徐龍

摘 要：基于不等式教學(xué)對于高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，本文從實(shí)際案例出發(fā)進(jìn)行研究，得出不等式教學(xué)的幾點(diǎn)方法建議，如調(diào)整充實(shí)不等式內(nèi)容、對教材編寫體例進(jìn)行重新安排、使不等式與函數(shù)學(xué)習(xí)有效聯(lián)系等.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；教學(xué)方法

高中階段，不等式始終是教學(xué)難點(diǎn)內(nèi)容，在新課程改革之后，不等式教學(xué)目標(biāo)難度有所降低，但是更加強(qiáng)調(diào)靈活性，這一改變，在給數(shù)學(xué)教師帶來更高要求的同時，也給他們提供了啟發(fā)學(xué)生思維的良好機(jī)遇. 教師正確認(rèn)識不等式的意義，并從實(shí)際習(xí)題教學(xué)中得到啟發(fā)，掌握更加適合于高中生的教學(xué)方法，無疑是一項(xiàng)非常有必要的工作.

高中階段學(xué)習(xí)不等式的意義

實(shí)際生產(chǎn)生活中，數(shù)量關(guān)系可以概括成相等和不相等兩大類，高中階段的不等式教學(xué)內(nèi)容，是基于初中階段不等式基礎(chǔ)而來的，首先我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到不等式作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性理論的地位，它能夠形象刻畫生活中的不等關(guān)系，反映出不同事物量的比較. 在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式知識包括如何完成不等式證明、如何解不等式以及如何對不等式加以應(yīng)用三個問題，這些問題同其他知識具有緊密聯(lián)系，稱之為“工具型知識”并不為過，比如量的取值范圍、最值界定等內(nèi)容都要以它為基礎(chǔ)，而求取函數(shù)的定義域、函數(shù)最值、數(shù)列項(xiàng)最值、直線斜率、空間線面距離、幾何體體積等，也正是不等式同函數(shù)、解析幾何等的交匯聯(lián)系之處. 再者，不等式知識對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法是極為有利的，要想真正把高中數(shù)學(xué)學(xué)好，就一定要用數(shù)學(xué)思維去分析問題、解決問題，不等式里面完整地體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思想，不等式概念、帶絕對值不等式、帶參數(shù)不等式等問題，皆要求以已知條件為基礎(chǔ)，把研究對象劃分成各個種類加以分別探討，這正是分類討論思維的集中表達(dá)；面對各式各樣的不等式，如無理不等式、對數(shù)不等式、絕對值不等式等，可以按照同解原理將其轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)掌握的一元一次或者一元二次不等式再繼續(xù)求解，這種方法體現(xiàn)出的則是化歸思維；在證明不等式時，要以問題結(jié)論為基礎(chǔ)構(gòu)建方程，方程應(yīng)用思維便被完整地表達(dá)出來；很多證明不等式的問題同幾何有很大關(guān)系，這些證明問題一時難以用代數(shù)手段解決，此時可以按照不等式特點(diǎn)，形成有幾何圖形參與的數(shù)形結(jié)合思維，解答問題就會輕松得多，以上這幾種方法都是培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)思維的優(yōu)勢體現(xiàn).

教學(xué)習(xí)題舉例

（一）一元二次不等式同方程的聯(lián)系

高考說明對于一元二次不等式提出了明確要求，除了要讓學(xué)生掌握最基礎(chǔ)的不等式解法以外，還要求學(xué)生能夠做到使不等式與方程、函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，后一項(xiàng)要求在教材中體現(xiàn)得并不明顯，對于學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用能力提出了較高要求，因此有必要重點(diǎn)把握. 我們在使學(xué)生正確理解不等式與方程、函數(shù)之間的聯(lián)系時，要考慮到兩點(diǎn)內(nèi)容：其一是拋物線開口方向，意即a的準(zhǔn)確符號；其二是拋物線同x軸的對應(yīng)位置，意即方程ax2+bx+c=0這一方程的根. 解決這個問題時，數(shù)形結(jié)合同分類討論思維方法得到了集中展現(xiàn)，不等式解集同方程的根有了系統(tǒng)對應(yīng)聯(lián)系，學(xué)生在做類似的習(xí)題乃至應(yīng)對高考試卷時，都會應(yīng)付自如了.

例1 若不等式ax2+bx+2>0解集是

x

-

，那么a+b的值是多少？

經(jīng)過計(jì)算能夠發(fā)現(xiàn)，不等式中的，實(shí)際上就是對應(yīng)方程的兩個根，這個關(guān)系規(guī)律（韋達(dá)定理）可以幫助學(xué)生更深入地了解數(shù)學(xué).

（二）如何實(shí)現(xiàn)二元一次不等式組的拓展

二元一次不等式組這一模型對于解決實(shí)際問題具有重要價值，它更是處理線性問題的基本工具. 對于高中數(shù)學(xué)而言，線性規(guī)劃問題所處地位非常重要，在解決此問題過程時間接帶動了相關(guān)數(shù)學(xué)分支技術(shù)的發(fā)展，本身所包括的優(yōu)化方法實(shí)際上已經(jīng)表達(dá)出了數(shù)形結(jié)合等思想. 近些年來高考中出現(xiàn)線性規(guī)劃問題的頻次很高，而且每年都會從全新角度對這個問題進(jìn)行考查，這是很值得重視的. 試卷中經(jīng)常出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)是線性的問題，要求取得線性函數(shù)的極值，此線性函數(shù)即是目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)常使用的形式是z=ax+by，試舉例分析：

例2 若變量x，y可以滿足條件x-y≤2，

x-y≥-1，

x+y≥1， 那么z=2x+3y允許的最大極值是多少？

這是最基本題型，可以采用圖解法解決問題，需要注意的是，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所處直線同某邊斜率相近時，若圖形判斷存在困難，則可以考慮間接比較斜率大小，應(yīng)用知識遷移的手段確立最優(yōu)解. 找到目標(biāo)函數(shù)極值還可以把點(diǎn)坐標(biāo)代入其中完成，或者應(yīng)用函數(shù)幾何思維加以解決，從中我們可以很清楚地看到各部分知識之間的聯(lián)系功能對于學(xué)生掌握不等式所起到的作用.

從教學(xué)習(xí)題中得到的啟示

（一）應(yīng)加強(qiáng)初高中知識的過渡

若想學(xué)好高中階段的不等式知識，必須加強(qiáng)同初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，讓初高中數(shù)學(xué)知識實(shí)現(xiàn)完美過渡. 很多高一新生在經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)以后，就會產(chǎn)生這樣的困惑：為什么高中數(shù)學(xué)看起來和初中數(shù)學(xué)有很大的區(qū)別呢？很多學(xué)生初中時期數(shù)學(xué)成績很好，但是到了高一時成績明顯下滑，致使接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難以為繼，甚至有部分學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的信心，這是值得深思的. 通過分析不等式習(xí)題，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到高中數(shù)學(xué)同初中數(shù)學(xué)有效銜接的價值所在，單以不等式這部分知識點(diǎn)來看，初中涉及了不等式性質(zhì)、簡單不等式解法等內(nèi)容，但是實(shí)際應(yīng)用問題并不太多，所以在初高中知識銜接時，要注意以下幾點(diǎn)：第一，讓學(xué)生認(rèn)識到不等式知識同其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，把函數(shù)、方程和不等式看成一個整體，新課程標(biāo)準(zhǔn)里面已經(jīng)關(guān)注了相關(guān)知識的整合，教師有必要在課堂上加以強(qiáng)調(diào)；第二，注意不等式知識的應(yīng)用功能，新課程標(biāo)準(zhǔn)里面關(guān)注了不等式在描述日常生活不等關(guān)系的工具性作用，教師可以據(jù)此把線性規(guī)劃問題納入到不等式應(yīng)用問題體系中來；第三，限于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容繁多，可以把解題技巧要求適當(dāng)放寬，讓學(xué)生將更多的精力用于能力自我培養(yǎng)上.

（二）使學(xué)生明確常見題型類別

不等式基礎(chǔ)知識最終可以用來完成不等式證明與求取最值，具有顯著的靈活性特點(diǎn)，利用不等式基礎(chǔ)知識時，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)一些難以察覺的失誤. 對于教師來說，要隨時對常見題型加以整理，幫助學(xué)生認(rèn)識到哪些方法容易出錯，哪些方法更便于解題.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中提出了不等式的系統(tǒng)解法，即比較、分析及綜合三大“法寶”，而對放縮、構(gòu)造等方法則不要求學(xué)生掌握. 在教學(xué)時教師可以適當(dāng)點(diǎn)到，但是卻不要太多擴(kuò)展. 應(yīng)用代數(shù)方法對不等式進(jìn)行證明，學(xué)生有時候不容易看出其中所蘊(yùn)涵的數(shù)量對比關(guān)系，通過幾何手段將不等式里面的數(shù)量表示出來，則很容易指明不等關(guān)系，讓學(xué)生可以直觀地理解問題，對常見類型題加以梳理，應(yīng)當(dāng)考慮到類型題同幾何解法的關(guān)聯(lián).

（三）合理把握各類知識深度

教師不能按照個人意志隨便提高或者降低教學(xué)深度，而是要嚴(yán)格以教學(xué)大綱為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)，比如證明不等式時，需要一些要求技巧的恒等變形方法，教師不能因?yàn)楹愕茸冃芜^于復(fù)雜化而略講，而是要讓學(xué)生掌握這部分知識與能力. 實(shí)際教學(xué)過程中，很多學(xué)校和教師都對不等式內(nèi)容加以延伸，并作了專題講座，專題講座內(nèi)容包括有：解一元二次不等式；二次函數(shù)最值及值域；二次函數(shù)的根相關(guān)問題.這些內(nèi)容有些是能夠加以細(xì)化的，這里就建議把一元二次不等式相關(guān)知識予以細(xì)化，提出更進(jìn)一步的明確要求，教師可以根據(jù)要求而從容應(yīng)對，學(xué)生可以根據(jù)要求而有的放矢. 只有將教學(xué)要求明確下來，才可以防止教學(xué)過程中無節(jié)制拓展深度，造成精力的浪費(fèi). 對此筆者的建議是：第一，將一元二次不等式相關(guān)知識適當(dāng)向前移，使之同初中不等式知識銜接上，并在其中適當(dāng)加入帶參數(shù)不等式的知識；安排專門的課節(jié)講解二次函數(shù)區(qū)間值域及最值知識，使學(xué)生能夠系統(tǒng)化掌握而不致造成知識的凌亂. 第二，基本不等式強(qiáng)調(diào)的是如何更好處理最值問題，工具性較強(qiáng)，教師應(yīng)當(dāng)注意相關(guān)實(shí)踐知識的拓展. 線性規(guī)劃問題同樣強(qiáng)調(diào)工具性，教學(xué)時可以適當(dāng)增加深度，添入一些以平面區(qū)域法解決斜率的問題，以利于學(xué)生的思維方式培養(yǎng).

總結(jié)

本文對高中數(shù)學(xué)不等式進(jìn)行了簡單研究，重點(diǎn)是基于不等式的意義，從常見考點(diǎn)的類型題出發(fā)，提出幾點(diǎn)教學(xué)改革建議. 眾所周知，高考對于學(xué)生的知識考查，已經(jīng)從側(cè)重技巧轉(zhuǎn)而側(cè)重靈活性與創(chuàng)新意識，復(fù)雜的題型來源于基本的理論知識，教師教給學(xué)生的，正應(yīng)當(dāng)是“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力.