湛華平，張書霞，陳鴻昊

（1.安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南 安陽455000；2.安陽一中，河南 安陽455000）

對稱是指物體或圖形在某種變換條件下，其相同部分出現(xiàn)有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。亦指數(shù)學(xué)概念、公式、命題結(jié)構(gòu)的形式具有對稱性。在幾何上，圓、拋物線、橢圓等都具有對稱性，對稱的概念在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其它很多方面一直起著重要的作用。在處理高等數(shù)學(xué)的許多問題時，對稱性的利用是極為有效的，并由此得到問題簡捷的解答途徑，巧妙地應(yīng)用對稱性對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的。

多元微積分的計算是高等數(shù)學(xué)的重點，也是難點。在計算過程中，很多問題如果運用一般的求解方法，會使問題變得復(fù)雜化，增加了計算量。而如果利用對稱性和函數(shù)的奇偶性往往能使計算簡捷[1－4]，達到事半功倍的效果。輪換對稱性作為對稱性中的一種，在某些積分的運算中，若積分區(qū)域具有輪換對稱性，則可以簡化積分的運算過程，提高運算效率。輪換對稱性目前主要應(yīng)用于二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分的簡化運算。然而在多元函數(shù)的極限、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、隱函數(shù)求導(dǎo)和求條件極值方面的應(yīng)用卻比較薄弱，類似的文獻[5－7]和著作也很少。本文主要給出了輪換對稱性應(yīng)用于多元函數(shù)求偏導(dǎo)的命題和應(yīng)用例子，及指導(dǎo)多元函數(shù)條件極值的簡化方法。

1 輪換對稱性

定義1 設(shè)函數(shù)F（x1，x2，…xn）＝F（x2，x3，…xn，x1）＝ …F（xn，x1，…xn－1），則稱函數(shù)F（x1，x2，…xn）關(guān)于x1，x2，…，xn具有輪換對稱性。

如果有f（x，y）＝f（y，x）成立，則二元函數(shù)f（x，y）關(guān)于x，y具有輪換性；如果有f（x，y，z）＝f（y，x，z）成立，則f（x，y，z）關(guān)于三元函數(shù)x，y具有輪換對稱性。例如f（x，y）＝ （xy）x＋y和u＝ex2＋y2＋z分別具有關(guān)于x，y的輪換對稱性。

2 輪換對稱性在求偏導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)、隱函數(shù)求偏導(dǎo)等內(nèi)容實則主要是關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的計算，可以按照高等數(shù)學(xué)教材給出的方法計算得到結(jié)果，但計算量偏大，下面給出可以簡化偏導(dǎo)數(shù)計算的結(jié)果。

命題 如果二元函數(shù)f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)存在，又有f（x，y）＝f（y，x），則當(dāng)時，有＝g（y，x）。

證 由偏導(dǎo)數(shù)的定義及條件得

由極限和無窮小的關(guān)系得

當(dāng) （u，ν）取 （y，x）時，可得

證畢。

接著來看該命題在簡化計算中的妙用。

解 函數(shù)f（x，y）在（0，0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)為

由輪換對稱性可得

例2 設(shè)u＝f（x＋y＋z，x2＋y2＋z2），求

因為函數(shù)u關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性，所以

解 在計算fx（0，0，0）的過程中，變量y和z一直是看作常數(shù)的，故在求解fx（x，y，z）時，把y＝0和z＝0代入其中，可以得到

顯然，函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于x、y和z具有輪換對稱性，因此

3 輪換對稱性在求條件極值中的應(yīng)用

在實際問題中，通常會遇到函數(shù)的自變量有附加條件的極值問題。對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對于某些實際問題，可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值來求解。但在很多情況下，將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值很復(fù)雜。而拉格朗日數(shù)乘法可以直接求解條件極值。但是在轉(zhuǎn)化的過程中拉格朗日函數(shù)的自變量將增多，這種由兩元增加為四元、四元增加為六元的情況看似復(fù)雜，在實際計算過程中可以從問題本身出發(fā)，應(yīng)用輪換對稱性，直接得到變量之間的一些關(guān)系，從而很容易解出結(jié)果。

不加證明地給出如下結(jié)果：當(dāng)f（x，y），φ（x，y）連續(xù)可微、且具有輪換對稱性時，若求f（x，y）在條件φ（x，y）＝0下的條件極值，則用拉格朗日數(shù)乘法構(gòu)造出的拉格朗日函數(shù)在計算駐點的過程中有x＝y(tǒng)。一般地，由拉格朗日數(shù)乘法確定的只是可能的極值點，如何確定所求的是否是極值點，在實際問題中需要根據(jù)問題的性質(zhì)來確定。該思想方法可推廣到更多變量和多個條件的情形。

例4 求函數(shù)u＝xyz在附加條件

下的極值。

解 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

分別對x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)并使之等于0，將其與附加條件聯(lián)立得方程組

因為函數(shù)L（x，y，z，λ）關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性，所以有x＝y(tǒng)＝z，將其代入條件得x＝y(tǒng)＝z＝3a。由此得到點（3a，3a，3a）是函數(shù)u＝xyz在條件下唯一可能的極值點。應(yīng)用二元函數(shù)的充分條件判斷可知，點（3a，3a，3a）是該函數(shù)在其附加條件下的極小值。

如果所給的函數(shù)具有輪換對稱性，則在計算偏導(dǎo)和條件極值的過程中可以簡化計算。在解題過程中要結(jié)合所學(xué)的知識，善于發(fā)現(xiàn)問題隱含的信息，不要受定向思維的束縛，大膽創(chuàng)新，這對于提高解題和運算能力都有著非常實際的意義。

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