陳棟金，姜 力，王新慶

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，150080 哈爾濱)

機(jī)器人多指手抓取過(guò)程中，不僅要求多指手對(duì)物體施加的力能夠平衡作用在物體上的外力，而且要求各手指與被抓物體的接觸點(diǎn)滿足摩擦錐約束.求取滿足這些約束的最小抓取力就是力優(yōu)化問(wèn)題，而實(shí)際應(yīng)用則要求力優(yōu)化能夠?qū)崟r(shí)進(jìn)行.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不同的力優(yōu)化方法.Cheng等［1］用多面錐來(lái)近似摩擦錐進(jìn)行線性規(guī)劃，但結(jié)果偏保守;Yoshikawa 等［2］和熊蔡華等［3］則嘗試用智能規(guī)劃的方法，但效果不夠理想。相較于線性規(guī)劃和智能規(guī)劃，非線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果最優(yōu)，因此更為主流.Buss［4］的理論為這一領(lǐng)域帶來(lái)了突破，他提出用矩陣的半正定性來(lái)替代摩擦錐約束，將力優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為黎曼流型上線性約束下的凸優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而用梯度流方法來(lái)解決.在Buss 理論的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［5－7］對(duì)非線性優(yōu)化方法進(jìn)行了進(jìn)一步的探索.非線性優(yōu)化算法多數(shù)都需要一個(gè)同時(shí)滿足外力平衡和摩擦錐約束的抓取力初值.Li Han 等［8］求取構(gòu)造對(duì)稱陣的最小特征值，計(jì)算量較大;Boyd 構(gòu)造了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的單值優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求取初值，但同樣計(jì)算復(fù)雜;王濱等［9］利用拉格朗日乘子法求取初值力，但一般需要數(shù)次到數(shù)十次不等的迭代計(jì)算.初值計(jì)算不僅耗時(shí)，而且影響收斂速度.

本文在Buss 的梯度流算法基礎(chǔ)上，研究?jī)?yōu)化算法中所需初始力值的計(jì)算方法，利用抓取力集為凸錐的性質(zhì)，提出線性組合求取抓取力初值的方法，根據(jù)凸分析理論證明了線性組合方法的正確性.最后通過(guò)算例仿真，驗(yàn)證了線性組合法得到的抓取力初值滿足約束，計(jì)算速度比拉格朗日法、單值優(yōu)化法更快，且使力優(yōu)化算法更快地收斂.

1 抓取力的線性組合

根據(jù)多指手與物體接觸點(diǎn)處摩擦的情況，可將接觸分為無(wú)摩擦點(diǎn)接觸、帶摩擦點(diǎn)接觸及軟指接觸，本文采用帶摩擦點(diǎn)接觸模型.機(jī)器人多指手抓取物體時(shí)，手指數(shù)為M(M=3，4，5)，抓取矩陣為G ∈R6X3M，物體上作用有外力Wext∈R6，需要確定各手指的接觸力fi∈R3，i=1，…，M，使物體保持平衡，同時(shí)滿足摩擦錐約束

即抓取力應(yīng)滿足

利用Buss 的梯度流優(yōu)化算法，可以求取滿足上述約束條件的抓取力集中的最優(yōu)值，但首先需要一個(gè)滿足上述約束的抓取力作為整個(gè)優(yōu)化算法的初始條件，本節(jié)將給出利用線性組合計(jì)算力初始值的過(guò)程.

當(dāng)作用外力為單位力(旋)［－1，0，0，0，0，0］T時(shí)，利用王濱［9］求取初值后優(yōu)化的方法，可以很容易地求取這一外力下的優(yōu)化抓取力，記為fB1.同樣的，可以求得當(dāng)外力(旋)分別為矩陣

中各列時(shí)對(duì)應(yīng)的抓取力值，分別記為fBi，i=2，…，12.可以寫為

對(duì)任意形如Wext=［w1w2w3w4w5w6］T的外力(旋)，可將其分解為

其中:E ∈R12;Ei≥0;Ei+6≥0;Ei·Ei+6=0，i=1，…，6.即任意外力(旋)都可以表示成單位外力(旋)的線性組合.這里規(guī)定，組合中單位外力(旋)的系數(shù)均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且正負(fù)相對(duì)的兩單位外力(旋)的系數(shù)中必有一個(gè)取零.令

聯(lián)合式(1)可得

因此，可以得到任意外力(旋)Wext時(shí)計(jì)算抓取力初值的簡(jiǎn)單方法，任意外力對(duì)應(yīng)的抓取力可表示成其線性組合中單位外力所對(duì)應(yīng)的抓取力的線性組合，即

應(yīng)用時(shí)，首先，離線計(jì)算各單位外力下的優(yōu)化抓取力作為線性組合的基;然后，在線只需根據(jù)外力(旋)Wext與單位外力的關(guān)系對(duì)各基礎(chǔ)抓取力fBi進(jìn)行線性組合，所得結(jié)果自動(dòng)滿足外力平衡約束.

2 線性組合力的摩擦錐約束特性

利用線性組合方法得到的接觸力能夠滿足外力平衡約束，但是需要思考的是，幾個(gè)滿足摩擦錐約束的力相加，其和是否仍滿足摩擦錐約束.下面將基于凸分析理論，證明若各組成元素滿足摩擦錐約束，則它們線性組合后得到的接觸力同樣滿足摩擦錐約束.

2.1 理論依據(jù)

凸集［11］的定義:一個(gè)集合C，取集合中任意兩點(diǎn)之間的線段，如果線段中任意一點(diǎn)同樣在集合中，則集合C 為凸集，即一個(gè)集合若滿足:

則其為凸集.

凸包的定義:凸包是凸集C 中元素的凸組合集，記為Conv C，即

凸包的性質(zhì):凸包Conv C 也是一個(gè)凸集.凸包Conv C 是包含凸集C 的最小的凸集，即

集合的性質(zhì):包含一個(gè)集合的最小集合是它本身.

2.2 抓取力集合的摩擦錐約束特性

根據(jù)凸包的性質(zhì)以及集合的性質(zhì)，可得出

則凸包Conv C 中的元素也屬于凸集C，即

根據(jù)以上描述的凸集性質(zhì)，對(duì)于各個(gè)手指接觸力凸錐Ci，可以得出

在摩擦凸錐Ci內(nèi)，取任意元素fi∈Ci，再取任意大小的正實(shí)數(shù)t，對(duì)于t·fi有

可以看出，凸錐Ci內(nèi)任意元素fi與任意正實(shí)數(shù)t的乘積t·fi仍然屬于凸錐Ci.

結(jié)合性質(zhì)(2)和(3)，得出推論:在各手指接觸力的凸錐內(nèi)，有

3 線性組合算法分析

使用線性組合法得到的抓取力不僅滿足外力平衡，而且滿足摩擦錐約束，因此可以作為Buss的梯度流法算法所需的抓取力初值.事實(shí)上，這一方法適用于所有需要初值的力優(yōu)化算法.線性組合法求取抓取力初值的具體步驟為:

1)離線計(jì)算單位外力(旋)作用下的抓取力基礎(chǔ)向量;

2)計(jì)算任意外力對(duì)應(yīng)單位外力的線性組合的非負(fù)系數(shù);

3)按相同系數(shù)對(duì)抓取力基礎(chǔ)向量進(jìn)行線性組合;

4)將組合得到的值作為運(yùn)行力優(yōu)化算法的初值.

將線性組合法與主流的拉格朗日乘子法、單值優(yōu)化法進(jìn)行比較，從算法復(fù)雜度來(lái)看，線性組合只需18·M 次乘法，15·M 次加法;用拉格朗日乘子法直接計(jì)算則通常需要N 次迭代，每次迭代耗費(fèi)9·M2次乘法，9·M2次加法;單指優(yōu)化法耗費(fèi)更多.線性組合法較拉格朗日法計(jì)算量少，且M越大，差距越大;使用拉格朗日乘子法還需進(jìn)行在線摩擦錐約束校驗(yàn)，線性組合法則由于各基本組成元素均滿足摩擦錐約束，其組合自動(dòng)滿足，不需要再進(jìn)行校驗(yàn).因此，線性組合法的計(jì)算速度最快.

4 算例仿真與分析

如圖1 所示的均勻材質(zhì)長(zhǎng)方形，用四指手抓取.其幾何參數(shù)為a=0.10，b=0.15，c=0.15，d=0.10，H=0.20.建立物體坐標(biāo)系OXYZ，四指與物體接觸點(diǎn)處的坐標(biāo)系分別為Oifnifoifti，且i=1，2，3，4，采用帶摩擦點(diǎn)接觸模型，摩擦系數(shù)為0.4.

圖1 四指抓取模型

算例的抓取矩陣為:

按照前節(jié)所述的線性組合方法，首先離線計(jì)算各單位外力(旋)作用下的抓取力并優(yōu)化作為線性組合的基，得

施加外力Wext=［1 0.5－2－0.1 0.2 0］T，

用拉格朗日乘子法計(jì)算求得的初值力為

耗時(shí)0.503 s;用單值優(yōu)化法求得的初值力為

耗時(shí)0.573 s;而用正線性組合法求得的初值力為

耗時(shí)0.471s.

驗(yàn)證這3 種方法求得的初始力值，結(jié)果證明它們均同時(shí)滿足外力平衡及摩擦錐約束.將這3組初始力值分別應(yīng)用于Buss 的梯度流優(yōu)化法算法，得到手指接觸法向力和目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線，分別見(jiàn)圖2～4.圖中Fn為手指法向力，φ 為目標(biāo)函數(shù)，n 為迭代次數(shù).

圖2 拉格朗日法求初值后優(yōu)化結(jié)果

對(duì)比圖2～4 中曲線可看出，單值優(yōu)化所得初值用于力優(yōu)化收斂速度最慢，迭代約200 步后達(dá)到收斂值;拉格朗日法對(duì)應(yīng)的收斂速度較快，迭代約110 步后達(dá)到收斂值;線性組合法對(duì)應(yīng)的收斂速度是最快的，迭代約100 步后即達(dá)到收斂值.不同方法得到的收斂值相同，其中手指接觸力的收斂值為

而目標(biāo)函數(shù)值則收斂至7.3.

圖3 單值優(yōu)化法求初值后優(yōu)化

圖4 線性組合法求初值后優(yōu)化結(jié)果

5 結(jié)論

1)以一組單位外力所求得的抓取力為基，任何外力可以寫成這組單位外力的線性組合形式，根據(jù)同樣的組合規(guī)律對(duì)抓取力基進(jìn)行線性組合，得到的抓取力能夠滿足力平衡和摩擦錐約束，將其作為力優(yōu)化算法中所需的抓取力初值.

2)在同一算例中，對(duì)比不同的抓取力初值算法結(jié)果表明:線性組合方法得出滿足約束的抓取力的速度較其他方法更快，且得出的解最優(yōu)，能夠保證力優(yōu)化算法更快地收斂.

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