量就由外界對系統(tǒng)作功來補充，因而dA =-pdV＞ 0，dV＜0.即系統(tǒng)增加的內(nèi)能，來自系統(tǒng)從外界吸收的熱量，以及外界對系統(tǒng)作的功，熱容量 0 ＜ Cm＜ CV,m，與曲線的斜率（∞＞ dTdSm＞ TCV,m）為正是相吻合的.

而在區(qū)域②，1＜n＜γ，多方過程曲線介于等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）之間.系統(tǒng)從B點出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)，dT＞0，而dSm＜0，dQ =μTdSm＜ 0，即放出熱量，而內(nèi)能是增加的，根據(jù)熱力學第一定律dA= dE- d Q ， 因 而d A=-pdV＞ 0， dV＜0.即外界對系統(tǒng)作的功（系統(tǒng)被壓縮），一部分用來增加系統(tǒng)的內(nèi)能，另一部分以熱量的形式釋放出去，因而熱容量 -∞＜ Cm＜ 0，與曲線的斜率（0 ＞ d TdSm＞-∞）為負是相吻合的.

系統(tǒng)從B點出發(fā)在③、④區(qū)域內(nèi)的過程，與①、②區(qū)域內(nèi)的過程方向相反，在此不再贅述.

以上詳細討論了理想氣體多方過程T-S圖的特點.與p-V圖相比，T-S圖直觀地顯示了多方過程中內(nèi)能、熱量、功的變化特點；此外還有一個很重要的優(yōu)點就是，用T-S圖很容易計算出循環(huán)工作過程中吸收和放出的熱量、熱機效率，以及制冷機的制冷系數(shù).

[1]王竹溪.熱力學[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]程守洙，江之永.普通物理學（第五版）：第一冊[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]嚴子浚.多方過程的基本特征[J].大學物理，1995（12）：5-7.

[4]吳劍鋒.多方過程的TS方程及T-S曲線[J].大學物理，1996（10）：42-43.

[5]高崇伊，朱琴.多方過程的定義及其和準靜態(tài)過程的關(guān)系[J].大學物理，2006（2）：13-15.

[6]汪志誠.熱力學·統(tǒng)計物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.