王培光，周彬彬

（1.河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院，河北保定 071002；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)的兩度量穩(wěn)定性

王培光1，周彬彬2

（1.河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院，河北保定 071002；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

討論了一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng).首先，引入錐的概念，給出了錐值分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù).其次，發(fā)展了比較定理，得到了關(guān)于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)與微分系統(tǒng)的新的比較定理.最后，通過(guò)新的比較定理，給出分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)的兩度量穩(wěn)定性的判斷準(zhǔn)則.

分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)；時(shí)滯；兩度量穩(wěn)定性

MSC2010：34D20

近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分廣泛應(yīng)用于控制理論、流體力學(xué)、混沌和生物工程等領(lǐng)域，成為不可缺少的數(shù)學(xué)工具.因此，發(fā)展分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)具有重大的意義.然而，在實(shí)際建立微分系統(tǒng)的過(guò)程中，不可避免地要出現(xiàn)某些無(wú)法估計(jì)的微小擾動(dòng)，這些干擾使分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的解發(fā)生本質(zhì)性的變化.因此，穩(wěn)定性理論的研究就有其重要的理論和實(shí)用價(jià)值［1－5］.

對(duì)于微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題的研究，一般都是應(yīng)用Lyapunov方法通過(guò)比較定理進(jìn)行討論，因此構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)成為討論問(wèn)題的關(guān)鍵，然而Lyapunov函數(shù)構(gòu)造很困難［6－7］.Lakshmikantham等［8］引入了錐值Lyapunov函數(shù)的概念，并且利用這種方法，得到了微分系統(tǒng)的比較定理和穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)果.Liu等［9］利用錐值Lyapunov函數(shù)發(fā)展了比較定理.Akinyele等［10］利用錐值Lyapunov函數(shù)討論了微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文利用錐值Lyapunov函數(shù)給出了關(guān)于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)與微分系統(tǒng)的新的比較定理.通過(guò)這個(gè)比較定理對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)進(jìn)行了分析，給出該系統(tǒng)兩度量穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則.

1 預(yù)備知識(shí)

其中G∈C［R＋×PCτ，Rn］，PCτ＝｛φ∶［－τ，0］→Rn（τ≥0且為常數(shù)），φ（t）是連續(xù)函數(shù)｝，g∈C［R＋×Rn，Rn］，xt∈PCτ定義為xt（s）＝x（t＋s），－τ≤s≤0.

定義1 Rn中的子集K如果滿足如下條件：Ⅰ）λK?K，λ≥0；Ⅱ）K＋K?K；Ⅲ）K＝K—；Ⅳ）K0≠?；V）K∩（－K）＝0，則稱K為Rn上的錐，其中K—，K0及?K分別表示K的閉集，內(nèi)部和邊界.

設(shè)x，y∈K，稱x≤ky當(dāng)且僅當(dāng)y－x∈K；稱x＜K0y當(dāng)且僅當(dāng)y－x∈K0.

定義2 稱集合K＊＝｛φ∶φ∈Rn，對(duì)所有x∈K，（φ，x）≥0｝為K的伴隨錐，如果K＊滿足定義1的條件Ⅰ）－V）.

通過(guò)以上定義可以得到K＝（K＊）＊；x∈K0當(dāng)且僅當(dāng)（φ，x）＞0；x∈?K當(dāng)且僅對(duì)某些φ∈K＊0，K0＝K－｛0｝，（φ，x）＝0.

定義3 稱函數(shù)g：D→Rn，D?Rn相對(duì)于K是擬單調(diào)非減的，如果對(duì)任意的x，y∈D且y－x∈?K，存在φ∈K＊0，當(dāng)（φ，y－x）＝0時(shí)，有（φ，g（y）－g（x））≥0.

為方便以后應(yīng)用，給出如下記號(hào).

Κ0＝｛a（u）∶a∈C［R＋，R＋］，單調(diào)遞增且a（0）＝0｝.

Κ＝｛a∶a∈Κ0且嚴(yán)格單調(diào)遞增｝.

Κ1＝｛b（x）∶b∈C［K，K］，關(guān)于K單調(diào)遞增且x≤Kb（x）｝.

∑＝｛Q（x）∶Q∈C［K，R＋］，關(guān)于K單調(diào)遞增且Q（0）＝0｝.

v0＝｛V（t，x）∶V∈C［R＋×Rn，K］，V（t，x）關(guān)于x滿足局部Lipschitzian條件，且V（t，0）＝0｝.

Γ＝｛h∶R＋×Rn→R＋∶?x∈Rn，h（·，x）∈PC，h（t，·）∈［Rn，R＋］，inf h（t，x）＝0｝.

S（h，ρ）＝｛（t，x）∶（t，x）∈R＋×Rn，h（t，x）＜ρ，h∈Γ，ρ＞0｝.

定義4 假設(shè)h0，h∈Γ，稱系統(tǒng)（1）的解x（t，t0，φ）為

Ⅰ）（h0，h）穩(wěn)定的，如果對(duì)任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（t0，ε）＞0，使得對(duì)任意的τ∈R＋，t≥τ，當(dāng)h0（t0，φ）＜δ時(shí)，有h（t，x（t，t0，φ））＜ε，t≥t0.

Ⅱ）（h0，h）一致穩(wěn)定的，如果對(duì)任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（ε）＞0，使得對(duì)任意τ∈R＋，t≥τ，當(dāng)h0（t0，φ）＜δ時(shí)，h（t，x（t，t0，φ））＜ε，t≥t0.

定義5 假設(shè)Q0，Q∈Γ，稱系統(tǒng)（2）的解y（t，t0，y0）為

Ⅰ）（Q0，Q）穩(wěn)定的，如果對(duì)任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（t0，ε）＞0，當(dāng)Q0（t0，y0）＜δ時(shí)，有Q（t，y（t，t0，y0））＜ε，t≥t0.

Ⅱ）（Q0，Q）一致穩(wěn)定的，如果對(duì)任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（ε）＞0，當(dāng)Q0（t0，y0）＜δ時(shí)，有Q（t，x（t，t0，y0））＜ε，t≥t0.

定義6 函數(shù)V∈v0關(guān)于系統(tǒng)（1）的Dini導(dǎo)數(shù)定義如下：

2 主要結(jié)果

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］ LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S，VASUNDHARA D J.Theory of fractional dynamic systems［M］.Cambradge：Cambradge Academic Publishers，2008.

［2］ MIHAILO P L，ALEKSANDAR M S.Finite－time stability analysis of fractional order time－delay systems：Gronwall's approach［J］.Mathematical and computer Modeling，2009，49：475－481.

［3］ KATJA K.Asymptotic properties of fractional delay differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218：1515－1532.

［4］ ZHANG Fengrong.A survey on the stability of fractional differential equation［J］.The european physical journal special tpoics，2011，193：27－47.

［5］ 王培光，候穎，劉靜.一類分?jǐn)?shù)階微分方程的廣義擬線性化方法［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，31（5）：449－452.WANG Peiguang，HOU Ying，LIU Jing.Generalized quasilinearization for fractional differential equations［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2011，31（5）：449－452.

［6］ LSKDHMIKSNYHSM V，LEELA S，SAMBANDHAM M.Lyapunov Theory for fractional differential equations［J］.Communications in Applied Analysis，2008，12：365－376.

［7］ TRIGEASSOU J C，MAAMRI N，SABATIER J，et al.A Lyapunov approach to the stability of fractional differential equations［J］.Singnal Processing，2011，12：365－445.

［8］ LAKSHIMIKANTHAM V，LEELA S.Cone－valued Lyapunov functions［J］.Nonlinear Analysis，1977，1：215－222.

［9］ LI Kaien，YANG Guowei.Cone－valued Lyapunov functions and stability for impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，2008，69：2184－2191.

［10］ AKINYELE O，ADEYEYE J O.Cone－valued Lyapunov functions and stbility of hybrid systems［J］.Analysis，2001，8：203－214.

（責(zé)任編輯：王蘭英）

Stability of two measures for fractional order time－delay differential system

WANG Peiguang1，ZHOU Binbin2
（1.College of Electronic and Information Engineering，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

One kind of the fractional order time－delay system was discussed.Firstly，introduced the concept of cove，and given the Lyapunov function of cove－value fractional order time－delay differential system.Secondly，developed the comparison theorem，and got a new comparison theorem on the fractional order time－delay system and fractional system.Finally，concluded the stability criterion of two measures for fractional order time－delay system by the new comparison theorem.

fractional order differential system；time－delay；stability of two measures

O175.1

A

1000－1565（2013）02－0113－05

10.3969／j.issn.1000－1565.2013.02.001

2012－04－07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971045）

王培光（1969－），男，黑龍江哈爾濱人，河北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事微分方程與控制理論的研究.E－mail：pgwang＠hbu.edu.cn