白保建

摘 要：函數(shù)一直是高中數(shù)學的一個重點知識，它貫穿于高中數(shù)學的始終，而方程也是函數(shù)問題的一種特殊形式，所以學習中要注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，關(guān)鍵是函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化問題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關(guān)系的數(shù)學模型，從而進行研究.一般的，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，對所給的問題觀察、分析、判斷、比較，產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.具體來說可以這樣去理解：

一、函數(shù)的思想

利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題的思想方法，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，其本質(zhì)是對函數(shù)概念的認識.

二、方程的思想

在對方程概念本質(zhì)認識的基礎(chǔ)上分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程（方程組）或者構(gòu)造方程，通過解方程（方程組）或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.

例1.如圖，長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向做勻速移動，速度為v（v>0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c∈R）.E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與v-c×S成正比，比例系數(shù)為 ；②其他面的淋雨量之和，其值為 .記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100，面積S= 時，

（1）寫出y的表達式；

（2）設(shè)0

解：（1）由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為 v-c+ ，

故y= v-c+ = （3v-c+10）.

（2）由（1）知，

當0

故y= -15，0

+15，c

①當0

②當

評析：這道題由物理意義和幾何關(guān)系構(gòu)造了變量，利用物理性質(zhì)和變量間相互關(guān)系而得到方程，進而進行轉(zhuǎn)化求出最值和單調(diào)性.

三、方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)

方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，方程f（x）=a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f（x）的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.

例2.（2012年高考北京卷文科5）函數(shù)f（x）=x x的零點個數(shù)為（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】f（x）=x - x的零點，即令f（x）=0，根據(jù)此題可得

x = x，在平面直角坐標系中分別畫出冪函數(shù)x 和指數(shù)函數(shù) x的圖象，可得交點只有一個，所以零點只有一個，故選B.

評析：這道題就是一個高考中常見的類型，它把函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了方程解的個數(shù)問題，在平時我們遇到這類問題就是構(gòu)造一個方程即：f（x）=g（x），進而利用求解或數(shù)形結(jié)合求出方程解的個數(shù).

我們應(yīng)用函數(shù)與方程思想的幾種常見題型的解決辦法是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)不等式、方程、最值的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；在含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，應(yīng)翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；在數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決，這樣的例子很多，在此不做一一表述，只想起到拋磚引玉的作用.

（作者單位 河南省開封市第二實驗高級中學）