方志平

摘 要：向量的數(shù)量積是兩個向量間的一種乘法運(yùn)算，數(shù)量積隱含著一種不等量的關(guān)系，即a·b≤a·b，而這種不等量的關(guān)系可用來證明不等式. 解決此類問題的基本方法是構(gòu)造法，因此解題的關(guān)鍵是從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，巧妙構(gòu)造向量.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；向量；數(shù)量積；不等式

我們常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點(diǎn)，常用的一些證法很難奏效. 這時我們不妨變換思維角度，從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄浚胊·b≤a·b（當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線時等號成立）這一特殊性質(zhì)解題，可避免繁雜的湊配變形技巧，起到事半功倍的效果！本文通過構(gòu)造向量巧解數(shù)學(xué)競賽題，以拋磚引玉，引起中學(xué)生對向量的工具性的重視.

評注：依條件先將求證的結(jié)論進(jìn)行等價變形，考慮題設(shè)與變形結(jié)論的特點(diǎn)，巧妙構(gòu)造空間向量，利用m·n≤m·n這一特殊性質(zhì)證明不等式，起到化繁為簡，化難為易，解法新穎，事半功倍的效果！

向量融數(shù)形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份，是解決幾何問題的銳利武器，同時它也是解決具有特定結(jié)構(gòu)的代數(shù)問題的重要工具. 對一些具有特定結(jié)構(gòu)的不等式的證明，認(rèn)真分析不等式的條件和結(jié)論，運(yùn)用構(gòu)造向量的方法解決不等式問題，不但可以深化對向量的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識和理解，而且可以溝通數(shù)學(xué)中不同知識內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，為解決數(shù)學(xué)競中一些不等式問題提供一種行之有效的新方法. 另外，不失時機(jī)地運(yùn)用m·n≤m·n這一特殊性質(zhì)解決問題，不但能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)造性思維，而且能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無窮樂趣和無限魅力！