夏立標(biāo)

摘 要： 本文通過系統(tǒng)闡述極限理論在數(shù)學(xué)理論發(fā)展中的重要作用，說明了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強極限思想教學(xué)的必要性.

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 極限 極限思想

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的概念，極限思想貫穿于高等數(shù)學(xué)的各個部分.因此，理解極限概念所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，對掌握高等數(shù)學(xué)中的其他概念有很大的幫助.

縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，當(dāng)初牛頓、萊布尼茲在創(chuàng)立微積分時取得了極其重要的創(chuàng)造性的成果，但由于缺乏清晰嚴格的“極限”和“無窮小”的概念，未能把微積分建牢固的基礎(chǔ)上.之后數(shù)學(xué)界展開了一場長達十多年的關(guān)于微積分奠基問題的大論戰(zhàn).通過這場論戰(zhàn)，大批數(shù)學(xué)家對微積分基礎(chǔ)概念做了深入探討，促進了微積分理論基礎(chǔ)的建設(shè).正是由于極限理論的完善，微積分才取得最后的勝利.而微積分的主要理論基礎(chǔ)是極限論，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)、斂散、甚至數(shù)學(xué)中最基本的實數(shù)概念都要以極限概念為基礎(chǔ)來建立.理解了極限的思想方法，掌握了極限的基本運用，以及有關(guān)它的一些重要性質(zhì)，有助于學(xué)生理解其他數(shù)學(xué)概念，把握不同數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系.下面我就高等數(shù)學(xué)中的幾個重要概念所蘊涵的極限思想作分析，以供教學(xué)參考.

一、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)概念不是數(shù)學(xué)家憑空想象出來的，而是從解決客觀實際問題的過程中概括抽象出來的.要了解導(dǎo)數(shù)概念所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，我們還是通過導(dǎo)數(shù)概念的引入來探討.

幾乎所有高等數(shù)學(xué)教材關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的引入都是通過求物體運動的瞬時速度和曲線的切線斜率.兩個例子，雖然意義不同，但分析問題、解決問題的方法則是相同的，取得結(jié)論的方式也是一致的.它們都是刻畫一個變量對另一個變量的變化快慢速度，也就是因變量對自變量的變化速度.舍棄這些例子各自的意義，抽出其共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即得到導(dǎo)數(shù)的概念：

稱該級數(shù)收斂，S是該級數(shù)的和.若該級數(shù)的部分數(shù)列發(fā)散，則稱該級數(shù)發(fā)散，此時該級數(shù)沒有和.級數(shù)收斂的概念真正解決了無限小數(shù)是一個數(shù)理論問題.隨著絕對收斂概念的建立，無限和運算結(jié)合律、交換律、分配率的成立范圍在理論上才得以明確.同樣借助極限，函數(shù)項級數(shù)一致收斂概念建立后，函數(shù)級數(shù)每項具有的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可積性、可微性與其和函數(shù)間才建立了必然聯(lián)系，無限和運算分別與極限運算、定積分運算、求導(dǎo)運算交換次序成為可能.

以上僅借助于導(dǎo)數(shù)的概念、定積分的概念和級數(shù)斂散性定義說明在高等數(shù)學(xué)中極限思想的應(yīng)用.事實上，其他類型的極限概念可以通過類似法進行處理.在教學(xué)過程中，再輔以恰當(dāng)?shù)膶嵗?，使學(xué)生清楚、牢固地掌握極限概念、性質(zhì)，以及相應(yīng)的極限思想和方法.

參考文獻：

[1][美]Walter Rudin.數(shù)學(xué)分析原理.機械工業(yè)出版社，2009.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法.高等教育出版社，1993.

[3]王戈平.數(shù)學(xué)分析選講.中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1991.