陳國(guó)春

江蘇濱海中學(xué) 224500

摘 要：《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年11月號(hào)上的問題解答欄第2087題為：橢圓的焦點(diǎn)在橢圓切線上的射影的軌跡是以橢圓的中心為圓心，且過長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的圓. 該題提供的方法從方程解交點(diǎn)的角度求出了射影的軌跡方程，但相對(duì)比較煩瑣. 本文將從圓錐曲線切線的性質(zhì)出發(fā)給出一種簡(jiǎn)便證法，并對(duì)結(jié)論和研究方法予以推廣和反思.

關(guān)鍵詞：橢圓切線；對(duì)稱；軌跡；推廣；反思

問題簡(jiǎn)解

問題再現(xiàn)：橢圓的焦點(diǎn)在橢圓切線上的射影的軌跡是以橢圓的中心為圓心，且過長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的圓. 《數(shù)學(xué)通報(bào)》問題解答欄給出的解答相對(duì)比較煩瑣，筆者簡(jiǎn)證如下.

結(jié)論推廣

下面將此結(jié)論推廣到雙曲線和拋物線.

推廣1：雙曲線的焦點(diǎn)在雙曲線的切線上的射影的軌跡是以雙曲線的中心為圓心，且過長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的圓.

證明方法與上述方法類似，只需運(yùn)用雙曲線切線的性質(zhì)即可，證明略.

推廣2：拋物線的焦點(diǎn)在拋物線的切線上的射影的軌跡是拋物線頂點(diǎn)處的切線.

證明：如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線為l，作F關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F′.

設(shè)H為FF′與l的交點(diǎn)，則由拋物線切線的性質(zhì)可知PF′∥x軸，PF′=PF，且H點(diǎn)為焦點(diǎn)F在切線上的射影.

由拋物線的定義可知F′的軌跡方程為x=-，易得H點(diǎn)的軌跡方程為x=0.

方法推廣

本文所涉及的證明方法都是充分地利用圓錐曲線切線的性質(zhì)，再巧妙地利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法從而使證明變得簡(jiǎn)潔. 而這種方法也值得推廣應(yīng)用，下面舉例說明.

例1 已知點(diǎn)P是橢圓+=1（x≠0，y≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線為l，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn). 若點(diǎn)M滿足F1M∥l，且·=0，求

的取值范圍.

解：如圖3，過點(diǎn)F1作∠F1PF2角平分線的垂線F1M，M為垂足，由題及切線的性質(zhì)可知點(diǎn)M即為滿足題意的點(diǎn). 延長(zhǎng)F1M交PF2于F1′，易得

例2 （2013年連云港一調(diào)研）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且橢圓C過點(diǎn)P

（1）求橢圓C的方程；

（2）若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在兩定點(diǎn)，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請(qǐng)求出兩定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：易得橢圓方程為+y2=1. 對(duì)于第（2）問，命題組給出的答案很煩瑣，下面利用本文的結(jié)論給出簡(jiǎn)解如下.

如圖5，分別作焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在切線l上的射影G，H，由本文結(jié)論可知G，H均在圓O：x2+y2=2上，且F1G∥F2H.

再如圖6，延長(zhǎng)GF1交圓O于H1，由對(duì)稱性易得F1H1=F2H. 從而結(jié)合相交弦定理可知：F1G·F2H=F1G·F1H1=BF1·F1C=（-1）（+1）=1，從而焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2即為滿足題意的兩點(diǎn).

反思探究

事實(shí)上，本文所涉及的內(nèi)容都可以從圓的圓心與切線之間的關(guān)系經(jīng)過類比聯(lián)想而得到.

由本文的內(nèi)容可以看出，封閉的圓錐曲線（包括圓在內(nèi)）和不封閉的圓錐曲線（如拋物線），上述結(jié)論在形式上相差很大，但在研究方法上卻可以類似（都可利用圓錐曲線切線的性質(zhì)和坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程）.

本文的結(jié)論如果推廣到圓錐曲面，那么還會(huì)有類似的結(jié)論嗎？答案也是肯定的.