從對(duì)模型的感知走向?qū)δＰ偷膬?yōu)化

白雷

一、案例背景

數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式以及圖像、圖表等描述客觀事物特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域都有體現(xiàn)，但不同知識(shí)內(nèi)容其背后所蘊(yùn)含的思想方法也不同。筆者在上學(xué)期的一次校際聯(lián)賽和教壇新苗展示活動(dòng)中所執(zhí)教的四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的“方陣問題”，無疑是體現(xiàn)模型思想的一個(gè)典型素材?！胺疥噯栴}”是以現(xiàn)實(shí)生活中的方陣為題材，對(duì)封閉情況下“植樹問題”的再研究和具體運(yùn)用，通過對(duì)方陣中“每邊數(shù)量”“邊數(shù)”“總數(shù)”的自主探究，探索出此類問題中各數(shù)量之間存在的數(shù)量關(guān)系。在此過程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷虢⒌囊话氵^程，感受數(shù)學(xué)模型的魅力。以下是筆者兩次磨課的詳細(xì)再現(xiàn)與反思。

二、兩次磨課過程

第一次教學(xué)實(shí)踐

1.課前游戲，滲透新知

游戲：教師請(qǐng)8位同學(xué)上講臺(tái)來排出幾種不同的正方形，目的在于讓學(xué)生排出以下兩種正方形，讓學(xué)生初步感受站在四個(gè)角上的人有重復(fù)的情況。

2.創(chuàng)設(shè)情境，感受新知

師出示下圖：

請(qǐng)按從左往右或從上往下的順序讀出下面的各句話。

教師主要以“每句話4個(gè)字，4句話應(yīng)該一共有4×4=16個(gè)字，為何該處只有12個(gè)字？”為矛盾的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考、分析，進(jìn)而按自己的想法來列算式計(jì)算這里的總字?jǐn)?shù)，并且結(jié)合圈一圈的方法解釋自己的算式。

例如：算式：4×4-4=12。

圖釋：

算式：4×2+2×2，3×4…（圖略）

現(xiàn)場(chǎng)情況說明：課前的游戲和情境所創(chuàng)設(shè)的游戲?qū)W生都很喜歡，而且參與的積極性也很高，但是學(xué)生對(duì)信息背后的數(shù)學(xué)知識(shí)并不太感興趣，導(dǎo)致該環(huán)節(jié)花時(shí)17分鐘，嚴(yán)重影響教學(xué)的進(jìn)度以及學(xué)生思維的速度與深度。

3.主動(dòng)探究，建構(gòu)新知

在上述情境的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生先自主學(xué)習(xí)，再合作學(xué)習(xí)，要求如下：

該環(huán)節(jié)先讓學(xué)生獨(dú)立思考，探究解決方法，再交流互動(dòng)，展示各種算式并讓學(xué)生結(jié)合圖來解釋算理。

4.歸納總結(jié)，構(gòu)建模型

上述活動(dòng)完成后，在所得到的各種方法中讓學(xué)生說說自己認(rèn)為哪種方法更適合自己、更加簡(jiǎn)便。緊接著將每邊的棋子數(shù)改為8顆，再進(jìn)行嘗試解決。

學(xué)生自主探究和合作交流完成后，請(qǐng)多名學(xué)生展示算式，并用圖解釋算理，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對(duì)前面材料的思考，歸納總結(jié)出解決該類問題的通用方法。

所歸納總結(jié)出來的通法為：

（1）每邊上的顆數(shù)×4-4=總數(shù) 。

（2）（每邊上的顆數(shù)-1）×4=總數(shù)。

5.拓展練習(xí)，鞏固模型（略）

反思評(píng)析

1.在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，教師采用游戲的形式開展教學(xué)，游戲?qū)W(xué)生的課堂積極性有一定的促進(jìn)作用，但是部分學(xué)生沉浸在游戲之中，導(dǎo)致不能很好地將注意力集中到將要學(xué)習(xí)的知識(shí)上來，游戲的熱度減緩了切入重點(diǎn)知識(shí)教學(xué)的速度，沖淡了學(xué)生思考的深度。

2.本節(jié)課所選取的素材單一且雷同，在課前游戲和創(chuàng)設(shè)情境及主動(dòng)探究環(huán)節(jié)，均采用四邊形這樣單調(diào)的材料，只在“每邊上的數(shù)量”這個(gè)單一的維度上進(jìn)行變式，能讓學(xué)生感知規(guī)律和歸納總結(jié)的素材不夠多、不夠廣，說服力又不夠強(qiáng)，學(xué)生對(duì)于建模過程的體驗(yàn)自然也就不夠豐富，造成學(xué)生在根據(jù)所體驗(yàn)的素材進(jìn)行歸納總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型之時(shí)顯得吃力，且僅僅是歸納出每邊上的顆數(shù)×4-4=總數(shù)和（每邊上的顆數(shù)-1）×4=總數(shù)，而不是：每邊上的顆數(shù)×邊數(shù)-重復(fù)的數(shù)=總數(shù)和（每邊上的顆數(shù)-1）×邊數(shù)=總數(shù)。因此，在學(xué)生解決如“一個(gè)五邊形花壇，每邊上擺7盆花，每個(gè)頂點(diǎn)擺1盆，請(qǐng)問一共需要多少盆花”時(shí)，部分學(xué)生顯得無從下手，一些學(xué)生仍然是依葫蘆畫瓢地運(yùn)用所建立的模型，簡(jiǎn)單地將問題處理為（7-1）×4=24和7×4-4=24，由此可見，學(xué)生所建立的模型過于特殊，過于單一，不具有一般性。

3.本節(jié)課時(shí)間上的安排不合理，輕重不得當(dāng)，原本應(yīng)以探究與建模環(huán)節(jié)為重點(diǎn)的教學(xué)過程，卻因受創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)的影響，使得建模過程不突出，嚴(yán)重影響本節(jié)課的質(zhì)量。

鑒于此，可以清晰地發(fā)現(xiàn)學(xué)生本次建模過程是失敗的，大部分學(xué)生還未真正理解所建立的模型背后所蘊(yùn)含的知識(shí)、方法。綜合上述種種不足，筆者通過查閱課本和教參，思考該課的問題所在，漸漸地有了些許的感悟，于是進(jìn)行了修改，在教壇新苗展示課上再次實(shí)踐。

第二次教學(xué)實(shí)踐

再次教學(xué)實(shí)踐前，備課思考的焦點(diǎn)在于：

1.如何選取素材，可以直接切入重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)，并且能讓學(xué)生體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程？

2.如何用好素材，通過對(duì)同一素材的變式，能讓學(xué)生多層次、多維度地充分體驗(yàn)建模的過程，讓學(xué)生充分感受變量與不變量之間所存在的聯(lián)系，進(jìn)而思考、分析、歸納、總結(jié)出解決該類問題的通用方法（即建模）？

3.如何合理安排時(shí)間，使得一節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)輕重得當(dāng)？

修改一：情境引入，簡(jiǎn)明扼要，直入主題

師出示下圖：

教師出示廣播操圖片，將其轉(zhuǎn)化成方陣圖，讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而引出空心方陣的問題。

修改二：突出重點(diǎn)，多重體驗(yàn)，建立模型

在學(xué)生提出問題之后，教師提供給學(xué)生自主探究的空間，要求如下：

在學(xué)生完成列式之后，請(qǐng)列出不同算式的學(xué)生展示作品，向同學(xué)講出自己的想法，大致方法有：6×4-4、（6-1）×4、6×2+2×4、4×4+4等，然后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法，用圈一圈的形式來解釋算理。

在學(xué)生對(duì)以上圖形徹底分析清楚的基礎(chǔ)上，為使學(xué)生充分體驗(yàn)建模過程，教師按“每邊上的人數(shù)”這個(gè)維度進(jìn)行變式：

變式1：一個(gè)方陣，最外層每條邊上站56人，最外層一共站了多少人？

變式2：一個(gè)方陣，最外層每條邊上站111人，最外層一共站了多少人？

數(shù)一變大，學(xué)生便自然選擇前兩種方法進(jìn)行計(jì)算，如此不僅可以“水到渠成”地優(yōu)化算法，還可以為后續(xù)的建模埋下伏筆。

在經(jīng)歷第一個(gè)維度的變式之后，教師提供素材，讓學(xué)生經(jīng)歷第二個(gè)維度“邊的數(shù)量”的變式，目的在于讓學(xué)生充分感受建模的過程，以便準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型。

變式3：一個(gè)三角形，頂點(diǎn)上站1人，每邊上站6人，一共站了多少人？

變式4：一個(gè)五角形，頂點(diǎn)上站1人，每邊上站6人，一共站了多少人？

嘗試解決反饋后，教師呈現(xiàn)兩種不同維度發(fā)生變化的習(xí)題圖示與解法，讓學(xué)生先獨(dú)立思考再小組合作進(jìn)行充分感知、觀察、分析、歸納、總結(jié)， 如此學(xué)生便較為輕松地得出：

1.每邊上的人數(shù)×邊數(shù)-重復(fù)的數(shù)=最外層的總數(shù)。

2.（每邊上的人數(shù)-1）×邊數(shù)=最外層的總數(shù)。

修改三：拓展延伸，應(yīng)用模型，感受價(jià)值

教師出示生活中的方陣問題（以五邊形花壇和棋盤問題為例），通過“現(xiàn)在小圓點(diǎn)代表什么”“你是怎么想的”等問題，讓學(xué)生感受到剛才所建立方陣問題的數(shù)學(xué)模型所具有的廣泛意義和重要價(jià)值。

題1：一個(gè)五邊形花壇，每邊擺4盆花，頂點(diǎn)處都擺1盆，一共需要多少盆？

題2：一個(gè)圍棋棋盤，最外層每邊上能擺19顆棋子，那么最外層一共能擺多少顆棋子？

變式1：那么往里一層一共能擺多少顆呢？

變式2：有一層上一共擺了48顆圍棋，那么它每邊上擺了多少顆棋子？

反思評(píng)析

1.出于創(chuàng)設(shè)情境需激發(fā)建模的興趣，以及數(shù)學(xué)模型都是具有現(xiàn)實(shí)生活背景等要素考慮，本節(jié)課以本校前段時(shí)間廣播體操比賽為素材，直接引入課題，簡(jiǎn)明扼要地提出需要研究的問題，如此以現(xiàn)實(shí)生活中的具體情境為素材進(jìn)行引入，顯得比較自然。再者，從具體的現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題與知識(shí)，進(jìn)而進(jìn)行思考、分析、研究來解決現(xiàn)實(shí)生活中所存在的確切的問題，也是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)關(guān)鍵要素，且顯得建模具有一定的意義和價(jià)值。

2.本次教學(xué)實(shí)踐吸取初始教學(xué)實(shí)踐的教訓(xùn)，在學(xué)生建模的過程中，提供了充分的素材讓學(xué)生去感受和體驗(yàn)，并且分配好變量變化的順序，按“每邊上的數(shù)量”和“邊的數(shù)量”兩個(gè)維度由淺入深逐一進(jìn)行變化，讓學(xué)生充分感知當(dāng)一個(gè)量不變、另一個(gè)量發(fā)生變化時(shí)所引起的變化，透析變與不變之精髓。學(xué)生通過比較、分析、綜合、歸納、總結(jié)等思維活動(dòng)，將本質(zhì)屬性抽取出來，進(jìn)而逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境，最終自主歸納、概括出不同形狀 “方陣問題”的解決辦法。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生學(xué)到了相關(guān)知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)與驗(yàn)證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過程。

3.本次教學(xué)在練習(xí)的設(shè)計(jì)上先讓學(xué)生運(yùn)用模型解決問題，再讓學(xué)生感知其實(shí)在生活中也是存在許多的方陣問題，只要認(rèn)真去觀察就能發(fā)現(xiàn)；并且以五邊形花壇和棋盤問題為代表，讓學(xué)生運(yùn)用自己親自建立的數(shù)學(xué)模型來解決生活中的數(shù)學(xué)問題，即讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)所帶來的成功的喜悅，又體現(xiàn)所建立的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值和簡(jiǎn)捷性。

三、案例反思

（一）提出問題，感知模型

新課標(biāo)從原先的“兩能”擴(kuò)充到現(xiàn)在的“四能”，明確指出了提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的重要性。因此，在教學(xué)中教師就應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡及心理特征，為兒童提供有趣的、可探索的、與學(xué)生生活密切聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)他們有興趣地走進(jìn)情境中，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而引起學(xué)生求解的欲望；同時(shí)在利用原有的生活、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來感受其中隱含數(shù)學(xué)問題的過程中，促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。如情境引入時(shí)，通過觀察體操隊(duì)列引導(dǎo)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而將體操隊(duì)列抽象成圓點(diǎn)圖展開探究。

（二）充分體驗(yàn)，建立模型

在本課教學(xué)實(shí)踐過程中，教師提供豐富的體驗(yàn)材料，通過對(duì)“每邊上的數(shù)量”“邊的數(shù)量”等變量的改變，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、討論、建模、解決實(shí)際問題，使學(xué)生在充分體驗(yàn)和感知的基礎(chǔ)上透過紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，抽象、概括其本質(zhì)，從而建立起某種特定的數(shù)量關(guān)系，使“方陣問題”完成從幾何圖形到直觀的數(shù)學(xué)模型、再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。通過數(shù)學(xué)建模使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建立過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（三）享受成果，運(yùn)用模型

運(yùn)用所建立的模型解決問題，讓學(xué)生感知其實(shí)在生活中也是存在許多與所建立的模型相關(guān)的問題，只要認(rèn)真去觀察就能發(fā)現(xiàn)。如鞏固練習(xí)中在“花壇上擺花”“蛋糕上放置水果”以及“棋盤中的問題”等現(xiàn)實(shí)問題的解決過程中，通過“現(xiàn)在的小圓點(diǎn)代表什么”這一問題，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)在課堂中所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不僅適用于隊(duì)列方陣，其實(shí)還適用于生活中其他很多方面，從而感受數(shù)學(xué)模型的一般性和應(yīng)用的廣泛性。再者，通過一些練習(xí)的變式，如“棋盤有一層上一共擺了48顆圍棋，那么它每條邊上擺了多少顆棋子”等需要逆向思考的題目，學(xué)生在用自己親自建立的數(shù)學(xué)模型來解答問題時(shí)，不僅可以進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，而且還能充分體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的便利性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分重視滲透模型化思想，利用合適的素材幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。通過建模教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（浙江省瑞安市錦湖實(shí)驗(yàn)小學(xué) 325200）