課堂參考

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì) 創(chuàng)造性

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）06B-0041-02

經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)，筆者發(fā)現(xiàn)初中學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握還是比較牢固的，但對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)潛在的內(nèi)在規(guī)律的挖掘還有所欠缺。那么，如何更好地引導(dǎo)學(xué)生挖掘相關(guān)知識(shí)點(diǎn)潛在的內(nèi)在規(guī)律呢？筆者認(rèn)為，改變以往死板的教學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)造性地撰寫教學(xué)設(shè)計(jì)，在基礎(chǔ)知識(shí)掌握牢固的基礎(chǔ)上，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生，教會(huì)學(xué)生如何去總結(jié)內(nèi)在規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)更加透徹。下面筆者以人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《三角形》這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為例，與同仁們一起探討。

《全等三角形》中，有這樣的一個(gè)問(wèn)題：如何把一個(gè)三角形劃分成若干個(gè)小三角形，使得這些小三角形都是全等三角形？構(gòu)成這些小三角形的頂點(diǎn)到底是一些什么樣的點(diǎn)？構(gòu)成這些小三角形的邊到底是一些什么樣的線段？學(xué)生們一開(kāi)始一頭霧水，不知道從哪方面著手考慮。這時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生：我們不妨先從特殊的情況來(lái)討論，看能不能推及一般，也就是，尋找三角形的頂點(diǎn)，先討論這些點(diǎn)會(huì)不會(huì)是三角形各邊的二等分點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)……直至n等分點(diǎn)。

（1）若分別取△ABC各邊的二等分點(diǎn)D、E、F，連線（如圖1）。顯然，利用三角形中位線的性質(zhì)定理，可以推理證明△ABC被分成四個(gè)全等的三角形，并且全等三角形的個(gè)數(shù)與三角形的邊被等分的數(shù)量關(guān)系是：4=22；

圖1

（2）若分別取△ABC各邊的三等分點(diǎn)D、E、F、G、H、I，連線（如圖2）。顯然△ABC被分成9個(gè)全等的三角形，并且全等三角形的個(gè)數(shù)與三角形的邊被等分的數(shù)量關(guān)系是：9=32；

圖2

（3）若分別取△ABC各邊的四等分點(diǎn)D、E、F、G、H、I、J、K、L，連線（如圖3）。顯然△ABC被分成16個(gè)全等的三角形，并且全等三角形的個(gè)數(shù)與三角形的邊被等分的數(shù)量的關(guān)系是：16=42；

圖3

由（1）～（3）可總結(jié)出：把任意一個(gè)三角形的各邊n等分，分別過(guò)這些等分的點(diǎn)作各邊的平行線，就能把原來(lái)的三角形分成n2個(gè)全等的三角形。

在教學(xué)完這一內(nèi)容之后，筆者給了大約10分鐘的時(shí)間讓學(xué)生們討論，在總結(jié)規(guī)律時(shí)，有的學(xué)生說(shuō)：“看似很普通的問(wèn)題，竟然也隱含了這樣的奧妙與玄機(jī)，我覺(jué)得很新奇?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“復(fù)雜的問(wèn)題原來(lái)可以從簡(jiǎn)單、特殊的問(wèn)題開(kāi)始探討，然后總結(jié)規(guī)律?！币灿械膶W(xué)生說(shuō)：“原來(lái)復(fù)雜的問(wèn)題可以簡(jiǎn)單化，可以從特殊推及一般，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題背后所隱藏的規(guī)律性，數(shù)學(xué)真是太不可思議、太奇妙了?！?/p>

學(xué)生能有這樣的感悟，我想，這已經(jīng)達(dá)成了教師的起始愿望，激起了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的思維。這樣的感悟和思維，對(duì)本人來(lái)說(shuō)是促進(jìn)和提高，對(duì)學(xué)生來(lái)講，能在有限的課堂進(jìn)行更具創(chuàng)造性、開(kāi)拓性的學(xué)習(xí)，對(duì)拓展思維起到了積極的促進(jìn)作用。

又如，如何把一個(gè)三角形分成面積相等的若干部分，每一部分是原來(lái)面積的幾分之幾？

有了以上問(wèn)題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生就懂得了分成以下幾種情況討論：

（1）（如圖4）△ABC中，作BC邊上的中線AD，顯然△ABD中BD邊上的高與△ADC中DC邊上的高都是△ABC中BC邊上的高，所以△ABD與△ADC就構(gòu)成了等底同高現(xiàn)象，因此△ABD的面積與△ADC的面積相等，都等于△ABC面積的二分之一；

圖4

（2）（如圖5）△ABC中，點(diǎn)D、E是BC上的三等分點(diǎn)，連接AD、AE，顯然△ABD、△ADE與△AEC也構(gòu)成了等底同高的現(xiàn)象，所以△ABD、△ADE、△AEC的面積都相等，都等于△ABC面積的三分之一。

圖5

（3）與（1）、（2）類似，若取三角形任何一邊的n等分點(diǎn)，如△ABC中BC邊的n等分點(diǎn)，則能把△ABC分成n個(gè)面積相等的三角形，并且每個(gè)三角形的面積都是△ABC面積的n分之一。

可見(jiàn)，探索規(guī)律既是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解概括，也是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的拓展和延伸，它既有利于學(xué)生記憶力的加強(qiáng)，也有利于學(xué)生活躍的思維能力的培養(yǎng)，進(jìn)而拓展學(xué)生的視野。我們?cè)倏聪旅娴倪@一例子：華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）第十九章《全等三角形》中，書本上有這樣的一道題：

已知：（如圖6），△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC上的點(diǎn)，并且AD=BE=CF。求證：△ABC是等邊三角形。

圖6

這一道題，其實(shí)是在等邊三角形中如何再形成新的等邊三角形的問(wèn)題。由于筆者一直關(guān)注數(shù)學(xué)的規(guī)律性，于是就思考到：能不能在這一道題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出開(kāi)放性的問(wèn)題，并且讓問(wèn)題的出現(xiàn)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，層層深入，讓各個(gè)層次的學(xué)生都能參與進(jìn)來(lái)。于是，我對(duì)這一內(nèi)容的教學(xué)作了以下的設(shè)計(jì)：

第一步：提問(wèn)。在一個(gè)等邊三角形中去構(gòu)造新的等邊三角形，主要有什么方法？教師啟發(fā)學(xué)生回憶和思考。

有的學(xué)生答：在一個(gè)等邊三角形中去構(gòu)造新的等邊三角形，可以考慮用哪三點(diǎn)來(lái)圍成等邊三角形，也可以考慮用哪三條線段圍成等邊三角形。

教師進(jìn)一步給予補(bǔ)充：探索問(wèn)題可不可以先從特殊的情況出發(fā)，看能不能過(guò)渡到一般，考查特殊的問(wèn)題是基礎(chǔ)，找出一般的規(guī)律是對(duì)基礎(chǔ)的發(fā)展。

第二步：從特殊的點(diǎn)開(kāi)始。

①（如圖7）：若取△ABC各邊的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、FD，則通過(guò)三角形中位線的性質(zhì)，可以推理證明△DEF是等邊三角形。

圖7

②（如圖8），若取△ABC各邊的三等分點(diǎn)，連接如圖，通過(guò)證明三角形全等，可以推理論證△DEF是等邊三角形。

圖8

③（如圖9）若取三角形邊上的點(diǎn)D、E、F不是特殊的點(diǎn)，但只要滿足AD=BE=CF，也能夠推理證明：△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），進(jìn)而推出DE=EF=FD，從而證明△DEF是等邊三角形。

圖9

第三步：與學(xué)生一起總結(jié)概括。在等邊三角形的三邊上取三個(gè)點(diǎn)D、E、F，如果滿足條件：AD=BE=CF，這樣得到的等邊三角形DEF具有一般性，它能代表在三邊上取點(diǎn)構(gòu)造的所有的等邊三角形。教師對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和較高的評(píng)價(jià)，并補(bǔ)充道：一般包含了特殊的問(wèn)題，而特殊寓于一般之中。

如果由一個(gè)等邊三角形發(fā)展到兩個(gè)等邊三角形，我們還能在這兩個(gè)等邊三角形上取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，構(gòu)造出等邊三角形嗎？

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣的兩個(gè)等邊三角形可能有怎樣的位置關(guān)系呢？大多數(shù)學(xué)生想出如下可能位置關(guān)系：小三角形在外、在內(nèi)、平行、交叉等七八種位置關(guān)系。

對(duì)這樣的一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)教師創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓不同層次的學(xué)生都有感觸、有收獲，并且深刻地感受到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題背后所隱藏的規(guī)律性，體會(huì)到數(shù)學(xué)的美妙。學(xué)生在這里由于體會(huì)和發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的規(guī)律性，他們自然而然就會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣，從而推動(dòng)學(xué)生積極地鉆研數(shù)學(xué)。這樣，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不是靠外在賞罰力量來(lái)強(qiáng)化，而是由對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞而產(chǎn)生了興趣、愛(ài)好，由此內(nèi)化為一種潛在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。這種潛在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是推動(dòng)學(xué)生進(jìn)步的最根本的源泉和力量。

（責(zé)編 林 劍）