趙思林 鄧才明

2001年4月9日，教育部頒布的《普通高中“研究性學(xué)習(xí)”實施指南（試行）》明確指出：“研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自然、社會和生活中選擇和確定專題進行研究，并在研究過程中主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的學(xué)習(xí)活動?！彼^數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和社會生活、自然界以及其他學(xué)科中選取有關(guān)數(shù)學(xué)研究問題，以探究的方式主動地獲取數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、簡化、探究、解決、推廣等探索過程；在探索解決問題的過程中，學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)思想、方法和知識，學(xué)習(xí)解決問題的思維策略和操作程式，學(xué)習(xí)探究或研究數(shù)學(xué)的一般方法；在研究性學(xué)習(xí)活動中，體會探索數(shù)學(xué)規(guī)律的艱辛與樂趣，認知數(shù)學(xué)問題解決的策略與步驟，評估研究活動的結(jié)果與意義。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)一般以問題為出發(fā)點，圍繞問題開展自主學(xué)習(xí)和探究，自主學(xué)習(xí)為解決問題提供知識儲備，探究為解決問題發(fā)現(xiàn)思維策略和操作方法。由于命制研究性學(xué)習(xí)試題具有相當大的難度，從而使考查研究性學(xué)習(xí)的試題難以走進高考。2012年福建卷理科第17題以“某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)”為背景，精心設(shè)計了一道研究性學(xué)習(xí)試題，讓人眼前一亮。本文擬從命題立意的角度對這道研究性學(xué)習(xí)試題進行一番探究與分析。

一、試題與解答

2012年福建卷理科第17題（文科第20題）：

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。

1.sin213°+cos217°-sin13°cos17°

2.sin215°+cos215°-sin15°cos15°

3.sin218°+cos212°-sin18°cos12°

4.sin2（-18°）+cos248°-sin（-18）°cos48°

5.sin2（-25°）+cos255°-sin（-25）°cos55°

（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

解：（1）選擇2式，計算如下：

限于篇幅，（2）的其他證明方法不再給出。

二、命題立意探析

下面，我們從命題理念、能力立意等角度對這道試題的命題立意進行一番探究與分析。

1.命題理念

命題理念之一：體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)的“研究性學(xué)習(xí)”理念。

本題在我國高考數(shù)學(xué)中首次直接考查“研究性學(xué)習(xí)”能力。該題以“某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)”為情境，解答本題考生需要經(jīng)歷“情境—問題—探究—發(fā)現(xiàn)—推廣—證明”的過程，這就實現(xiàn)了對“過程與方法”目標的考查，體現(xiàn)了“研究性學(xué)習(xí)”的理念。

命題理念之二：體現(xiàn)“源于教材，高于教材”的命題理念。

顯然，這個試題是以人教社A版新教材上的一道復(fù)習(xí)題為背景的，體現(xiàn)了“源于教材、高于教材”的命題理念。對引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材、研究教材、抑制“題海戰(zhàn)術(shù)”等是有益的。

人教社A版普通高中課程標準實驗教科書必修《數(shù)學(xué)4》[1]第138頁B組第3題是：

觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明。

試題命制以教材為背景，回避“題?！迸c“寶典”，值得提倡。本題的素材取自于教材，這說明，中學(xué)開展研究性學(xué)習(xí)可以從教材做起，這樣就不會加重師生的負擔。

命題理念之三：讓學(xué)生體會研究性學(xué)習(xí)的成功。

中國教育部頒布的《普通高中“研究性學(xué)習(xí)”實施指南（試行）》雖已過十年，但實施的情況并不理想，其中一個重要原因是很多教師和學(xué)生認為，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的難度大、花費的時間多。本題難度的設(shè)計比較適中，考生容易入手，能夠體會研究性學(xué)習(xí)的成功與樂趣。也可以說，本題對打消研究性學(xué)習(xí)的畏難情緒是有益的。

2.能力立意

能力立意之一：考查學(xué)生的認知“評價”能力。

問題（1）暗含考查學(xué)生的認知“評價”能力，而“評價”位于布魯姆提出的認知水平六個層次（識記、理解、運用、分析、綜合、評價）的最高層。因為題目中提供了五個式子可供選擇，這里就有如何選擇、怎樣選擇才最佳的問題，這當然需要考生對五個式子進行評估后，才能選出使運算最簡單的式子。顯然，（1）的選擇是不惟一的，具有開放性，但選2式求解是最簡單的，也就是說，選2式是最佳方法。

能力立意之二：全面考查推理能力。

本題既考查了合情推理又考查了演繹推理（數(shù)學(xué)證明）。通過合情推理發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論即得到猜想，通過演繹推理（數(shù)學(xué)證明）檢驗猜想的正確性。這可以使考生對數(shù)學(xué)推理有比較全面的認識。問題（2）式的答案及證明方法都是不惟一的，比如其答案也可以是

這就體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的開放性，包括情境設(shè)置的趣味性，問題選擇的多樣性，解題方法的開放性，問題結(jié)論（答案）的不惟一性等。

能力立意之三：全面考查思維能力。

本題（2）的解答需要經(jīng)歷先“猜想”后“證明”，這既考了直覺思維又考了邏輯思維，從而實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)思維能力的全面考查。

能力立意之四：考查探究能力。

探究是研究性學(xué)習(xí)的核心。缺少探究的研究性學(xué)習(xí)是低效的甚至是無效的。因此，研究性學(xué)習(xí)應(yīng)體現(xiàn)探究性。探究包括解題思路的探索，對原問題的變式、推廣、加強，對研究成果的應(yīng)用、提煉、反思等。本題第（2）問具有較強的探究性，其結(jié)論還可以作進一步的推廣，這可使學(xué)生產(chǎn)生或進入“完而未完”、“意味無窮”的思維場情境。

推廣1：在△ABC中，恒有sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C

證明：由正弦定理和余弦定理，得

綜上可見，本題源于教材，該題的設(shè)計新穎獨特，體現(xiàn)了高考命題的智慧。研究性學(xué)習(xí)走進高考，可以更好地發(fā)揮高考“指揮棒”的正面作用。從引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革和新課程的實施的角度看，這真是一道不可多得的好題。

參考文獻

[1] 劉紹學(xué)，章建躍等.普通高中課程標準實驗教科書（A版）數(shù)學(xué)4.北京：人民教育出版社，2007.