王冬梅 張偉 劉燕

(1．北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，北京 100022)(2．山東濟寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，曲阜 273155)(3．西華師范大學(xué)物電學(xué)院，南充 637002)

用微分求積法分析軸向加速粘彈性梁的非線性動力學(xué)行為*

王冬梅1，2張偉1?劉燕1，3

(1．北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，北京 100022)(2．山東濟寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，曲阜 273155)(3．西華師范大學(xué)物電學(xué)院，南充 637002)

用微分求積數(shù)值方法求解了軸向加速粘彈性梁的橫向振動控制方程，其方程是一復(fù)雜的非線性偏微分方程．并在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上利用分叉圖分析了軸向定常加速度以及軸向加速度變化幅值對軸向加速粘彈性梁的非線性動力學(xué)行為的影響．

非線性偏微分方程， 數(shù)值解， 混沌， 分叉， 微分求積法

引言

軸向移動粘彈性梁可以作為多種工程裝置的力學(xué)模型，比如動力傳送帶、磁帶、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機纜道、單索架索道等．軸向移動粘彈性梁的非線性動力學(xué)性質(zhì)對工程裝置的穩(wěn)定性和可靠性有著重要的影響．因此分析軸向移動粘彈性梁的橫向非線性振動的非線性動力學(xué)行為對分析解決工程的實際問題有著重要的意義．軸向移動粘彈性梁的橫向非線性振動的控制模型是一非線性偏微分方程．眾所周知，只有極少數(shù)的偏微分方程有精確解析解，而大多數(shù)的偏微分方程是不能得到精確解析解的，尤其是非線性的．為了實際的需要，需尋求近似的方法．很多學(xué)者，比如Ravidra和Zhu［1］，Marynowski和 Kapitaniak［2］，楊曉東和陳立群［3］，陳麗華［4］等人，丁虎和陳立群［5］等對軸向移動梁采用伽遼金截斷的方法進行了分析．伽遼金截斷方法在求解問題時會遇到大量的積分，這無疑會加大計算量．而70年代［6］發(fā)展起來的微分求積法是求解偏微分方程的數(shù)值計算方法．相對于傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法微分求積法具有原理簡單(不依賴于變分原理)計算量小，精度高等優(yōu)點70年代末在工程領(lǐng)域得到迅速發(fā)展和應(yīng)用．

縱觀微分求積法在力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，主要是用來靜力分析或自由振動分析．將微分求積法用于長時間歷程的非線性動力學(xué)性質(zhì)分析的還很少．本文利用微分求積法對陳麗華［4］等人建立的軸向加速粘彈性梁的橫向振動的控制方程進行了數(shù)值求解，并在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上對其非線性動力學(xué)性質(zhì)比如分叉、混沌等進行了分析．

1 控制方程

陳麗華［3］等人利用哈密頓原理建立的軸向加速粘彈性梁的橫向振動的控制方程為:

邊界條件為:

其中:ρ為密度，A是截面積，l是梁的長度，ν(x，t)表示軸向空間坐標(biāo)x處，t時刻的面內(nèi)振動的橫向位移，η是粘彈系數(shù)，E是楊氏模量，Jy是慣性力矩．假定在預(yù)緊力P0處有一小的擾動P1sinωt，也就是說緊力P=P0+P1sinωt;假定軸向運動的速度是簡諧變化的，也就是c=c0+c1sinωt．這種假設(shè)是有它的物理意義的．比如，當(dāng)我們用軸向移動梁來模擬一對轉(zhuǎn)動輪上的帶時，輪子轉(zhuǎn)動時的擾動，會引起帶軸向移動速度的擾動．

2 微分求積法的應(yīng)用

微分求積法的基本原理是將函數(shù)在求解區(qū)域內(nèi)的每個網(wǎng)格點處的導(dǎo)數(shù)值用域內(nèi)全部網(wǎng)格點上的函數(shù)值的加權(quán)線性和近似表示．將其代入原方程，會得到含有網(wǎng)格點上未知函數(shù)值的代數(shù)方程組．從而微分方程的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解．依照微分求積法原理，引入N個網(wǎng)格點:

方程(1)中未知函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)在各網(wǎng)點的值可以表示為

其中一階權(quán)系數(shù)及相應(yīng)的高階權(quán)系數(shù)分別為:

將(4)(5)代入方程(1)以及邊界條件(2)并應(yīng)用權(quán)系數(shù)修正法［6］得到:

其中:νj= νj(x，t)．(6)式是一常微分方程組，用龍格庫塔算法對其求解．

3 數(shù)值結(jié)果

在以上數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上利用分叉圖考察了軸向定常加速度和軸向加速度變化幅值對軸向加速粘彈性梁的非線性動力學(xué)性質(zhì)的影響．以下圖中都取

3．1 軸向定常加速度的影響

圖1是定常加速度c0在區(qū)間［15，16．5］變化，軸向加速度變化幅值c1=3．75時的分叉圖．從圖1中我們可以發(fā)現(xiàn)，運動由c0=15開始時是2倍周期的，隨著c0的增大出現(xiàn)一個很大的混沌窗口即區(qū)間c0∈［15．55，16．2284］，之間出現(xiàn)了多倍周期運動即8倍周期如圖6，還出現(xiàn)了一個非常小的4倍周期窗口．之后運動又變?yōu)?倍周期的．

圖1 軸向定常加速度的影響Fig．1 Effect of mean axial velocity

3．2 軸向加速度變化幅值的影響

圖2是定常加速度c0=15．25，軸向加速度變化幅值c1在區(qū)間［2，4］上變化時的分叉圖．從圖3中我們可以發(fā)現(xiàn)c1由2變化到大約2．225時，運動是單周期．隨著的增大，混沌運動和周期運動窗口交替出現(xiàn)．即由區(qū)間［2．225，2．305］－［2．305，2．445］－［2．445，2．795］－［2．795，3．06］－［3．06，3．405］－［3．405，3．725］－［3．725，4］順序變化時，運動由混沌－周期－混沌－周期－混沌－周期交替變化的．在混沌窗口中出現(xiàn)了10倍周期運動如圖8．

圖2 軸向加速度變化幅值的影響Fig．2 Effect of amplitude of axial velocity fluctuation

下面圖3－8?，?分別是典型的周期運動和混沌運動的相圖以及龐加萊截面．

圖3 單倍周期運動:c0=15．25，c1=2，?相圖?龐加萊截面Fig．3 periodic －1 motion appears when c0=15．25，c1=2 ? phase portraits? Poincare maps

圖4 2 倍周期運動:c0=15．25，c1=2．29，?相圖?龐加萊截面Fig．4 periodic －2 motion appears when c0=15．25，c1=2．29，? phase portraits ? Poincare maps

圖5 4倍周期運動:c0=16．047，c1=3．75，? 相圖 ? 龐加萊截面Fig．5 periodic －4 motion appears when c0=16．047，c1=3．75，? phase portraits? Poincare map

圖6 8 倍周期運動:c0=15．81，c1=3．75，?相圖?龐加萊截面Fig．6 periodic －8 motion appears when c0=15．81，c1=3．75，? phase portraits ? Poincare map

圖 7 混沌運動:c0=15．25，c1=3．5，?相圖?龐加萊截面Fig．7 chaotic motion appears when c0=15．25，c1=3．5，? phase portraits ? Poincare map

圖8 10 倍周期運動:c0=15．25，c1=2．3，?相圖?龐加萊截面Fig．8 periodic － 10 motion appears when c0=15．25，c1=2．3，? phase portraits ? Poincare map

4 結(jié)論

本文用微分求積法求解了軸向加速粘彈性梁橫向振動的控制方程，并在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上利用分叉圖分析了軸向定常加速度、軸向加速度變化幅值對軸向加速粘彈性梁面內(nèi)橫向振動的非線性動力學(xué)行為的影響．為了驗證通過分叉圖得到的一些非線性動力學(xué)性質(zhì)比如周期、混沌，作出了相應(yīng)的相圖，龐加萊截面．以上結(jié)果表明用微分求積法分析這一類工程結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)性質(zhì)是非常有效的．

1 Ravindra B，Zhu W D．Low dimensional chaotic response of axially accelerating continuum in the supercritical regime．Archive of Applied Mechanics，1998，68:195 ～205

2 Marynowski K，Kapitaniak T．Kelvin－Voigt versus Burgers internal damping in modeling of axially moving viscoelastic web．International Journal of Non－linear Mechanics，2002，37:1147～1161

3 Yang X D，Chen L Q．Bifurcation and chaos of an axially accelerating viscoelastic beam．Chaos，Solitons and Fractals，2005，23(1):249～258

4 Chen L H，Zhang W，Yang F H．Nonlinear dynamics of higher－dimensional system for an axially accelerating viscoelastic beam with in－plane and out－of－plane vibrations．Journal of Sound and Vibration，2010，329:5321 ～5345

5 Ding H，Chen L Q．On two transverse nonlinear models of axially moving beams．Science in China Series E:Technological Sciences，2009，52(3):743 ～751

6 Bellman R，Kashef B G，Casti J．Differential quadrature:a technique for the rapid solution of nonlinear partial differential equations．Journal of Computational Physics，1972，10:40～52

7 Shu C．Differential quadrature and its application in engineering．Springer:Berlin，2000

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11290152，10732020，11072008)

? Corresponding author E－mail:sandyzhang0@yahoo．com

ANALYSIS ON NONLINEAR DYNAMICS OF AN AXIALLY ACCELERATING VISCOELASTIC BEAM USING DQM*

Wang Dongmei1，2Zhang Wei1?Liu Yan1，3
(1．College of Mechanical Engineering Beijing University of Technology，Beijing100022，China)(2．Department of Mathematics Jining University，Qufu272155，China)(3．Department of Physics and Electronic Information China West Normal University，Nanchong，Sichuan637002，China)

The differential quadrature method(DQM)was developed to solve numerically the nonlinear partialdifferential equation of the nonlinear transverse vibration of an axially accelerating viscoelastic beam．Based on the numerical solutions，the nonlinear dynamical behaviors，such as bifurcations and chaotic motions of the nonlinear system，were investigated by use of Poincare map，phase portrait．

DQM， nonlinear partial－differential equation， numerical solution， chaos， bifurcations

22 April 2012，

18 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－007

2012－04－22 收到第 1 稿，2012－06－18 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金重大項目資助(11290152)和國家自然科學(xué)基金(10732020，11072008)資助項目

E－mail:sandyzhang0@yahoo．com