平行四邊形面積教學(xué)的認(rèn)知起點(diǎn)調(diào)查與分析

周曉輝

貴刊發(fā)表了朱樂平老師“平行四邊形、三角形、梯形面積教學(xué)”的校本教研活動(dòng)方案，拜讀后受益匪淺。朱老師在文中提出的“在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式之前，如果給他們一個(gè)平行四邊形的紙片，要求出這個(gè)平行四邊形的面積，學(xué)生可能會(huì)運(yùn)用怎樣的方法”非常有意義。對于這個(gè)問題，筆者做了調(diào)查研究，現(xiàn)將過程與結(jié)果分析如下。

一、測查的問題

問題：你能想辦法求出下面平行四邊形的面積嗎？請寫出你的想法。

注：上面給出的平行四邊形高4厘米、底7厘米、鄰邊（與水平方向成一個(gè)傾斜角的邊）長5厘米，測查卷上數(shù)據(jù)不標(biāo)注。

二、測查的對象及過程

（一）測查對象

五上年級學(xué)生，在還沒有學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算公式之前。分別從杭州、寧波、臺州各抽取一所學(xué)校的兩個(gè)班級，共計(jì)人數(shù)250人。

（二）測查時(shí)間

杭州地區(qū) 臺州地區(qū) 寧波地區(qū)

時(shí)間 2011年11月7日 2011年10月24日 2011年11月23日

（三）測查過程

以班級為單位測試上面的問題，不提供任何幫助。也沒有規(guī)定時(shí)間，學(xué)生認(rèn)為已經(jīng)完成就把作業(yè)紙上交，如果認(rèn)為自己不能解決問題，也可以上交作業(yè)紙。

三、 測查結(jié)果及分析

（一）約有38.4%的學(xué)生能夠分別采用五種方法解決問題

對測查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示能夠解決問題的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的38.4 %。他們分別運(yùn)用了五種解決問題的方法（詳見表1）。

表1：能夠正確解決問題的學(xué)生數(shù)與相應(yīng)的方法統(tǒng)計(jì)表 所用教材 新思維教材（現(xiàn)在的浙教版） 人教版教材

調(diào)查地區(qū) 杭州市上城區(qū)某校 臺州路橋區(qū)某校 寧波市江東區(qū)某校

調(diào)查班級 501 503 501 503 501 503

調(diào)查人數(shù)（單位：人） 34 31 53 52 41 39

解

決

問

題

方

法 “數(shù)方格”方法求出面積

14.66% 19.35% 0 0 0 0

“剪拼”成長方形求出面積

41.18% 32.26% 0 1.92% 21.95% 23.08%

直接用平行四邊形面積公式求出面積 8.8% 9.68% 7.5% 7.69% 17.07% 10.26%

圖形分割成直角三角形和長方形后求出面積

5.9% 6.45% 0 7.69% 4.88% 5.13%

圖形補(bǔ)成長方形后求出面積

5.9% 6.45% 0 1.92% 0 0

第一種方法：“數(shù)方格”求面積。

學(xué)生在空白平行四邊形上畫出面積為1平方厘米的方格，再用“數(shù)方格”的方法求出平行四邊形的面積。表中可見，學(xué)習(xí)新思維教材的學(xué)生采用這種方法解決問題的人數(shù)明顯高于學(xué)習(xí)人教版教材的學(xué)生數(shù)。

第二種方法：“剪拼”轉(zhuǎn)化成長方形求面積。

學(xué)生先將平行四邊形沿著高剪開拼成長方形，量出數(shù)據(jù)再根據(jù)長方形面積計(jì)算公式求出面積。從表中可見，使用新思維教材的學(xué)生采用這種方法的人數(shù)比較多。

第三種方法：直接利用平行四邊形面積計(jì)算公式求面積。

學(xué)生先測量出平行四邊形各部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)“平行四邊形的面積=底×高”求出面積。從表中可見，采用這種方法的學(xué)生人數(shù)比例不多，但兩種不同版本教材的學(xué)生沒有明顯差異。

第四種方法：“分割”成直角三角形和長方形后求面積。

學(xué)生將平行四邊形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)長方形，再將兩個(gè)直角三角形拼成一個(gè)長方形，量出數(shù)據(jù)，分別求出兩個(gè)長方形面積，最后將兩部分面積相加。從表中可見，極少數(shù)人采用此種方法解決問題。

第五種方法：補(bǔ)成長方形求面積。

在平行四邊形左右兩邊補(bǔ)上兩個(gè)直角三角形，補(bǔ)后的圖形是一個(gè)大長方形，量出數(shù)據(jù)，求出大長方形面積。再將兩個(gè)補(bǔ)上去的直角三角形拼成小長方形，量出數(shù)據(jù)，計(jì)算出小長方形的面積。最后用大長方形面積減去小長方形面積得到平行四邊形的面積。

（二）約有61.6%的學(xué)生不能夠正確解決問題

對學(xué)生所采用的錯(cuò)誤方法進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法有以下五種（詳見表2）。

表2：不能夠正確解決問題的學(xué)生數(shù)與相應(yīng)的方法統(tǒng)計(jì)表

所用教材 新思維教材 人教版教材

調(diào)查地區(qū) 杭州市上城區(qū)某校 臺州路橋區(qū)某校 寧波市江東區(qū)某校

調(diào)查班級 501 503 501 503 501 503

調(diào)查人數(shù)（單位：人） 34 31 53 52 41 39

錯(cuò)

誤

方

法 鄰邊相乘 8.8% 3.23% 83% 69.23% 9.76% 28.21%

計(jì)算周長 0 9.68% 5.77% 5.77% 12.20% 12.82%

拉成長方形后求面積 2.9% 3.23% 0 0 2.44% 0

計(jì)算內(nèi)角和 0 3.23% 0 0 0 0

沿對角線分成兩個(gè)全等三角形 0 0 0 3.85% 4.88% 10.26%

沒有任何方法 17.65% 0 5.67% 1.92% 26.83% 2.56%

從表中可以發(fā)現(xiàn)：共有五種不同的錯(cuò)誤方法，而 “鄰邊相乘”和“計(jì)算周長”為學(xué)生在解決問題時(shí)存在的主要錯(cuò)誤。還有一部分學(xué)生沒有任何解決問題的方法。學(xué)習(xí)新思維教材運(yùn)用“鄰邊相乘”的錯(cuò)誤方法的學(xué)生數(shù)比較少。

四、教學(xué)啟示

基于以上的調(diào)查與分析，對平行四邊形面積教學(xué)有以下兩點(diǎn)啟示。

（一）要重視積累“數(shù)方格”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

從表1中可以看到，有部分學(xué)生能夠自己構(gòu)建“方格”，并運(yùn)用數(shù)方格的方法求出平行四邊形的面積，說明這些學(xué)生對面積的意義掌握得很好。教師在教學(xué)面積的意義時(shí)，就應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)方格經(jīng)驗(yàn)的積累。用新思維版教材的學(xué)生采用“數(shù)方格”的比較多，筆者查閱了這套教材，發(fā)現(xiàn)從一年級認(rèn)數(shù)開始，就在“數(shù)方格”，如讓一年級學(xué)生認(rèn)識5，就有在方格紙上涂出5格這樣的表征。由于教材的編者重視了“數(shù)方格”經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生在遇到要解決平行四邊形面積問題時(shí)，才有可能調(diào)度出這些經(jīng)驗(yàn)來解決眼前的問題。重視基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累的確應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

（二）要重視運(yùn)用直觀防止負(fù)遷移

從表2中可以知道，不能正確解決問題的學(xué)生中，運(yùn)用“相鄰兩邊相乘”的方法求平行四邊形的面積的學(xué)生數(shù)相對比較多。這是由于學(xué)生受長方形面積計(jì)算公式的負(fù)遷移的影響。因此教師在教學(xué)中，應(yīng)該充分運(yùn)用教具、學(xué)具和課件等直觀的手段，防止學(xué)生負(fù)遷移的產(chǎn)生。朱樂平老師在“校本教研活動(dòng)方案”中，提出了利用學(xué)具和課件幫助學(xué)生理解“平行四邊形的面積與高有關(guān)”這樣的觀點(diǎn)很有道理。加強(qiáng)直觀演示在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該得到充分的重視。

（浙江省寧波市朱雀小學(xué) 315000）