朱志明

平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)教學(xué)，一般的流程為：先讓學(xué)生對已知底、高和鄰邊的平行四邊形的面積進行猜想，再組織學(xué)生驗證，最后強化將平行四邊形通過“割補”變成長方形的方法，分析兩種圖形的面積與長、高之間的關(guān)系，從而得出平行四邊形的面積公式。這樣的設(shè)計至少有兩大缺陷，一是難以使“未教先知”的學(xué)生參與探究；二是難以消除學(xué)生“為什么只能通過割補‘轉(zhuǎn)化，而不能通過拉動‘轉(zhuǎn)化”的疑慮，以至于在以后的練習(xí)時，有些學(xué)生頻頻出現(xiàn)用兩鄰邊相乘計算平行四邊形面積的情況。如何改進教學(xué)設(shè)計，彌補這些缺陷呢？筆者作了如下探索和思考。

一、設(shè)疑惑——促進學(xué)生自覺探索怎樣“轉(zhuǎn)化”

【片段一】

呈現(xiàn)情境：淘氣在計算下面的平行四邊形面積時，想到了小曹沖把難以稱的大象，轉(zhuǎn)化成稱容易稱的石頭，便把平行四邊形拉成長方形加以計算。他認(rèn)為平行四邊形可以拉成長是8厘米、寬是5厘米的長方形，于是得出了平行四邊形的面積是40平方厘米的結(jié)論。

板書：

師：你認(rèn)為淘氣的算法對嗎？

（大部分學(xué)生認(rèn)為淘氣的算法對，個別學(xué)生認(rèn)為不對）

師：有什么辦法來說明淘氣的算法對或是不對呢？老師建議以四人小組為單位，取出信封里的材料加以研究（信封里有：大小為1平方厘米的正方形格子圖，有長是8厘米、寬是5厘米的長方形，有底、鄰邊和高分別是8、5和4厘米的平行四邊形，有剪刀等學(xué)具）。

學(xué)生合作交流.

師：經(jīng)過研究，你認(rèn)為淘氣的算法對嗎？

生：不對！

師：請你們說說驗證的方法。

生：我們用數(shù)格子的方法加以驗證。長方形的面積是：8×5=40（平方厘米），而平行四邊形的面積是32平方厘米。

師：這里的“8”和“5”是什么意思？

生：8厘米是長方形的長，5厘米是長方形的寬。

師：從面積單位的意義角度分析，長方形的長8厘米，表示一行占有1平方厘米的小正方形8個，寬5厘米表示占有五行1平方厘米的小正方形。

（課件演示：長方形一行占有8個1平方厘米的小正方形，有五行）

師：平行四邊形的面積你們是怎樣數(shù)的？

生：沒滿1格算半格。

師：如果按照這種數(shù)法，平行四邊形只占一行，有幾個1平方厘米的小正方形，有幾行？

生：一行占有8個1平方厘米的小正方形，有四行。（師課件展示）

師：還有其他驗證方法嗎？

生：我們是用剪拼法加以驗證的。（生一邊說，一邊操作）

板書：

師：前面同學(xué)們說到，用數(shù)格子法算平行四邊形的面積時，不到一格算半格。你們覺得有沒有更好的數(shù)法？

生：用割補后再數(shù)。（生展示后，課件再次演示）

【反思】在平時的實踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對四邊形的變形是有疑惑的，總認(rèn)為“把平行四邊形拉成長方形只是形狀變了，而周長和面積不變”。創(chuàng)設(shè)上述情境，旨在讓學(xué)生在“大疑”中，引發(fā)矛盾沖突，產(chǎn)生探究動機，激發(fā)探究熱情。不僅使得“平行四邊形怎樣轉(zhuǎn)化就可以求得面積”成為學(xué)生自覺的追求，而且糾正了學(xué)生原有的把平行四邊形拉動“轉(zhuǎn)化”成長方形面積不變的錯誤經(jīng)驗，還使學(xué)生初步明確“割補”等積“轉(zhuǎn)化”的策略。

二、深思考——讓學(xué)生理解為什么要這樣“轉(zhuǎn)化”

【片段二】

師：為什么把平行四邊形拉成長方形面積會增大呢？

生：原來平行四邊形中長為5厘米的一條邊變成了長方形的寬，也可以說原來高是4厘米變成了5厘米，高增大了，而底沒有變。

師：如果把平行四邊形像這樣拉下去（如下圖），所得到的平行四邊形與原平行四邊形比較面積會怎樣呢？

生：面積越來越小，甚至為零。

師：為什么呢？

生：高越來越小，甚至為零。

師：剛才，我們研究了用拉的方法把平行四邊形變成長方形，從而求得面積不行。那么，平行四邊形怎樣轉(zhuǎn)化可以求得面積呢？

生：沿高剪開拼成長方形。

（教師一邊比畫，一邊問：沿這樣的高剪開可以嗎？沿這樣的高剪開可以嗎？……教師再一邊比畫，一邊問：這樣拼行嗎？……）

小結(jié)：沿內(nèi)高剪開平移拼成長方形。

師：沿內(nèi)高剪開平移拼成的長方形與原來的平行四邊形比較面積相等嗎？為什么？

生：面積相等。因為這個長方形是由平行四邊形剪開平移拼成的，兩者相比較不多也不少。

師：通過剛才的研究，我們明白了平行四邊形可以割補成一個面積相等的長方形。請同學(xué)們觀察下面的平行四邊形，說說每個圖形會與長和寬分別是多少的長方形面積一樣大，并指出是怎樣轉(zhuǎn)化的。

學(xué)生回答、比畫、想象后，電腦演示割拼過程：

師：根據(jù)這些平行四邊形割補情況，請同學(xué)們大膽地猜想：平行四邊形的面積可以怎樣計算？

生：平行四邊形的面積等于底乘高。

師：為什么可以這樣計算？

生：因為長方形的面積等于長乘寬，平行四邊形與沿高剪開拼成的長方形相比較：平行四邊形的高與長方形的寬相等，平行四邊形的底與長方形的長相等，而兩個圖形的面積相等。

板書：

師：在平行四邊形的面積公式中，你覺得知道什么可以求什么？公式是怎樣的？

生：知道底和面積可以求高，h=s÷a……

【反思】“思考” 是經(jīng)驗獲得的重要環(huán)節(jié)。上述的深層探討、猜想與類推等思考活動，使學(xué)生把具體操作內(nèi)化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的求平行四邊形面積的公式，不僅使學(xué)生對“轉(zhuǎn)化”知其然，而且知其所以然。其中，“類推其他平行四邊形的割補過程”的活動，先讓學(xué)生思考、想象，再演示“規(guī)范”的電腦動作來準(zhǔn)確引導(dǎo)學(xué)生動作思維的走向，既促使學(xué)生在“特殊化歸為一般”的深刻體會中逐步內(nèi)化為抽象的經(jīng)驗，還關(guān)注了空間觀念的培養(yǎng)。

三、巧拓展——催生學(xué)生提升、應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗

【片段三】

師：今天你學(xué)會了什么？

生：我學(xué)會了計算平行四邊形面積的公式。我學(xué)會求平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法：沿高剪開平移轉(zhuǎn)化成長方形。

師：是不是一定要沿內(nèi)高剪開平移才能轉(zhuǎn)化成長方形呢？

生：也可以剪一小塊旋轉(zhuǎn)而成。

師：應(yīng)怎樣剪呢？

生：沿中點剪，剪縫要垂直另一組對邊。

師：這樣的剪法一定要通過旋轉(zhuǎn)才能拼成長方形嗎？請你們試一試。

生：這樣的剪法，用平移、旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化成長方形。

課件演示：

師：為什么要轉(zhuǎn)化呢？

生：平行四邊形面積的計算公式是要研究的新內(nèi)容，而長方形面積的計算公式是已經(jīng)知道的內(nèi)容。

板書：未知→已知

師：“轉(zhuǎn)化”這一好方法，對你今后的學(xué)習(xí)有什么啟示呢？

生：三角形通過剪拼，看一看能否轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而求得面積。

生：能否把兩個完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而求得三角形的面積。

……

師：這些方法是否可行，請同學(xué)們加以研究。

【反思】應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的核心成分，正如朱德全教授指出的“應(yīng)用意識的生成便是知識經(jīng)驗形成的標(biāo)志”。在上述教學(xué)中，教師拓展了把平形四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的方法，為學(xué)生探索三角形和梯形的面積計算公式打開了思路；關(guān)注了學(xué)生應(yīng)用意識與應(yīng)用能力的培養(yǎng)，加深了學(xué)生對“轉(zhuǎn)化思想” 的本質(zhì)理解和“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗的積累。

（浙江衢州市衢江區(qū)教研室 324000）