劉國(guó)松，劉 瑩

（長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言

非對(duì)稱(chēng)性對(duì)系統(tǒng)的影響之一是僅使用右模態(tài)已不能滿足需要，其內(nèi)部的正交性已經(jīng)退化，因此必須引入左模態(tài)［1］。而重復(fù)頻率現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的影響是左、右模態(tài)的正交性也存在退化。這是因?yàn)槿纛l率發(fā)生重復(fù)，則這些左、右狀態(tài)向量不再能保證正交性?？梢宰C明不同特征值所對(duì)應(yīng)的左、右狀態(tài)向量之間仍然是正交的［2］，但對(duì)于重頻所對(duì)應(yīng)的那些左、右狀態(tài)向量卻無(wú)法證明它們存在正交性［3］，此時(shí)施密特正交化技術(shù)的應(yīng)用也存在困難。這是因?yàn)橄鄬?duì)于對(duì)稱(chēng)重頻系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，因?yàn)橹靥卣髦邓鶎?duì)應(yīng)的所有特征向量滿足的是同一特征方程［4］，根據(jù)酉空間理論實(shí)施正交化后是滿足原特征方程的，仍然為該重特征值的特征向量，但對(duì)于非對(duì)稱(chēng)重頻系統(tǒng)左、右狀態(tài)向量所滿足的特征方程已不同，如何進(jìn)行正交化策略還有待進(jìn)一步研究。本文指出這種情況下，需摒棄左狀態(tài)向量，直接引入右狀態(tài)向量的伴隨向量，將二階非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)入狀態(tài)空間中，將狀態(tài)方程化為系列的一階線性微分方程，在每一維坐標(biāo)下進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。本文方法不僅適用于單頻系統(tǒng)，也適合于重頻系統(tǒng)，不僅適用于對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)，也適用于非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)。

1 基本理論

對(duì)自由度為n的阻尼系統(tǒng)，設(shè)M、C、K分別是對(duì)稱(chēng)或非對(duì)稱(chēng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

對(duì)此有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，為了討論其特征問(wèn)題，引入狀態(tài)方程［5］。對(duì)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式（1），設(shè)

代入方程（1），則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng)：

其中

稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。對(duì)一般動(dòng)力系統(tǒng)（1），把時(shí)間域上的矩陣方程變換到以λ為變量的拉氏域中，并假定初始位移和初始速度均為零，其特征方程為

下文記為

并滿足方程

狀態(tài)向量的前n維即為系統(tǒng)（1）的模態(tài)振型｛ui｝，即特征對(duì)（λi，ui）滿足方程

2 基于伴隨向量系的自由振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析

其中（·）H為（·）的共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)于完備重頻系統(tǒng)，重頻所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量之間不存在足夠的雙正交性［2］。但無(wú)論上述兩種情況的哪一種，2n個(gè)狀態(tài)向量｛g1｝，｛g2｝，…，｛g2n｝的線性無(wú)關(guān)性是必定存在的，因此G可逆，故引入狀態(tài)向量的伴隨向量系Ψ＝［｛ψ1｝，｛ψ2｝，…，｛ψ2n｝］，它們可以滿足良好規(guī)范正交關(guān)系

對(duì)方程（1）建立的狀態(tài)方程

引入坐標(biāo)變換

其中 ｛q（t）｝為模態(tài)坐標(biāo)向量，代入狀態(tài)方程（9）并左乘ΨH，根據(jù)左、右狀態(tài)向量的正交性關(guān)系（7）和式（8），則有

展開(kāi)寫(xiě)成

其中｛·｝i代表向量｛·｝的第i維。由此式（12）可表達(dá)為

這是一個(gè)可分離的微分方程，即

兩邊積分為

整理得

任意常數(shù)C由初值條件決定。解得 ｛q（t）｝，然后代入式（10）解得 ｛y（t）｝，由式（2）可知取前n維即為自由振動(dòng)響應(yīng)。

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