丁月芳

很多教師在《有余數(shù)的除法》的教學(xué)中經(jīng)常設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)活動(dòng)：有13個(gè)獎(jiǎng)品（或者其他物品），每個(gè)小朋友分4個(gè)，能分給多少個(gè)小朋友？

先是學(xué)生動(dòng)手操作，分“模擬”獎(jiǎng)品來理解算理，然后利用“圈一圈”活動(dòng)進(jìn)一步理解算理，借助“形”來理解抽象的算式中每個(gè)數(shù)與運(yùn)算符號(hào)的意義，建立“形”與有余數(shù)除法算式之間的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，如下圖。

從而得出：13÷4=3……1。

借助直觀形象模型來理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，可以說，上述教學(xué)活動(dòng)對(duì)讓學(xué)生理解除法，尤其是余數(shù)的意義非常重要。“分一分”與“圈一圈”是非常有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)，但在上述活動(dòng)中并沒有滲透數(shù)學(xué)意義上的數(shù)形結(jié)合思想，它至多只能是數(shù)形結(jié)合方法的雛形。

【內(nèi)涵】數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵究竟是什么呢？帶著這個(gè)問題，我認(rèn)真學(xué)習(xí)了北京教育學(xué)院劉加霞教授《“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵、發(fā)展及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透》這篇文章，文中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵作了全面而深刻的詮釋。

數(shù)形結(jié)合一詞正式出現(xiàn)，是在華羅庚先生于1964年1月撰寫的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》科普小冊(cè)子中。“數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，形象生動(dòng)、深刻地指明了數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。在這里，“數(shù)”主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系式、運(yùn)算式、函數(shù)關(guān)系式、方程等；“形”則主要指幾何圖形與直角坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像。理解抽象的數(shù)、數(shù)量關(guān)系與函數(shù)關(guān)系式不能脫離直觀的圖形與圖像，同時(shí)對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)與理解也不能離開從數(shù)量上刻畫圖形的大小、形狀?！皵?shù)形結(jié)合就是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與圖像結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長(zhǎng)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來。

【體會(huì)】基于以上對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谛W(xué)數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)形結(jié)合思想的體會(huì)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確提出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)思想、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！睘榱诉m應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。所有這些能力的培養(yǎng)都離不開數(shù)學(xué)思想的支撐，而數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中尤為重要。

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng)是數(shù)與計(jì)算教學(xué)領(lǐng)域改革的一個(gè)重要理念。學(xué)生數(shù)感的建立需要一個(gè)逐步體驗(yàn)和發(fā)展的過程，小學(xué)階段培養(yǎng)數(shù)感都是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合，給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形象感知數(shù)的實(shí)際意義，逐步形成良好的數(shù)感。

由于小學(xué)生對(duì)直尺非常熟悉，所以在學(xué)習(xí)中通常以直尺為原型，逐步經(jīng)歷從“數(shù)尺”到“數(shù)線”再到“數(shù)軸”的過程，把數(shù)與“數(shù)尺”“數(shù)線”“數(shù)軸”上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，數(shù)可以視為點(diǎn)，點(diǎn)可以視為數(shù)，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義、順序和大小。

如，在教學(xué)“負(fù)數(shù)”之后，我在數(shù)軸上表示出正數(shù)和負(fù)數(shù)的排列順序。

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察“0”在數(shù)軸上的特殊位置，以“0”為分界點(diǎn)，“0”的右邊是正數(shù)，從左往右依次排列，越來越大；“0”的左邊是負(fù)數(shù)，從右往左依次排列，越來越小。借助數(shù)軸形象感知數(shù)軸上的數(shù)從左往右的順序就是從小到大的順序，比“0”大的數(shù)是正數(shù)，比“0”小的數(shù)是負(fù)數(shù)，“0”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)的整體建構(gòu)。

又如，在教學(xué)《求一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)》時(shí)，為了突破教學(xué)難點(diǎn)“區(qū)別近似數(shù)1.5和1.50，理解保留的小數(shù)位數(shù)越多，求出的近似值越精確”，一位教師就出示了如下數(shù)軸：

由于數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系，從而使抽象的數(shù)有“形”可依。通過借助數(shù)軸對(duì)比，讓學(xué)生直觀感受近似數(shù)是1.5的兩位小數(shù)在1.45～1.54之間，而近似數(shù)是1.50的三位小數(shù)在1.495～1.504之間，范圍小了，所以1.50比1.5更精確。之后又追問：近似數(shù)是1.500的四位小數(shù)的范圍呢？近似數(shù)是1.5000的呢？拓展思維，并滲透了極限思想，學(xué)生能感受到保留的小數(shù)位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高。這樣，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)就迎刃而解了。

可見，我們?cè)谘芯砍橄蟮摹皵?shù)”時(shí)，往往要借助于直觀的“形”，利用數(shù)形結(jié)合方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)的形象感知，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。有些算理比較抽象，學(xué)生理解起來有些困難，我們可以通過讓學(xué)生在紙上涂一涂、畫一畫、分一分，或通過課件動(dòng)態(tài)演示等方法，借助直觀圖形把抽象的算理具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，化難為易，形象地幫助學(xué)生理清算理，掌握計(jì)算方法，提高運(yùn)算能力。

如六年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》時(shí)，要記住分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則并不困難，但理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算算理有些難度，所以在教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課時(shí)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)了以下動(dòng)態(tài)過程，借助圖形語言來引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，探索并掌握分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。

首先創(chuàng)設(shè)了如下問題情境：

如果老師把一個(gè) 看作單位“1”，你能用一個(gè)式子表示下面的圖意嗎？

（1）動(dòng)態(tài)出示：

得到：1×，引出：“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”。

（2）動(dòng)態(tài)完善圖形：

得到：×，引出：“求一個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之幾是多少，也用乘法?！?/p>

（3）繼續(xù)動(dòng)態(tài)完善圖形：

得到：×，再次指出：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以用乘法計(jì)算。這個(gè)數(shù)可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，從而理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。

接著以×為例，讓學(xué)生自己折一折、數(shù)一數(shù)、涂一涂，親自操作體驗(yàn)后，觀察自己的涂色部分，使學(xué)生明白×就是把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成2×4份，取其中的1份，從而推導(dǎo)出×=。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究×的算理和算法，這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的過程，腦中就會(huì)真正建立起數(shù)和形的聯(lián)系，看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，建立算理的探究、算法的構(gòu)建，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的正確掌握。

可見，在計(jì)算教學(xué)中，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖和操作學(xué)具等方法，幫助學(xué)生理清算理，正確掌握計(jì)算方法，做到“循理入法，以理馭法”。利用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生表象清晰，記憶深刻，對(duì)算理的理解透徹，既知其然又知其所以然。事實(shí)上，也是形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用的一種過程，其教學(xué)效果顯而易見。

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒有學(xué)習(xí)函數(shù)，但還是慢慢地開始滲透函數(shù)思想。例如，在教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《確定位置》一課時(shí)，教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：

1.出示圖一。

公園里的這兩個(gè)景點(diǎn)畫在方格紙上，你能試著用數(shù)對(duì)表示它們的位置嗎？

這里有個(gè)大門，你知道它的位置嗎？

師：（0，0）這個(gè)位置很重要，它表示這個(gè)圖的起點(diǎn)，到中學(xué)我們繼續(xù)研究。

2.出示圖二。

師：這里還有幾個(gè)景點(diǎn)，你能用數(shù)對(duì)表示它的位置嗎？（引導(dǎo)學(xué)生說出把方格線延長(zhǎng)。）

課件動(dòng)態(tài)演示方格線延長(zhǎng)，然后用數(shù)對(duì)表示各景點(diǎn)的位置。

重點(diǎn)引導(dǎo)：游樂場(chǎng)的位置（2，-1），表示第2列，第-1行。

小結(jié)：可別小看這一小小的負(fù)數(shù)，有了它的加盟，想一想，如果我們?cè)偻乱恍蛘吒纱嗟搅俗筮?，平面上任何一點(diǎn)，我們都可以用數(shù)對(duì)來確定它的位置。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)從現(xiàn)實(shí)情景過渡到平面圖形，再將平面圖抽象為比較形象的直角坐標(biāo)系，建立數(shù)對(duì)與平面上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想的又一載體。在此過程中學(xué)生初步體驗(yàn)到，有了坐標(biāo)系（參照點(diǎn)即原點(diǎn)、相互垂直的帶有方向的兩條直線、每條直線上規(guī)定單位長(zhǎng)度）后，整個(gè)平面就結(jié)構(gòu)化了，學(xué)生經(jīng)歷了方格線從無到有的延伸，從一般數(shù)對(duì)到負(fù)數(shù)數(shù)對(duì)的拓展。對(duì)于平面上任何一點(diǎn)的位置，我們都可以用一對(duì)有順序的數(shù)來唯一地加以確定，“數(shù)”與“形”再一次結(jié)合，學(xué)生的空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展。

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

課程改革中特別強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的過程性體驗(yàn)，即讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。但如果這種經(jīng)歷缺乏數(shù)學(xué)思考的支撐，也就失去了本身的價(jià)值和意義。數(shù)學(xué)思考是學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、判斷、證明的思維過程，是用數(shù)學(xué)的方法去解決問題。數(shù)學(xué)思考不是指增加思考難度，而應(yīng)是數(shù)學(xué)思考過程的增加，簡(jiǎn)單的問題中也能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思考的軌跡。數(shù)形結(jié)合就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過數(shù)形結(jié)合為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把隱性的數(shù)學(xué)本質(zhì)顯性化。

本學(xué)期，在我校開展的導(dǎo)師工作室研討活動(dòng)中，我嘗試把“正比例的意義”和圖像結(jié)合起來組織教學(xué)，對(duì)教材進(jìn)行了一次大膽的重組。正比例的概念比較抽象，如何讓學(xué)生正確建構(gòu)出正比例的模型，關(guān)鍵是要帶領(lǐng)學(xué)生找到正比例最核心的本質(zhì)，即“比值一定”。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與形象的直觀坐標(biāo)圖聯(lián)系起來，在“數(shù)”“形”互譯中去理解正比例的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得不是一蹴而就的，需要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。在這個(gè)過程中，最重要的是激發(fā)學(xué)生不斷深入地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

實(shí)踐表明：學(xué)生在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合地考慮問題是一種常用的思想方法。數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的教學(xué)方法，它反映了新的課程觀滲透數(shù)形結(jié)合思想的必要性和可行性。由此，我們的教學(xué)應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)思想和豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，只要這樣，才能有利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。