曲樹(shù)河

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容。中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)怎樣講授概念也一直為眾多教師所關(guān)注，一般認(rèn)為需要四個(gè)環(huán)節(jié)：感知、理解、鞏固、運(yùn)用，實(shí)際上每個(gè)環(huán)節(jié)中都體現(xiàn)著情境的因素，所以在重視概念產(chǎn)生的背景，概念的引入，概念的定義，概念的理解，概念間的聯(lián)系，概念的鞏固和運(yùn)用這些環(huán)節(jié)時(shí)，更要注重有助于這些環(huán)節(jié)形成的情境。也就是說(shuō)，我們要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有助于概念引入的情境，設(shè)計(jì)有助于概念形成的情境，有助于概念下定義的情境，有助于概念理解的情境，有助于概念識(shí)別的情境。

一、設(shè)計(jì)有助于概念引入的情境

數(shù)學(xué)概念的引入是揭示數(shù)學(xué)概念發(fā)生過(guò)程的過(guò)程，也就是說(shuō)要揭示概念發(fā)生的實(shí)際背景和基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的引入要和學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力、教材的實(shí)際密切相連。概念的引入是學(xué)生獲得概念的前奏，極大地影響著學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用。因此，數(shù)學(xué)概念的引入是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，可以從實(shí)際例子引入，也可以在觀察中引入，可以在對(duì)比中引入，也可以在實(shí)際操作中引入。

例1：二面角的概念的引入。先舉生活中的例子：我們知道，山坡與水平面，每天開(kāi)關(guān)的門(mén)所在平面與門(mén)框的平面都形成一定角度，下面教師讓學(xué)生把教科書(shū)隨意打開(kāi)成兩個(gè)平面，隨著張合的程度的不同，讓學(xué)生可以感受到兩個(gè)平面是成一定角度的并且成角的大小是不一樣的，讓學(xué)生從感覺(jué)上認(rèn)識(shí)到兩個(gè)平面成角是有大小的，但怎樣來(lái)界定呢？教師讓一組學(xué)生把書(shū)成直角，另一組把書(shū)成銳角，再一組把書(shū)成鈍角，在書(shū)脊上任取一點(diǎn)，在兩個(gè)面上用鉛筆分別引直線a，b，分與書(shū)脊這條棱垂直和不垂直兩種情形，讓學(xué)生用三角尺、量角器自己動(dòng)手操作，比較不同情況下a，b所夾角能否來(lái)表示二面角的大小，通過(guò)同學(xué)分組討論、交流，發(fā)現(xiàn)只有a，b與棱都垂直時(shí)，角是不變的和所選點(diǎn)無(wú)關(guān)，且這個(gè)平面角的大小就是二面角的大小，從而引入二面角的概念。類(lèi)似地，像圓、橢圓、雙曲線、拋物線、平角、周角等都可以按這種方式來(lái)引入。

二、設(shè)計(jì)有助于概念形成的情境

數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程大致都是對(duì)一類(lèi)事物的多個(gè)對(duì)象進(jìn)行觀察，比較分析，綜合抽象出每個(gè)對(duì)象的各種屬性，再通過(guò)歸納概括各個(gè)對(duì)象的共同屬性，從而使概念得以形成，并且經(jīng)歷了概念的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，所以我們必須設(shè)置具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)情境，返璞歸真，這也是符合人的認(rèn)識(shí)的心理品質(zhì)的。

例2：函數(shù)的概念是學(xué)生最早碰到的難點(diǎn)概念之一，在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中我是這樣設(shè)置概念形成情境的。首先給出初中學(xué)過(guò)的對(duì)應(yīng)例子：

我們總結(jié)，給定兩個(gè)集合A，B按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有元素和它對(duì)應(yīng)，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)成對(duì)應(yīng)的要素是：集合A，B，對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)有“一對(duì)一”“多對(duì)一”“一對(duì)多”幾種情況，對(duì)上面的于盂榆我們?cè)儆脤?duì)應(yīng)的概念來(lái)解釋一下，構(gòu)成要素依然是：集合A，B和對(duì)應(yīng)法則f，但對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”了，所以可以歸結(jié)為：對(duì)給定的集合A，B，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫映射，現(xiàn)在把集合A，B改為非空數(shù)集，對(duì)照于盂榆圖能否加強(qiáng)一下映射的概念呢？通過(guò)學(xué)生的討論，分析得到函數(shù)的定義：設(shè)A，B為非空數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)：A寅B是從A到B的函數(shù)，記作y=f（x），學(xué)生的敘述中有些不是很規(guī)范，但能用淺顯的語(yǔ)言揭示出概念的內(nèi)涵來(lái)，這樣從具體到抽象、從感性到理性的變化中，學(xué)生容易接受，概念得以形成。

三、設(shè)計(jì)有助于概念下定義的情境

揭示概念的內(nèi)涵就是給概念下定義，也就是指出它所能反映的對(duì)象所具有的本質(zhì)屬性，揭示出概念的內(nèi)涵，實(shí)際就是總結(jié)研究的結(jié)果。給概念下定義是嚴(yán)密的，學(xué)生通過(guò)所設(shè)置的情境去觀察、比較、概括、歸納、整理，經(jīng)過(guò)這一系列過(guò)程，再在教師引導(dǎo)下，嘗試修改補(bǔ)充，師生一同歸納，便可得到明晰簡(jiǎn)潔的定義。

例3：“直線傾斜角”的概念教學(xué)，可以設(shè)置如下情境：現(xiàn)有東西走向的A，B兩城，在海上有一小島C，先從A，B兩城出發(fā)，怎樣才能快速到達(dá)小島？學(xué)生說(shuō)沿直線走最快，教師接著問(wèn)從A到小島的直線距離怎樣確定，學(xué)生已經(jīng)感受到明確AC相對(duì)AB的傾斜程度即可，再進(jìn)一步說(shuō)，也就是知道AC和AB所成的角即可，這時(shí)學(xué)生已能感受利用角來(lái)刻畫(huà)直線的傾斜程度了，現(xiàn)在教師用多媒體演示一條彩色直線繞它與x軸交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的幾種位置情況，讓學(xué)生觀察再回答，學(xué)生回答在不同位置傾斜程度不一樣，即角大小不同，教師問(wèn)相對(duì)誰(shuí)而言，學(xué)生回答相對(duì)x軸傾斜程度不一樣，也就是直線與x軸的角大小不同，

老師：直線與x軸成幾個(gè)角？

學(xué)生：四個(gè)角。

老師：我們用直線與x軸所成角來(lái)表示直線的傾斜程度嚴(yán)密嗎？想一想角的推廣。

學(xué)生：不嚴(yán)密，用一個(gè)角表示即可說(shuō)明。

老師：不妨設(shè)與x軸正向成角為所找角。

學(xué)生（即刻反應(yīng)）：這也有兩個(gè)角。

老師：那怎么辦？

學(xué)生：用直線向x軸的方向與x軸所成的角就唯一確定。

老師：這個(gè)分析非常精彩，但這個(gè)角就一定唯一嗎？

學(xué)生（思考后）：這個(gè)角不唯一，因?yàn)榻K邊也相同的角可以表示成2k仔+琢（k沂z）的形式，這樣的角有無(wú)數(shù)多。

老師：角怎樣才能唯一確定呢？

學(xué)生討論：要是界定直線的正方向與x軸正向所成的最小正角即可唯一確定了。

這樣，師生再一同歸納補(bǔ)充，就給傾斜角下了一個(gè)完整的定義。

四、設(shè)計(jì)有助于概念理解的情境

準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵，理解一個(gè)概念是掌握一個(gè)概念的前提，理解是在感知的基礎(chǔ)上通過(guò)思維加工，把新的知識(shí)同化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，這是一個(gè)復(fù)雜的心理過(guò)程，對(duì)概念的理解是和人的認(rèn)識(shí)水平相關(guān)的，人的認(rèn)識(shí)水平可以劃分為三個(gè)不同層次，即“已知區(qū)”“最近發(fā)展區(qū)”和“未知區(qū)”，人的認(rèn)識(shí)水平實(shí)際上就是在這三個(gè)層次上循環(huán)往復(fù)不斷內(nèi)化的，當(dāng)一個(gè)概念誕生后，就進(jìn)入了“已知區(qū)”，那么對(duì)概念的理解和拓展就是尋求“最近發(fā)展區(qū)”，要找到“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”的結(jié)合點(diǎn)，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析，揭示每一個(gè)詞、句、符號(hào)實(shí)質(zhì)的內(nèi)在含義，并以此來(lái)設(shè)置情境，就會(huì)激起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，加深對(duì)概念的理解。概念理解的情境可以以實(shí)際例子為依托，對(duì)例子進(jìn)行抽象，概括，分析，反復(fù)修正，以加深理解，也可以通過(guò)實(shí)際例子，進(jìn)行辨別，進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和外延，當(dāng)然也可以建立知識(shí)框架圖表等來(lái)加深對(duì)概念的理解。

例4：在學(xué)完正棱錐的概念后，對(duì)正棱錐概念的理解可設(shè)置如下問(wèn)題情境：

淤側(cè)棱相等的棱錐是否一定是正棱錐（一定）

于側(cè)面與底面所成角相等的棱錐是否一定是正棱錐（不一定）

盂底面是正多邊形的棱錐是否一定是正棱錐（不一定）

榆側(cè)棱相等，側(cè)面與底面所成角相等的棱錐是正棱錐（一定）

虞層棱相等，底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐（一定）

愚側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐一定是正棱錐（一定）

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，事實(shí)上，學(xué)生獲得的知識(shí)如果沒(méi)有完整的框架結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系在一起，那么所學(xué)的東西因?yàn)榭丈⒍?huì)遺忘掉，但如果在學(xué)完一個(gè)概念以后，對(duì)概念進(jìn)行總結(jié)，從不同角度，創(chuàng)設(shè)合理的歸類(lèi)圖表情境，將會(huì)加深對(duì)概念的理解。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決上的失敗，在許多方面是可以與概念理解的不深透聯(lián)系起來(lái)的，而此點(diǎn)又恰是我們教師和學(xué)生常常不能很好地認(rèn)識(shí)到的一點(diǎn)，常以“馬虎”“學(xué)習(xí)機(jī)械”等來(lái)解釋?zhuān)@種瞞天過(guò)海的做法實(shí)不足取，事實(shí)是我們?cè)诟拍顚W(xué)習(xí)中，對(duì)概念的識(shí)別不夠才導(dǎo)致這樣的錯(cuò)誤。所以在概念教學(xué)中要注重概念識(shí)別情境的設(shè)置，在學(xué)生易出錯(cuò)的地方設(shè)置情境，以加深印象。識(shí)別的本身應(yīng)該具有隱蔽性和干擾性，否則意義就不大了。

例5：求方程mx²+2x+1=0有負(fù)根的條件，有學(xué)生借助判別式或?qū)嵏植嫉霓k法很快解決到答案為m（0，1），請(qǐng)問(wèn)這種解法的答案是否正確？

好多學(xué)生都舉手認(rèn)為答案正確，但實(shí)際上丟掉了m=0時(shí)的情形，只是從表面上把上述表達(dá)看作了一元二次方程，但實(shí)際上一元二次方程ax²+bx+c=0是要求的a屹0的。再如，不等式（a- 2）x²+（a- 2）x+1躍0恒成立時(shí)，a的取值范圍。學(xué)生也常把a(bǔ)=2時(shí)丟掉，也就是說(shuō)上述問(wèn)題的解決只是用概念的部分本質(zhì)特征來(lái)解決問(wèn)題的，這種識(shí)別情境的設(shè)置是非常必要的，在我授課的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常犯這類(lèi)錯(cuò)誤，這種現(xiàn)象是值得重視的。

（作者單位：內(nèi)蒙古海拉爾第二中學(xué)）