韋瑜

摘要：在全面提倡素質(zhì)教育的今天，數(shù)學(xué)證明在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能兩方面起著非常重要的作用。但是，初中生在數(shù)學(xué)證明學(xué)習(xí)中，會(huì)出現(xiàn)明顯的兩極分化。這種差異絕不僅僅是由學(xué)生單方面造成的，數(shù)學(xué)證明的教學(xué)工作也有著很大的關(guān)系。研究初中數(shù)學(xué)證明教學(xué)工作的相關(guān)問(wèn)題，對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量有著重要意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)證明題；教學(xué)思路；解題步驟

一、 初中數(shù)學(xué)證明題教學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)證明是以一些基本概念和公理為基礎(chǔ)，使用合乎邏輯的推理去決定判斷是否正確。數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值應(yīng)該體現(xiàn)在三方面：一是知識(shí)方面，數(shù)學(xué)證明能加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念和定理的理解；二是思維方面，數(shù)學(xué)證明能訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力；三是文化方面，數(shù)學(xué)證明能夠讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神，學(xué)會(huì)理性思考問(wèn)題。最新的北師大版初中數(shù)學(xué)教材中，《證明》占了三章，這樣的安排是想讓學(xué)生通過(guò)對(duì)主要圖形的性質(zhì)及相互關(guān)系進(jìn)行大量的探索，同時(shí)，使學(xué)生在推理的過(guò)程，進(jìn)行邏輯推理的訓(xùn)練，從而具備一定的推理能力，為今后的推理證明打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、 初中數(shù)學(xué)證明題的教學(xué)步驟

初中數(shù)學(xué)證明不僅是學(xué)習(xí)重點(diǎn)，更是學(xué)習(xí)難點(diǎn)，很多同學(xué)對(duì)證明題的解答無(wú)從著手，還有一部分學(xué)生雖然了解解題思路，但證明過(guò)程的敘述表達(dá)混亂，因此，教學(xué)中如何教導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題思路和解題技巧就顯得非常重要。下面談?wù)劰P者的教學(xué)步驟：

（1）讀題

筆者認(rèn)為，應(yīng)將讀題分為三個(gè)層次：第一層是粗讀，快速瀏覽題目，了解題目要求；第二層是細(xì)讀，在了解題目要求后，進(jìn)行有針對(duì)性地讀題，目的是弄清題設(shè)和結(jié)論，明白已知什么、需要證明什么。[1]如果題中給出的條件不是一目了然即有隱含條件的——這類(lèi)題是證明題中的難點(diǎn)，教師一定要指導(dǎo)學(xué)生如何去挖掘它們；第三層是記憶復(fù)述。在粗讀和細(xì)讀的基礎(chǔ)上，要做到能夠用自己的話(huà)語(yǔ)把原題的意思復(fù)述出來(lái)。能夠做到第三層，才算讀題完成。對(duì)于讀題這環(huán)，必須嚴(yán)格按照前面三環(huán)執(zhí)行，因?yàn)樵趯?shí)際證題的時(shí)候，學(xué)生之所以找不到證明的思路或方法，就是學(xué)生漏掉題中某些已知條件或?qū)㈩}中某些已知條件記錯(cuò)，如果能夠?qū)⒁阎獥l件記在心里并能復(fù)述出來(lái)就可以避免這種情況的發(fā)生。

（2）分析

教師要通過(guò)啟發(fā)性的語(yǔ)言或提問(wèn)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，學(xué)生在教師指導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)一系列的判斷、比較、選擇，以及相應(yīng)的分析、綜合、概括等，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路和方法，最后通過(guò)總結(jié)，掌握證明的思路和方法

（3）演示

教師在解題過(guò)程中，一定要給學(xué)生作證題的書(shū)寫(xiě)演示，并且必須嚴(yán)格要求自己，使學(xué)生今后能夠模仿這種合理、規(guī)范、科學(xué)地書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。

（4）變式練習(xí)

在獲得某種基本的證明方法后，教師可以通過(guò)改變問(wèn)題中的條件、變換求證的結(jié)論、改變圖形的形狀等多種途徑，讓學(xué)生去自行求證，通過(guò)這種方式，指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的層次去思考問(wèn)題。[2]通過(guò)變式訓(xùn)練，能夠展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的完整認(rèn)知過(guò)程。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者深深體會(huì)到變式教學(xué)的妙處，它非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生可以把學(xué)到的方法靈活應(yīng)用于各種題目中去，這既培養(yǎng)了學(xué)生靈活多變的思維方法，又提高了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

三、 初中數(shù)學(xué)證明題的解題步驟

教師在具體教學(xué)實(shí)踐中，要把上述的教學(xué)步驟作為自己的教學(xué)思路，同時(shí)，老師必須讓學(xué)生通過(guò)具體的解題過(guò)程來(lái)指導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題步驟和技巧。下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何教導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)證明題。

[例題]證明：等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等

1. 弄清題意——復(fù)雜語(yǔ)言簡(jiǎn)單化

此為“文字型”數(shù)學(xué)證明題，既沒(méi)有圖形，也無(wú)直觀的已知與求證。如何弄清題意呢？根據(jù)上面所講述的“三讀法”，找到命題的條件與結(jié)論至關(guān)重要，特別是隱形條件，這是解題成敗的關(guān)鍵。[3]然后用自己的語(yǔ)言表述成：如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線(xiàn)，那么這兩條平分線(xiàn)長(zhǎng)度相等。這樣題目要求我們做什么就非常清晰了。

2. 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形——已知條件圖形化。

所謂已知條件圖形化，就是利用各種不同的符號(hào)將已知條件在圖形中直觀地表示出來(lái)。圖形對(duì)解決證明題，能起到直觀形象的提示，所以畫(huà)圖因盡量與題意相符合。并且把題中已知的條件，能標(biāo)在圖形上的盡量標(biāo)在圖形上。

3. 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與符號(hào)寫(xiě)出已知和求證——文字語(yǔ)言符號(hào)化。

已知、求證必須用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)表示。

已知：在△ABC中，AB=AC， BD、CE分別是△ABC的角平分線(xiàn)。

求證：BD=CE

4. 綜合分析已知、求證與圖形，找到思路——分析過(guò)程綜合化。

對(duì)于證明題，通常有兩種思維方式：

（1）正向思維。對(duì)于一般的題目，通過(guò)正向思考可以輕易解答，這里就不贅述了。

（2）逆向思維，即從相反的方向思考問(wèn)題。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)很少，關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用，對(duì)于初中數(shù)學(xué)證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。[4]同學(xué)們?cè)谧x完一道題的題干后，感覺(jué)無(wú)從下手的話(huà)，可以先從結(jié)論出發(fā)，慢慢推導(dǎo)出已知條件，從這個(gè)過(guò)程中就得出了解題的思路，最后把過(guò)程反著寫(xiě)出來(lái)就行了。

5. 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與符號(hào)寫(xiě)出證明的過(guò)程——文字語(yǔ)言符號(hào)化

證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用要求較高，在講解時(shí)，要提醒學(xué)生任何的“因?yàn)椤⑺浴?，在?shū)寫(xiě)是都要符合公理、定理、推論或以已知條件相吻合，不能無(wú)中生有，必須要有根有據(jù)。

證明：

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）

∵BD、CE分別是△ABC的角平分線(xiàn)（已知）

∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB（角平分線(xiàn)的定義）

∴∠1=∠2（等量代換）

在△BEC與△CDB中，

∵∠ACB=∠ABC， BC=CB， ∠1=∠2

∴△BEC≌△CDB（ASA）

∴BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

6. 檢查證明的過(guò)程，看看是否合理、正確

任何正確的步驟，都有相應(yīng)的合理性和與之相應(yīng)證的公理、定理、推論，證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)完畢后，對(duì)證明過(guò)程的每一步進(jìn)行檢查，是非常重要的，是防止證明過(guò)程出現(xiàn)遺漏的關(guān)鍵。最后，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)中要敢于嘗試，多分析，多總結(jié)。

顯然，初中數(shù)學(xué)證明的教學(xué)效果的提升，需要教師和同學(xué)的一致努力，教師們需要尋找更好的教學(xué)方式，同學(xué)們需要把教師的講解好好吸收，最終，才能達(dá)到最理想的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 潘小明.現(xiàn)代教育技術(shù)條件下優(yōu)化初中數(shù)學(xué)證明教學(xué)[J]. 中小學(xué)信息技術(shù)教育. 2006（Z1）

[2] 王芳霞. 例談藏族學(xué)生在數(shù)學(xué)證明表述上常犯的錯(cuò)誤[J]. 西藏教育. 2010（11）

[3] 胡炳生. 略談數(shù)學(xué)證明的文化意義[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志. 2003（07）

[4] 方勤華. 教好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要視角——理解推理論證能力[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào). 2010（01）